初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）4.3 二次函数的表达式的求法第三课时课时训练

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本课核心问题
面对顶点、零点、三点、图象或实际情境等不同条件，怎样选式、列方程、求系数并确认结果可靠？
一、学习目标
1. 能根据已知条件选择一般式、顶点式或交点式，并说明选择理由。
2. 能规范使用待定系数法列方程或方程组，求出二次函数表达式。
3. 能从图象、表格和实际情境中提取点、顶点或零点信息，并用a≠0和全部条件回代检验结果。
二、重点
• 三种常用形式的条件识别与待定系数法。
• 把点在图象上转化为方程，完整求解并写出表达式。
三、难点
• 在混合条件中选择未知数最少的形式，并完成方程组消元及全部条件回代检验。
学习支架
三种设法选择流程
1. 圈出条件：是否给顶点、对称轴加最值、两个零点，或三个普通点
2. 有顶点(h，k)：优先设y=a(x-h)²+k
3. 有两个零点x₁、x₂：优先设y=a(x-x₁)(x-x₂)
4. 只有三个横坐标不同的普通点：设y=ax²+bx+c
5. 代入其余点求系数，检查a≠0
6. 把全部已知条件逐项回代
条件—形式对照
一般式三点法：方程组步骤
1. 设y=ax²+bx+c，其中a≠0
2. 把三个点(x₁，y₁)、(x₂，y₂)、(x₃，y₃)分别代入
3. 按相同顺序写成三元一次方程组
4. 优先利用x=0、互为相反数或简单横坐标消元
5. 求出a、b、c并检查a≠0
6. 回代三个点，三式都成立后写结论
坐标图：由顶点H和点P确定表达式
易错诊断：顶点式的符号与检验
四、知识要点
1. 先识别条件，再选择形式
求二次函数表达式的共同方法是待定系数法：第一步设含未知系数的表达式；第二步把已知点或图象条件代入；第三步解方程或方程组；第四步写出表达式并检验。选择形式时看题目已经暴露的结构：有顶点用顶点式，有两个零点用交点式，只有三个普通点用一般式。三种形式彼此可以展开或配方转化，但选得合适能把三个未知数减少为一个。
2. 顶点式：顶点＋一点
顶点为(h，k)时，设y=a(x-h)²+k，其中a≠0。再把另一点(x₀，y₀)代入，得到y₀=a(x₀-h)²+k，解出a。符号自检：当x=h时，括号必须等于0，函数值应为k。若另一点恰好也是顶点，就不能确定a。
3. 一般式：三个点列方程组
设y=ax²+bx+c，其中a≠0。把三个横坐标两两不等的点分别代入，得到关于a、b、c的三元一次方程组。消元时优先利用x=0直接求c，或利用互为相反数的横坐标作加减。求解后必须检查a≠0。若a=0，所得只是一次函数，说明这三个点共线，不存在经过它们的二次函数。
4. 交点式：两个零点＋一点
图象与x轴交于(x₁，0)、(x₂，0)时，可设y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中a≠0。原因是x=x₁或x=x₂时，必有一个因式为0。再代入另一个非零点求a。若给的是与y轴交点，只需令x=0代入。
5. 信息转化与回代检验
图象中的最高点或最低点给出顶点；与x轴交点给出零点；表格中的每一组对应值给出一个点；实际情境中的端点、最高点、对称位置也能转化为坐标条件。检验分三层：①a≠0；②全部给定点代入都成立；③顶点、零点、开口方向和实际边界与题意一致。
五、典型例题
【例1】
例1 已知抛物线的顶点为H(2，-3)，且经过点P(0，5)，求这个二次函数的表达式，并回代检验。
【解答】步骤1 识别条件：已知顶点和另一点，选顶点式。步骤2 设y=a(x-2)²-3，其中a≠0。步骤3 把P(0，5)代入：5=a(0-2)²-3。步骤4 解方程：5=4a-3，4a=8，所以a=2。步骤5 写出表达式：y=2(x-2)²-3；展开得y=2x²-8x+5。步骤6 回代检验：当x=2时y=-3，顶点为(2，-3)；当x=0时y=5，点P在图象上；且a=2≠0。故所求表达式为y=2(x-2)²-3。
【点拨】顶点式中括号内是x-h。先令括号为0，可快速检查顶点横坐标的符号。
【例2】
例2 已知二次函数图象经过A(-1，6)、B(0，1)、C(2，3)三点，求表达式。
【解答】步骤1 三个点都是普通点，设y=ax²+bx+c，其中a≠0。步骤2 分别代入A、B、C，得方程组：a-b+c=6，c=1，4a+2b+c=3。步骤3 把c=1代入另外两式，得a-b=5，2a+b=1。步骤4 由a-b=5得b=a-5。代入2a+b=1，得2a+a-5=1，所以3a=6，a=2。步骤5 b=2-5=-3，c=1，因此y=2x²-3x+1。步骤6 回代检验：x=-1时y=2+3+1=6；x=0时y=1；x=2时y=8-6+1=3；且a=2≠0。三个条件全部成立。
【点拨】出现x=0的点时先求c；这是一般式三点法最省力的消元入口。
【例3】
例3 抛物线与x轴交于A(-2，0)、B(3，0)，并经过点C(0，-12)，求表达式。
【解答】步骤1 已知两个零点-2、3，选交点式。步骤2 设y=a(x+2)(x-3)，其中a≠0。步骤3 把C(0，-12)代入：-12=a(0+2)(0-3)=-6a。步骤4 解得a=2。步骤5 所以y=2(x+2)(x-3)，展开得y=2x²-2x-12。步骤6 回代检验：x=-2或x=3时y=0；x=0时y=-12；a=2≠0。三个点都满足。
【点拨】零点r对应因式(x-r)；零点为-2时因式是(x+2)。
【例4】
例4 某二次函数图象的对称轴是直线x=1，最大值为4，且经过点(3，0)。选择合适形式并求表达式。
【解答】步骤1 “对称轴x=1且最大值4”说明顶点为(1，4)，因此选顶点式，而不是一般式。步骤2 设y=a(x-1)²+4。因为有最大值，图象开口向下，预判a