初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）4.2 二次函数的图象与性质第4课时课后复习题

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本课核心问题
怎样从 y=a(x−h)²+k 一眼读出抛物线的位置与性质，又怎样由顶点和一个点反求解析式？
一、学习目标
1. 理解 y=a(x−h)²+k 与 y=ax² 的平移关系，能正确判断左右、上下平移方向和单位数。
2. 掌握顶点式中 a、h、k 与开口、对称轴、顶点、增减性及最值的对应关系。
3. 能够利用对称性画出顶点式二次函数图象，并能由顶点和图象上一点求解析式。
二、重点
• 由顶点式准确读出抛物线的顶点、对称轴、开口方向、增减性和最值。
• 掌握 y=ax² 平移到 y=a(x−h)²+k 的规律并用于作图与求式。
三、难点
• 理解横向平移中 h 与括号内符号相反，并在区间最值和逆向求式中保持式、点、图一致。
学习支架
crdinate_graph：y=x² 与 y=(x−2)²+1 的平移对照
从 y=ax² 到 y=a(x−h)²+k 的平移流程
1. 先保持 a 不变：图象的形状、开口方向不变
2. 横向看 x−h：h>0 向右 h 个单位；h0 向上 k 个单位；k0 时向上，a0 时，抛物线开口向上：在 xh 时，y随x增大而增大；x=h 时取得最小值 k。当 a0，所以顶点横坐标应为 -3
B. x+2=x−(-2)，所以 h=-2，顶点应为(-2,-5)
C. -50，所以开口向上。复核：令 x−4=0 得 x=4，此时 y=-7。
第2题：(-5,2)；-5；大；2
【解析】步骤1：x+5=x−(-5)，所以 h=-5，k=2。步骤2：顶点为(-5,2)。步骤3：a=-10，但 a=-10，排除C。步骤3：检验B：x=0 时，y=1/2×2²−1=1，确实经过(0,1)。因此选择B。
第12题：顶点(1,2)；可取成对点(0,3/2)、(2,3/2)，(-1,0)、(3,0)，(-2,-5/2)、(4,-5/2)，用光滑曲线连接。
【解析】步骤1：由顶点式得对称轴 x=1、顶点(1,2)、开口向下。步骤2：在右侧取 x=2,3,4，计算得 y分别为3/2、0、-5/2。步骤3：关于 x=1 对称，得到左侧点(0,3/2)、(-1,0)、(-2,-5/2)。步骤4：描出顶点和六个点，按横坐标顺序用光滑曲线连接。步骤5：检查每组成对点到 x=1 的距离相等且纵坐标相同，图象最高点应为(1,2)。
第13题：y=−2(x+1)²+4，开口向下
【解析】步骤1：由顶点(-1,4)，设 y=a(x+1)²+4。步骤2：把点(1,-4)代入，得 -4=a(1+1)²+4。步骤3：整理得 -8=4a，所以 a=-2。步骤4：解析式为 y=−2(x+1)²+4。步骤5：因为 a=-20，顶点为(2,-3)，对称轴为 x=2。步骤2：2在区间[-1,4]内，所以最小值为顶点纵坐标 -3，在 x=2 时取得。步骤3：计算左端点：x=-1 时，y=(-1−2)²−3=9−3=6。步骤4：计算右端点：x=4 时，y=(4−2)²−3=4−3=1。步骤5：比较端点函数值6和1，最大值为6，在 x=-1 时取得。复核：左端点到对称轴距离3，大于右端点的距离2；开口向上时距离轴越远函数值越大。
第17题：(1) y=−(x+2)²+5；(2) -4≤x≤0；(3) B(-4,1)
【解析】第(1)问：步骤1：对称轴为 x=-2，最大值为5，所以顶点是(-2,5)，且抛物线开口向下。步骤2：设 y=a(x+2)²+5，其中 a0，所以抛物线开口向上，对称轴为 x=2。步骤2：在 x2 时，y随x增大而增大。步骤3：当 x=2 时，函数取得最小值 -1。第(3)问：步骤1：令 y=17，得 2(x−2)²−1=17。步骤2：移项并化简，得 (x−2)²=9。步骤3：分两种情况：x−2=3 或 x−2=-3，解得 x=5 或 x=-1。步骤4：分别代回原式，两者的函数值都为17，因此 Q 的横坐标为 -1 或5。复核：-1和5到对称轴 x=2 的距离都为3，符合抛物线的对称性。数学思想：待定系数法、分类讨论与数形结合。参数
解析式位置
图象意义
快速复核
a
平方项前
正负定开口，|a|定宽窄
与 y=ax² 形状相同
h
括号 x−h 中
对称轴 x=h，顶点横坐标 h
令 x−h=0
k
括号外常数
顶点纵坐标 k，决定全局最值
代入 x=h 得 y=k
错误读取
正确读取
y=2(x+3)²−1 中 h=3，所以顶点是(3,-1)。
x+3=x−(-3)，所以 h=-3，顶点是(-3,-1)；也可令 x+3=0 复核。
条件
开口
xh
全局最值
a>0
向上
y随x增大而减小
y随x增大而增大
x=h 时最小值为 k
a