初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）1.5 相似三角形的性质课堂检测

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本课核心问题
已知两个三角形相似，怎样从对应关系和相似比出发，可靠地求角、线段、周长与面积，并从结果反推出相似比？
一、学习目标
1. 能依据相似三角形的书写顺序确定对应角和对应边，并用相似比完成对应边、对应高、中线、角平分线的计算。
2. 能证明相似三角形对应线段比与周长比等于相似比，理解面积比等于相似比的平方。
3. 能由周长比或面积比逆向求相似比，并解决含面积和、面积差及复合图形的综合问题。
二、重点
• 相似三角形对应线段比、周长比与相似比的关系。
• 相似三角形面积比与相似比的平方关系。
三、难点
• 在复杂图形中准确确定对应关系，并区分长度的一次比与面积的平方比。
学习支架
对应高随三角形同步缩放
相似比k的三条变化规律
相似性质题的四步法
1. 按相似式写出顶点对应关系
2. 判断所求是线段、周长还是面积
3. 列k、k或k²对应的比例式并求解
4. 检查单位、对应方向，并把结果代回原条件复核
四、知识要点
1. 先定对应，再写比例
若△ABC∽△DEF，则A↔D，B↔E，C↔F，所以∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并有AB/DE=BC/EF=AC/DF=k。相似式的字母顺序就是对应关系表。不能因为两条边都在图中就随意相除；例如AB对应DE，而不是DF。
2. 对应线段的比等于相似比
相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线，都与对应边按同一个倍数缩放。若AH、DK是对应高，则AH/DK=k；若AM、DN是对应中线，则AM/DN=k；若AT、DP是对应角平分线，则AT/DP=k。证明思路以对应高为例：由原三角形相似可得一组对应锐角相等，两条高又产生相等的直角，所以含高的小三角形相似，进而得到高之比等于对应边之比。中线证明要先用中点把对应边各分成相同比例；角平分线证明要先用“对应角相等且各取一半”得到新的对应角相等。
3. 周长比等于相似比
设△ABC∽△DEF，且AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，则AB=k·DE，BC=k·EF，AC=k·DF。三式相加得AB+BC+AC=k(DE+EF+DF)，所以P△ABC/P△DEF=k。周长是所有边长的和，仍属于长度量，因此只乘一次k。
4. 面积比等于相似比的平方
设BC、EF是对应边，AH、DK是对应高，则BC/EF=k，AH/DK=k。因此S△ABC/S△DEF=(BC·AH)/(EF·DK)=k·k=k²。正向应用时先平方；逆向应用时由k²等于面积比，取正平方根得到k。面积带平方单位，例如cm²；相似比和面积比本身都不带单位。
五、典型例题
【例1】
例1 已知△ABC∽△DEF，A、B、C分别对应D、E、F。AB=12 cm，DE=18 cm，∠A=48°，∠B=67°。AH、DK分别是BC、EF边上的高，且AH=8 cm。求∠D、∠E、∠F及DK的长。
【解答】第1步，确定对应关系：A↔D，B↔E，C↔F。第2步，相似三角形对应角相等，所以∠D=∠A=48°，∠E=∠B=67°。第3步，三角形内角和为180°，所以∠C=180°-48°-67°=65°，从而∠F=∠C=65°。第4步，前一个三角形与后一个三角形的相似比k=AB/DE=12/18=2/3。第5步，AH与DK是对应边上的高，所以AH/DK=2/3，即8/DK=2/3。解得2DK=24，DK=12 cm。复核：8/12=2/3，与12/18相等；三个对应角也分别相等，结果一致。
【点拨】看到角先按顶点对应；看到高再确认它们分别落在一组对应边上。比例方向必须始终保持“前一个三角形/后一个三角形”。
【例2】
例2 在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，AE:EB=2:3。若四边形EBCF的面积为84 cm²，求△AEF和△ABC的面积。
【解答】第1步，因为EF∥BC，所以∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，从而△AEF∽△ABC。第2步，AE:EB=2:3，所以AB=AE+EB对应5份，AE/AB=2/5。故△AEF与△ABC的相似比k=2/5。第3步，面积比等于相似比的平方，所以S△AEF/S△ABC=(2/5)²=4/25。第4步，四边形EBCF占△ABC面积的1-4/25=21/25。设S△ABC=x cm²，则(21/25)x=84。两边同乘25，得21x=2100。所以x=100。于是S△AEF=(4/25)×100=16 cm²。复核：100-16=84 cm²，正好等于四边形EBCF的面积。
【点拨】边上分点给的是AE:EB，不能直接把2:3当作小三角形与大三角形的相似比；要先求AE:AB=2:5。
【例3】
例3 两个相似三角形的面积比为16:25，周长之差为18 cm。求两个三角形的周长。
【解答】第1步，面积比等于相似比的平方，因此较小三角形与较大三角形的相似比k=√(16/25)=4/5。第2步，周长比等于相似比，所以两个周长之比为4:5。第3步，设两个周长分别为4x cm、5x cm。由周长之差为18 cm，得5x-4x=18。所以x=18。因此两个三角形的周长分别为4×18=72 cm、5×18=90 cm。复核：90-72=18，且72/90=4/5；周长比的平方为16/25，与面积比一致。
【点拨】逆向题先由面积比开平方得到长度比，再把周长比转化为份数或方程。
同 步 练 习
相似比k的三条变化规律
相似性质题的四步法
1. 按相似式写出顶点对应关系
2. 判断所求是线段、周长还是面积
3. 列k、k或k²对应的比例式并求解
4. 检查单位、对应方向，并把结果代回原条件复核
★ 基础巩固
1. 1. 已知△ABC∽△DEF，∠A=52°，∠B=73°，AB=8 cm，DE=10 cm，DF=15 cm。则∠D=（________），∠E=（________），∠F=（________），AC=（________）cm。
2. 2. 两个相似三角形的相似比为3:4，它们的面积比也是3:4。（________）（ ）
3. 3. △ABC∽△DEF，AB:DE=5:7，AH、DK分别是BC、EF边上的高。若DK=14 cm，求AH。
4. 4. △ABC∽△DEF，AM、DN分别是BC、EF边上的中线。已知AM=9 cm，DN=15 cm，DE=20 cm，求AB。
5. 5. 两个相似三角形的相似比为4:9，较大三角形的周长为81 cm，求较小三角形的周长。
6. 6. 两个相似三角形的相似比为3:5，较小三角形的面积为27 cm²，求较大三角形的面积。
7. 7. 两个相似三角形的面积分别为36 cm²和81 cm²，求较小三角形与较大三角形的对应高之比。
8. 8. 小明解题时写道：“两个相似三角形的相似比是2:5，所以周长比是4:25，面积比是2:5。”请指出两处错误并改正。
9. 9. 若△ABC∽△DEF，AB/DE=3/5，则P△ABC/P△DEF=（________），S△ABC/S△DEF=（________）。
★★ 能力提升
10. 10. 已知△ABC∽△DEF，相似比为k。证明：P△ABC/P△DEF=k。
平行截线形成的小三角形与原三角形
11. 11. 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC。已知AD=6 cm，DB=3 cm，S△ADE=20 cm²。求S△ABC和四边形DBCE的面积。
12. 12. 两个相似三角形的相似比为5:8，周长之和为104 cm。求两个三角形的周长。
13. 13. 已知△ABC∽△A'B'C'，AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，A'D'、B'E'分别是△A'B'C'中B'C'、A'C'边上的高。求证：AD·B'E'=A'D'·BE。
14. 14. 某三角形警示牌的三边长为30 cm、40 cm、50 cm。现按相同形状制作一个放大版，使最短边为45 cm。求放大版的周长和面积。
交叉型相似三角形
15. 15. 线段AB与CD相交于点O，且△BOD∽△AOC，B、O、A在同一直线上，D、O、C在同一直线上。已知OD/OC=3/5，OB=6 cm，S△AOC=50 cm²。求OA和S△BOD。
★★★ 拓展延伸
三角形内接正方形
16. 16. 在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，BC=36 cm，AD=24 cm。正方形EFGH内接于△ABC，其中EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，HG∥BC。求正方形的边长。
平行四边形中的相似三角形
17. 17. 在平行四边形ABCD中，点E在AB上，AE:EB=3:2，DE交AC于点F。（1）证明△AEF∽△CDF；（2）求△AEF与△CDF的周长比；（3）若S△CDF=32 cm²，求S△AEF。
参 考 答 案
第1题：52°；73°；55°；12
【解析】由相似式知A↔D，B↔E，C↔F，所以∠D=52°，∠E=73°，∠F=180°-52°-73°=55°。又AB/DE=AC/DF，即8/10=AC/15，所以AC=12 cm。复核：12/15=8/10=4/5。
第2题：×
【解析】面积比应等于相似比的平方，即9:16，而不是3:4。
第3题：10 cm
【解析】对应高之比等于相似比，所以AH/DK=AB/DE=5/7。AH=14×5/7=10 cm。复核：10/14=5/7。
第4题：12 cm
【解析】AM/DN=AB/DE，所以9/15=AB/20。化简得3/5=AB/20，从而AB=12 cm。复核：12/20=3/5=9/15。
第5题：36 cm
【解析】周长比等于相似比，较小三角形周长=81×4/9=36 cm。
第6题：75 cm²
【解析】面积比为(3/5)²=9/25，所以27/S大=9/25。S大=27×25/9=75 cm²。复核：27/75=9/25。
第7题：2:3
【解析】面积比为36:81=4:9，相似比为√(4/9)=2/3。对应高之比等于相似比，所以为2:3。长度为正，取正平方根。
第8题：周长比应为2:5；面积比应为4:25。
【解析】周长由边长相加得到，只按一次相似比缩放；面积由对应底和高相乘得到，按相似比的平方缩放。故周长比=2:5，面积比=(2/5)²=4:25。
第9题：3/5；9/25
【解析】周长比等于相似比3/5；面积比等于相似比的平方，即9/25。
第10题：证明见解析。
【解析】由△ABC∽△DEF，且相似比为k，得AB/DE=BC/EF=AC/DF=k。因此AB=k·DE，BC=k·EF，AC=k·DF。三式相加，得AB+BC+AC=k(DE+EF+DF)。所以P△ABC=k·P△DEF，即P△ABC/P△DEF=k。证毕。该证明把三条对应边的同倍缩放转化为周长整体的同倍缩放。
第11题：S△ABC=45 cm²，S四边形DBCE=25 cm²。
【解析】因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。AB=AD+DB=9 cm，相似比AD/AB=6/9=2/3。于是S△ADE/S△ABC=(2/3)²=4/9，即20/S△ABC=4/9，所以S△ABC=20×9/4=45 cm²。四边形DBCE面积=45-20=25 cm²。复核：20/45=4/9，与相似比平方一致。
第12题：40 cm和64 cm。
【解析】周长比等于相似比。设两个周长分别为5x cm、8x cm，则5x+8x=104，即13x=104，x=8。因此两个周长分别为40 cm、64 cm。复核：40+64=104，40:64=5:8。
第13题：证明见解析。
【解析】设△ABC与△A'B'C'的相似比为k。因为AD与A'D'是对应边上的高，所以AD/A'D'=k；因为BE与B'E'也是对应边上的高，所以BE/B'E'=k。因此AD/A'D'=BE/B'E'。两边交叉相乘，得AD·B'E'=A'D'·BE。证毕。复核：若所有对应长度同时扩大k倍，两边乘积都扩大k倍后再乘另一对应高，等式保持成立。
第14题：周长180 cm，面积1350 cm²。
【解析】两个警示牌形状相同，对应三角形相似。相似比=45/30=3/2。原三角形周长=30+40+50=120 cm，所以放大版周长=120×3/2=180 cm。原三角形是直角三角形，面积=1/2×30×40=600 cm²。放大版面积=600×(3/2)²=600×9/4=1350 cm²。复核：放大后三边为45、60、75，周长为180；面积也可算1/2×45×60=1350 cm²。
第15题：OA=10 cm，S△BOD=18 cm²。
【解析】由△BOD∽△AOC，B↔A，O↔O，D↔C。相似比k=OD/OC=3/5，所以OB/OA=3/5，即6/OA=3/5，解得OA=10 cm。面积比S△BOD/S△AOC=(3/5)²=9/25，所以S△BOD=50×9/25=18 cm²。复核：6/10=3/5，18/50=9/25。
第16题：14.4 cm。
【解析】设正方形边长为x cm。因为HG∥BC，所以△AHG∽△ABC。正方形的高为x，故点A到HG的距离为24-x。△AHG与△ABC的对应高之比等于相似比，所以HG/BC=(24-x)/24，即x/36=(24-x)/24。交叉相乘得24x=36(24-x)。展开得24x=864-36x。移项得60x=864。所以x=14.4。代回复核：小三角形高为24-14.4=9.6，9.6/24=0.4；HG/BC=14.4/36=0.4，两比相等。数学思想：把内接正方形的边长转化为相似三角形的对应边与对应高，运用了转化化归和方程思想。
第17题：（1）证明见解析；（2）3:5；（3）288/25 cm²，即11.52 cm²。
【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD。E在AB上，故AE∥CD。又A、F、C共线，D、F、E共线，所以∠AEF=∠CDF，∠AFE=∠CFD。因此△AEF∽△CDF。（2）由AE:EB=3:2，设AE=3t，EB=2t，则AB=5t。平行四边形对边相等，CD=AB=5t。对应边AE与CD之比为3t:5t=3:5，所以两相似三角形的周长比为3:5。（3）面积比为(3/5)²=9/25，所以S△AEF/S△CDF=9/25。S△AEF=32×9/25=288/25 cm²=11.52 cm²。复核：周长比3/5平方后为9/25，与面积比一致。数学思想：先用平行关系完成相似判定，再把线段和差转化为相似比，体现了转化化归与数形结合思想。比较对象
比值
判断要点
对应边、对应高、中线、角平分线
k
必须是对应线段
周长
k
三条对应边分别按k缩放
面积
k²
底和对应高都按k缩放
比较对象
比值
判断要点
对应边、对应高、中线、角平分线
k
必须是对应线段
周长
k
三条对应边分别按k缩放
面积
k²
底和对应高都按k缩放