数学湘教版（2024）第1章 图形的相似1.4 相似三角形的判定第4课时课时练习

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本课核心问题
面对两个三角形，怎样选取最少且匹配的条件，可靠地判定它们相似？
一、学习目标
1. 掌握平行截线、两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例四种相似判定方法。
2. 能够先确定顶点与边的对应关系，再选择条件并写出依据完整的相似证明。
3. 能够辨析条件不足或对应顺序错误，给出具体反例，并解决含分类的综合问题。
二、重点
• 根据已知条件选择相似三角形的判定方法。
• 按对应顺序书写相似式和比例式。
三、难点
• 识别“两边成比例且夹角相等”中的夹角，区分充分条件与条件不足，并在复杂图形中形成证据链。
学习支架
相似三角形判定证据表
规范证明四步链
1. 标出顶点、角和边的对应关系
2. 从已知、平行、垂直或公共关系中提取证据
3. 核对证据恰好满足哪一条判定定理
4. 按对应顺序写相似结论，并用另一关系复核
平行线截三角形的基本结构
四、知识要点
1. 平行截线：从特殊位置到稳定结构
在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上。只要DE∥BC，就有∠ADE=∠ABC、∠AED=∠ACB，同时∠DAE=∠BAC，因此△ADE∽△ABC。这里D、E不必是中点，平行关系才是判定成立的核心。书写时应保持A↔A、D↔B、E↔C的对应顺序。这个结论把常见的嵌套图形直接转化为相似结构，也能作为后续比例计算的入口。
2. 判定定理1：两角分别相等
如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么这两个三角形相似。两个角可以由已知角、公共角、对顶角、平行线内错角或同为直角得到。证明时不必再验证第三个角，也不必补充边长条件。关键是把角的顶点一一对应，例如∠A=∠D、∠B=∠F，则第三个顶点C对应E，应写△ABC∽△DFE。
3. 判定定理2：两边成比例且夹角相等
如果两个三角形有两组对应边成比例，并且这两组边的夹角相等，那么两个三角形相似。使用时分三步：先写同顺序的边比；再确认相等角的两边正是比例式中的两边；最后按夹角顶点确定对应顺序。只有两边成比例但没有夹角相等，或相等的是其中一边的对角，都不能直接使用本定理。它与全等判定中的“边角边”结构相似，但这里边只需成比例。
4. 判定定理3：三边成比例
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么两个三角形相似。面对顺序不明显的数据，可先将每个三角形的三边按从大到小排列，用最长边对应最长边、中间边对应中间边、最短边对应最短边，再检验三个比是否相等。不能只检验两个比就冒充三边判定。写出相似结论后，可反向检查相似式中相邻字母所表示的边是否正好对应。
5. 方法选择、反例与证据链
选择判定方法时先盘点证据：有平行线就优先找角；角证据达到两组就用两角判定；只有一组角时，再看夹角两边是否成比例；没有角证据时，检查三边。条件不足不能只写“无法判断”，还应指出缺口。例如边长3、4、5与6、8、9的两个三角形中，3/6=4/8，但5/9≠1/2，因此“两边成比例”不足以保证相似。综合题还要注意同一组三角形可能存在两种合法对应，必须分类并逐一检验。
五、典型例题
【例1】
例1 在△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段AC上，DE∥BC。已知AB=15，AD=9，AC=20。求证：△ADE∽△ABC，并求AE的长。
【解答】证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB。又∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。对应关系为A↔A，D↔B，E↔C，故AD/AB=AE/AC。代入数据，得9/15=AE/20。解得AE=12。复核：AD/AB=9/15=3/5，AE/AC=12/20=3/5，比例与对应关系一致。
【点拨】平行线给出两组对应角；求边前先由相似式确定AD对应AB、AE对应AC，不能只凭图形位置列比例。
【例2】
例2 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在线段AB上，且CD⊥AB。求证：△ACD∽△ABC，△BCD∽△BAC。
【解答】证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°。又∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB。在△ACD与△ABC中，∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB，∴△ACD∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。在△BCD与△BAC中，∠CBD=∠CBA，∠BDC=∠BCA=90°，∴△BCD∽△BAC（两角分别相等的两个三角形相似）。复核对应：第一组D↔C，第二组D↔C；两处直角顶点均对应正确。
【点拨】垂直条件先转化为直角证据，再找公共角或同一条直线形成的角；相似式中直角顶点必须对应。
【例3】
例3 在△ABC与△DEF中，∠A=∠D=60°，AB=6，AC=8，DE=9，DF=12，且EF=10.5。求证：△ABC∽△DEF，并求BC的长。
【解答】证明：AB/DE=6/9=2/3，AC/DF=8/12=2/3，∴AB/DE=AC/DF。又∵∠A=∠D=60°，且∠A、∠D分别是上述两组边的夹角，∴△ABC∽△DEF（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。对应关系为A↔D，B↔E，C↔F，因此BC/EF=AB/DE=2/3。BC=10.5×2/3=7。复核：三组对应边的比依次为6/9、8/12、7/10.5，均等于2/3。
【点拨】比例相等之后必须补一句“相等角是这两组边的夹角”；这是本判定与条件不足情形的分界。
同 步 练 习
规范证明四步链
1. 标出顶点、角和边的对应关系
2. 从已知、平行、垂直或公共关系中提取证据
3. 核对证据恰好满足哪一条判定定理
4. 按对应顺序写相似结论，并用另一关系复核
★ 基础巩固
两组三角形的对应角
1. 1．在△ABC与△DEF中，已知∠A=∠D，∠B=∠F。则第三组对应顶点是C↔（________），应写成△ABC∽△（________）。
2. 2．两个直角三角形有一个锐角相等，则这两个直角三角形相似。（________）（ ）
平行截线求长度
3. 3．在△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段AC上，DE∥BC。若AD=4，AB=10，AC=15，则△ADE∽△（________），AE=（________）。
两边成比例但第三边不成比例
4. 4．已知△ABC的三边AB=3、AC=4、BC=5，△DEF的三边DE=6、DF=8、EF=9。因为AB/DE=AC/DF，所以△ABC∽△DEF。（________）（ ）
由相似条件反求边长
5. 5．在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，AB=6，AC=9，DE=8。若要用“两边成比例且夹角相等”判定△ABC∽△DEF，且AB对应DE、AC对应DF，求DF。
按长、中、短边配对
6. 6．△ABC的三边长为5、7、8，△DEF的三边长为10、14、16。若AB=8，BC=7，CA=5，DE=16，EF=14，FD=10，则△ABC∽△（________），相似比为（________）。
7. 7．边长分别为3、4、5和5、12、13的两个直角三角形，因为都有一个直角，所以相似。（________）（ ）
8. 8．在△ABC与△DEF中，AB=4，BC=6，CA=8；DE=6，EF=9，FD=12。若两三角形相似，求△ABC与△DEF的周长比。
★★ 能力提升
补充夹角两边条件
9. 9．在△ABC与△DEF中，已知∠A=∠D，AB=6，AC=8，DE=9。若只补充一个条件，并用“两边成比例且夹角相等”判定△ABC∽△DEF，应补充（________）。
A. DF=12 B. EF=12
C. ∠B=∠E D. BC=12
交叉图形中的夹角
10. 10．线段AC与BD相交于点O，点O在线段AC、BD的内部。已知AO=6，CO=9，BO=8，DO=12。求证：△AOB∽△COD。
比例式审查
11. 11．在△ABC与△DEF中，已知∠A=∠D，AB=10，AC=15，DE=6，DF=9。小明写出“AB/DF=AC/DE=10/9”，据此判定△ABC∽△DFE。请指出两处错误，并写出正确证明。
三边数据顺序不同
12. 12．△ABC的三边为AB=8、BC=6、CA=4；△DEF的三边为DE=9、EF=6、FD=12。求证这两个三角形相似，并写出正确的相似式。
从多组条件中选择判定依据
13. 13．在△ABC中，点D在线段AC上，已知∠CBD=∠A。下列补充条件中，不能判定△CBD∽△CAB的是（________）。
A. ∠CDB=∠CBA
B. ∠BCD=∠BCA
C. CB/CA=CD/CB
D. CB/CA=CD/AB
★★★ 拓展延伸
高线两侧三角形
14. 14．在△ABC中，点D在线段AB上，CD⊥AB，AD=4，CD=6，DB=9。（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求证：∠ACB=90°；（3）求AC:BC。
直角三角形中的同步运动
15. 15．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=20 cm，AC=15 cm。点P从点B出发沿线段BC以3 cm/s的速度向C运动，点Q同时从点C出发沿线段CA以2 cm/s的速度向A运动；任一点到达终点后即停止。设运动时间为t秒。求所有使△CPQ与△CBA相似的t值。
参 考 答 案
第1题：E；DFE
【解析】由∠A=∠D得A↔D，由∠B=∠F得B↔F，余下C↔E。因此必须按A、B、C对应D、F、E的顺序写△ABC∽△DFE。
第2题：√
【解析】两个三角形的直角相等，又有一组锐角相等，满足两角分别相等的判定条件。
第3题：ABC；6
【解析】由DE∥BC，得△ADE∽△ABC。于是AD/AB=AE/AC，即4/10=AE/15，解得AE=6。
第4题：×
【解析】虽然3/6=4/8=1/2，但5/9≠1/2，三边不成比例；题目也没有给出∠A=∠D这一夹角条件。因此现有两边比例不足以判定相似。这两个三角形都能构成，数据本身就是有效反例。
第5题：12
【解析】按对应关系应满足AB/DE=AC/DF，即6/8=9/DF。交叉相乘得6DF=72，所以DF=12。此时∠A与∠D分别是AB、AC和DE、DF的夹角。
第6题：DEF；1/2
【解析】AB/DE=8/16=1/2，BC/EF=7/14=1/2，CA/FD=5/10=1/2，三边对应成比例，所以△ABC∽△DEF，相似比为1/2。
第7题：×
【解析】一组直角相等只能提供一组角证据。两组三边的比不相等，例如3/5≠4/12，因此不能判定相似。还需另一组锐角相等，或满足相应的边比例条件。
第8题：2/3
【解析】4/6=6/9=8/12=2/3，三边成比例，所以△ABC∽△DEF。直接计算周长也可复核：(4+6+8)/(6+9+12)=18/27=2/3。
第9题：A
【解析】∠A、∠D分别由AB与AC、DE与DF夹成。已有AB/DE=6/9=2/3，应让AC/DF=2/3，所以DF=12。B项给的是非夹角的一条边；C项虽也能用两角判定，但不符合题目指定的方法；D项不能与已知夹角组成所需结构。
第10题：△AOB∽△COD。
【解析】证明：∵线段AC与BD相交于点O，∴∠AOB=∠COD（对顶角相等）。又AO/CO=6/9=2/3，BO/DO=8/12=2/3，∴AO/CO=BO/DO。∠AOB、∠COD分别是上述两组边的夹角，∴△AOB∽△COD（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。对应关系为A↔C，O↔O，B↔D；复核两条相交直线上的点序一致。
第11题：错误一：10/9≠15/6；错误二：比例边的对应顺序与夹角顶点不一致。正确结论为△ABC∽△DEF。
【解析】正确证明：AB/DE=10/6=5/3，AC/DF=15/9=5/3，所以AB/DE=AC/DF。又∠A=∠D，且∠A、∠D分别是AB与AC、DE与DF的夹角，因此△ABC∽△DEF。小明既算错了15/6，又把AB错配给DF、AC错配给DE；若采用这种交叉配对，∠D也不是所列对应边DF与DE之外的其他角，而相似式顺序更无法得到支持。
第12题：△ABC∽△FDE。
【解析】证明：先按边长配对。△ABC中最长边AB=8、中间边BC=6、最短边CA=4；△DEF中最长边FD=12、中间边DE=9、最短边EF=6。AB/FD=8/12=2/3，BC/DE=6/9=2/3，CA/EF=4/6=2/3。∴AB/FD=BC/DE=CA/EF。由AB↔FD、BC↔DE可知两条对应边的公共顶点B↔D，于是A↔F、C↔E。∴△ABC∽△FDE（三边成比例的两个三角形相似）。复核：相似式中的AB、BC、CA依次对应FD、DE、EF，与三个比例式完全一致。
第13题：D
【解析】A给出第二组角，可用两角判定。B中因为D在线段AC上，∠BCD与∠BCA是同一个角，再结合∠CBD=∠A可用两角判定。C中∠BCD=∠BCA是夹角，且CB/CA=CD/CB，可用两边成比例且夹角相等判定。D给出的CD是△CBD中∠CBD的对边，不能和已知角两旁的CB、BD组成两边比例；现有条件也没有给出第二组等角或完整三边比例，所以不能判定。
第14题：（1）△ACD∽△CBD；（2）∠ACB=90°；（3）AC:BC=2:3。
【解析】（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°。又AD/CD=4/6=2/3，CD/DB=6/9=2/3，∴AD/CD=CD/DB。两组比例边的夹角相等，∴△ACD∽△CBD。（2）由相似式A↔C、C↔B、D↔D，得∠ACD=∠CBD。因为A、D、B在同一直线上，且CD⊥AB，所以在Rt△BCD中∠CBD+∠BCD=90°。于是∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠CBD+∠BCD=90°。（3）由△ACD∽△CBD，得AC/CB=AD/CD=4/6=2/3，故AC:BC=2:3。复核：由勾股定理AC=√(4²+6²)=2√13，BC=√(6²+9²)=3√13，确有AC:BC=2:3。思想点拨：先把乘积关系AD·DB=CD²改写为比例，再用相似把边关系转化为角关系，体现转化化归思想。
第15题：60/17秒或40/9秒。
【解析】运动中CP=20-3t，CQ=2t。P到C需20/3秒，Q到A需15/2秒，因此共同运动阶段为0≤t≤20/3。两三角形都在C处为直角，但还需按两条直角边的对应分类。情形一：CP↔CB，CQ↔CA。由CP/CB=CQ/CA，得(20-3t)/20=2t/15。交叉相乘：300-45t=40t，解得t=60/17。情形二：CP↔CA，CQ↔CB。由CP/CA=CQ/CB，得(20-3t)/15=2t/20。交叉相乘：400-60t=30t，解得t=40/9。检验：60/17与40/9均在0到20/3之间，此时P、Q都在线段内部，两个解都符合。若t=0，△CPQ退化；若P到C，△CPQ也退化，均不合题意。因此全部答案为t=60/17秒或40/9秒。思想点拨：同一个相似目标可能有两种边的对应方式，先分类列比例、再检验运动范围，体现分类讨论与方程思想。判定入口
必须核对的证据
对应检查
平行截线
一边的平行线与另外两边相交
截得小三角形与原三角形同顶点对应
两角
两组对应角分别相等
由角的顶点确定顺序
两边及夹角
两组对应边成比例，且夹角相等
相等角必须夹在这两组边之间
三边
三组对应边的比相等
可先按长、中、短边配对
小明的写法
请修正
AB/DF=AC/DE，△ABC∽△DFE
先由A↔D确定角两旁的边，再列同顺序的比例