数学九年级上册（2024）第4章 二次函数4.2 二次函数的图象与性质评课课件ppt

这是一份数学九年级上册（2024）第4章 二次函数4.2 二次函数的图象与性质评课课件ppt，共100页。PPT课件主要包含了配方法，提取二次项系数，化简去掉中括号，解配方，练一练填表，最大值1，0-1，最大值-1，最小值-6，典例精析等内容，欢迎下载使用。
问题1：如何画出 的图象呢?
我们已经会画 y = a(x-h)2 + k的图象，因此，只需要把 配方成 的形式就可以了.
将一般式 y = ax2+bx+c 化成顶点式 y =a(x-h)2+k
画出 的图象.
故对称轴是直线 ， 顶点坐标是 .
列表：自变量 x 从顶点的横坐标 开始取值.
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分．利用对称性， 画出图象在对称轴左边的部分．这样就得到了 的图象.
观察图，当 x 等于多少时，函数 的值最大？这个最大值是多少？
一般地， 有下述结论： 二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c， 当 x 等于顶点的横坐标时， 达到最大值（a ＜ 0 ）或最小值（a ＞ 0 ）， 这个最大（小）值等于顶点的纵坐标．
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
温馨提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式 .
我们如何用配方法将一般式 y = ax2 +bx+c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x-h)2 + k ？
y = ax² +bx+c
一般地，二次函数 y =ax2+bx+c 的可以通过配方化成 y = a(x - h)2 +k 的形式，即：
将函数 化为 y = a(x-h)2 + k 的形式.
根据顶点式 确定对称轴，顶点坐标.
列表：自变量 x 从顶点的横坐标 6 开始取值.
对称轴：直线 x = 6；顶点坐标：(6，3).
描点、连线，画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，即得.
当 x 等于顶点的横坐标 6 时，函数值最小，这个最小值等于顶点的纵坐标 3.
问题4：这个函数的增减性是怎样的？
当 x < 6 时，函数值随 x 的增大而减小；当 x > 6 时，函数值随 x 的增大而增大.
抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是：对称轴是：直线
二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随x 的增大而减小；当 x ＞ 时，y 随 x 的增大而增大；当 x = 时，函数达到最小值，最小值为 .
如果 a < 0，当 x< 时，y 随 x 的增大而增大；当 x > 时，y 随 x 的增大而减小；当 x = 时，函数达到最大值，最大值为 .
例1 若点 A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线 y＝x2－4x－m 的图象上，则 y1、y2、y3 的大小关系是 (　　)
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
解析：∵二次函数 y＝x2－4x－m 中 a＝1＞0，∴开口向上，对称轴为 x＝2.∵A(2，y1)中 x＝2，∴ y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3) 都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，故 y2＞y3.∴ y2＞y3＞y1. 故选C.
例2 在同一直角坐标系中，函数 y＝mx＋m 和函数 y＝mx2＋2x＋2 ( m 是常数，且 m ≠ 0 )的图象可能是(　　)
解析：A、B 中由函数 y＝mx＋m 的图象可知 m＜0，即函数 y＝mx2＋2x＋2 开口方向朝下，对称轴为 ，则对称轴应在 y 轴右侧，故A、B选项错误；
C 中由函数 y ＝ mx＋m 的图象可知 m ＞0，即函数 y＝mx2＋2x＋2开口方向朝上，对称轴为 ＜0， 则对称轴应在 y 轴左侧，故 C 选项错误；D 中由函数 y＝ mx＋m的图象可知 m＜0，即函数 y＝mx2＋2x＋2 开口方向朝下，对称轴为 ＞0，则对称轴应在 y 轴右侧，与图象相符，故选D．
例3 如图是二次函数 y = ax2+bx+c (a≠0) 图象的一部分，x= -1 是对称轴，有下列判断：① b-2a = 0；② 4a-2b+c < 0；③ a-b+c = -9a；④ 若(-3，y1)，( ，y2)是抛物线上两点，则 y1 > y2.其中正确的是 ( )
A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④
1. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
直线 x = 1.25
2. 把抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得图象的解析式为 y＝x2－3x＋5，则(　　)A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
3. 已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值为 2，则 a 的值为(　　)A．3 　　B．－1 　　　C．4 　　　D．4或－1
解析：∵二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 有最小值 2，∴ a＞0，y最小值＝ ＝ ＝ 2，整理，得 a2－3a－4＝0，解得 a＝－1 或 4.∵ a＞0，∴ a＝4. 故选C.
4.已知二次函数 y=－x2＋2bx＋c，当 x＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y 的值随 x 值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y 的值随 x 值的增大而减小，∴抛物线 y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线 x=1的左侧，而抛物线 y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .
5. 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c (a ≠ 0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：① a＜0；② a＋b＋c＞0；③ ＞0；④ abc＞0.其中正确的结论是_______．
6. 已知抛物线和直线 l 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x = -1，P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2) 是抛物线上的点，P3 (x3，y3)是直线 l 上的点，且 x3＜-1＜x1＜x2，则 y1，y2，y3 的大小关系是(　　)
解：(1) 把 A(2，0)、B(0，－6)代入 y＝－ x2＋bx＋c 得
∴这个二次函数的解析式为 y＝－ x2＋4x－6；
(2) 设该二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点C，连接 BA、BC，求 △ABC 的面积．
(2)∵该抛物线对称轴为直线 x＝ ＝4，∴点 C 的坐标为(4，0)，∴AC＝OC－OA＝4－2＝2.∴S△ABC＝ ×AC×OB＝ ×2×6＝6.