湘教版（2024）九年级上册（2024）第4章 二次函数4.2 二次函数的图象与性质第4课时同步训练题

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本课核心问题
怎样把 y=ax²+bx+c 中看不直观的图象信息准确地“读”出来，并在式与图之间往返验证？
一、学习目标
1. 掌握把 y=ax²+bx+c（a≠0）配成顶点式的方法，并能用公式求对称轴和顶点。
2. 能够根据 a 的符号和顶点完整判断抛物线的开口、增减区间与最大值或最小值。
3. 能够通过平移和关键点作图，并在一般式、顶点式、图象特征与系数关系之间转换。
二、重点
• 一般式配成顶点式以及对称轴、顶点公式的正确使用。
• 从解析式准确读取开口、增减、最值，并用图象验证。
三、难点
• 含负数或分数系数时的配方，以及由图象位置反推系数或参数。
学习支架
坐标图：y=-2x²+6x-1 的图象与关键点
配方四步链
1. 提：把含 x 的两项中的二次项系数 a 提到括号外
2. 配：在括号内加上并减去一次项系数一半的平方
3. 化：把前三项写成完全平方，合并括号内外常数
4. 验：展开顶点式，检查 a、b、c 是否全部还原
一般式—顶点式参数对照
二次函数性质表
易错诊断：符号与最值
四、知识要点
1. 把一般式配成顶点式
对 y=ax²+bx+c（a≠0），先把含 x 的两项提出 a：y=a[x²+(b/a)x]+c。再在括号内同时加上、减去 [b/(2a)]²，得到 y=a[x+b/(2a)]²+(4ac-b²)/(4a)。配方的关键不是“凑得像”，而是每一步保持恒等；完成后应展开一次，核对二次项、一次项和常数项。
2. 对称轴与顶点公式
由顶点式可读出对称轴 x=-b/(2a)，顶点为 (-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))。也可以先算顶点横坐标 x₀=-b/(2a)，再把 x₀ 代回原式求纵坐标，这种方法常能减少分式公式的符号错误。必须把 a、b 连同符号完整代入，写出“直线 x=…”才是对称轴。
3. 开口、增减与最值
a>0 时抛物线向上：在 x-b/(2a) 上，y随x增大而增大，顶点处取最小值。a0。
【例4】
例4 不列密集数值表，说明怎样由 y=(1/2)x² 作出 y=(1/2)(x+2)²-3 的图象，并给出五个准确关键点。
【解答】第1步，比较顶点式：h=-2，k=-3，所以把 y=(1/2)x² 的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位。第2步，新图象顶点为 (-2,-3)，对称轴为 x=-2，开口向上。第3步，在对称轴右侧取 x=-1、0：对应 y=-5/2、-1。第4步，关于 x=-2 补出对称点：(-3,-5/2)、(-4,-1)。因此五个关键点为 (-2,-3)、(-1,-5/2)、(-3,-5/2)、(0,-1)、(-4,-1)。将这些点按横坐标顺序用平滑曲线连接即可。复核：每一组对称点横坐标之和均为 -4，即2h。
【点拨】括号内是 x+2，表示顶点横坐标为 -2，也就是向左平移2个单位。
【例5】
例5 已知抛物线 y=x²-2x-3。结合其图象说明 a、b、c 分别透露了哪些信息，并完成一次交叉验证。
【解答】第1步，由 a=1>0，判断图象开口向上。第2步，由 c=-3，判断图象与 y 轴交于 (0,-3)。第3步，对称轴 x=-b/(2a)=-(-2)/(2×1)=1，所以 -b/(2a)>0，轴在 y 轴右侧。第4步，配方得 y=(x-1)²-4，顶点为 (1,-4)，最小值为 -4。第5步，交叉验证：点 (0,-3) 关于 x=1 的对称点是 (2,-3)；代入 x=2 确有 y=4-4-3=-3。因此图象的开口、轴、顶点和 y 轴交点与系数信息完全一致。
【点拨】c 可以直接读出 y 轴交点；b 要与 a 一起进入 -b/(2a)，不能单看 b 的正负。
【例6】
例6 已知 y=x²-2mx+m²-4 的图象顶点在 y 轴右侧，且图象与 y 轴交于 (0,5)。求 m，并写出函数的增减性。
【解答】第1步，配方：y=x²-2mx+m²-4=(x-m)²-4。所以顶点为 (m,-4)，对称轴为 x=m。第2步，顶点在 y 轴右侧，得到 m>0。第3步，图象过 (0,5)，代入 x=0：m²-4=5，所以 m²=9，m=3 或 m=-3。第4步，用 m>0 排除 m=-3，故 m=3。第5步，函数为 y=(x-3)²-4，a=1>0；当 x3 时，y随x增大而增大，x=3 时最小值为 -4。复核：m=3 时 y(0)=9-4=5，且顶点 (3,-4) 确在 y 轴右侧。
【点拨】由 m²=9 得到两个值后，必须回到“顶点在 y 轴右侧”这一图象条件筛选。
同 步 练 习
坐标图：y=-2x²+6x-1 的图象与关键点
一般式—顶点式参数对照
二次函数性质表
易错诊断：符号与最值
独立作图区：描出顶点与两组对称点后连线
★ 基础巩固
1. 1. 把 y=x²-6x+5 配成顶点式，并填写：对称轴是（________），顶点是（________），最小值是（________）。
2. 2. 对函数 y=-3x²-12x+1，顶点式是（________）；当 x=（________）时，y 取最大值（________）。
3. 3. 判断：对于 y=ax²+bx+c（a≠0），改变 c 的值会改变抛物线的对称轴。（ ）
4. 4. 判断：若 a0，b0，c0，b0
14. 14. 在抛物线 y=-2(x-1)²+3 上有 A(-1,y₁)、B(0,y₂)、C(2,y₃)。比较 y₁、y₂、y₃ 的大小，并分别用图象性质和代入计算说明。
y=x²+2x-3 作图区
15. 15. 在坐标系中作出 y=x²+2x-3 的图象。要求标出顶点、对称轴、与 y 轴的交点，并至少取两组对称点。
16. 16. 小明研究 y=-2x²+8x-3 时写道：“对称轴是 x=-2，顶点纵坐标为5，所以函数最小值是5。”请找出两处错误并给出正确结论。
17. 17. 一条抛物线的顶点为 (2,-5)，且经过 y 轴上的点 (0,3)，求它的一般式，并说明开口方向。
18. 18. 把 y=(x-1)²+2 的图象先向右平移3个单位，再向下平移5个单位。写出新函数的顶点式和一般式，并说明顶点怎样变化。
19. 19. 已知 y=x²+(m-2)x+m 的图象对称轴是 x=-1。求 m、顶点坐标及最小值。
★★★ 拓展延伸
20. 20. 已知抛物线 y=-x²+2x+3 上有 A(t,y₁)、B(2-t,y₂)，且 t