湘教版（2024）九年级上册（2024）1.2 平行线分线段成比例第2课时练习题

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本课核心问题
看到一组平行线和两条截线，怎样找准对应线段、列出方向一致的比例，并用它完成计算或证明？
一、学习目标
1. 理解并能准确表述平行线分线段成比例的条件与结论。
2. 能在一般截线图、三角形基本图和延长线图中识别对应线段，写出结构一致的比例式。
3. 会用比例的基本性质规范求线段长度或完成简单证明，并能辨析反用定理、错配线段等错误。
二、重点
• 平行线分线段成比例的条件、对应关系及三角形基本形式。
• 依据图中点序选择相邻段比或部分整体比，并保持比例方向一致。
三、难点
• 在相交直线和延长线图中找准对应线段，区分“由平行得比例”和“由比例猜平行”的推理方向。
学习支架
一般截线图：同一平行线带内的线段互相对应
三角形内截基本图：D、E分别在AB、AC上，DE∥BC
延长线基本图：D、E在AC、AB的反向延长线上，DE∥BC
定理方向辨析
比例计算四步法
1. 查条件：写明哪几条线平行、哪两条直线被截
2. 找对应：按同一平行线带配对线段
3. 列比例：统一为上段/下段或部分/整体
4. 解与验：用比例基本性质求解，再代回原比例
四、知识要点
1. 从等段到成比例：定理的形成
先看特殊情形。三条平行线a∥b∥c截两条直线l₁、l₂，在l₁上依次得到A、B、C，在l₂上依次得到A₁、B₁、C₁。若AB=BC，则另一条截线上的对应段也有A₁B₁=B₁C₁。这说明平行线组能把“等分”从一条截线传递到另一条截线。当AB与BC不相等时，教材用面积关系说明这种传递仍然保持同一个比值：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。这就是平行线分线段成比例。条件不可省略：①有两条截线；②有同一组互相平行的直线；③比较的是同一对平行线之间的对应线段。
2. 对应线段与三类常用比例
在一般截线图中，AB与A₁B₁都夹在平行线a、b之间，所以它们对应；BC与B₁C₁都夹在b、c之间，所以它们对应；整体AC与A₁C₁对应。因此可写：AB/BC=A₁B₁/B₁C₁；AB/AC=A₁B₁/A₁C₁；BC/AC=B₁C₁/A₁C₁。检查比例是否正确，可以给每个比贴结构标签。若左边是“上段/下段”，右边也必须是“上段/下段”；若左边是“上段/整体”，右边也必须是“上段/整体”。同一个正确等式可同时把两边取倒数，但不能只颠倒一边。
3. 三角形基本图与延长线图
在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC。把AB、AC看作两条截线，把过A且平行于DE的直线、DE、BC看作一组平行线，可得：AD/DB=AE/EC，AD/AB=AE/AC，DB/AB=EC/AC。若D、E分别在AC、AB的反向延长线上，且DE∥BC，结论仍按对应位置写成AE/AB=AD/AC。此时必须先确认点序：E—A—B、D—A—C，所以EB=EA+AB，DC=DA+AC。图画在三角形外面不会改变“同一平行线带内线段对应”的本质。
4. 计算、证明与推理方向
计算题按四步书写：先写平行条件，再写对应比例，然后用比例的基本性质解未知数，最后把答案代回原比例检查两边是否相等。不要只写一个交叉相乘算式，否则难以判断对应线段是否配对正确。证明题也要形成证据链。例如由DE∥BC得到AD/DB=AE/EC，再由比例基本性质得到AD·EC=AE·DB。若有两组平行线，就分别写出两组比例，再通过等量代换连接到目标结论。特别注意方向：本定理只保证“平行→对应线段成比例”。从一个比例等式直接反推两线平行，不能写成“由平行线分线段成比例”，因为那是在把结论当作条件。
五、典型例题
【例1】
例1 在平面内，三条直线p、q、r互相平行。直线l₁与p、q、r依次交于A、B、C，直线l₂与p、q、r依次交于A₁、B₁、C₁。已知AB=3.6 cm，BC=6 cm，A₁B₁=4.5 cm，求B₁C₁。
【例2】
例2 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC。求证：AD/DB=AE/EC，且AD/AB=AE/AC。
【例3】
例3 在△ABC中，点E、D分别在边AB、AC的反向延长线上，点序为E—A—B、D—A—C，且DE∥BC。已知AB=8 cm，AC=10 cm，AE=12 cm。求AD及EB/DC。
同 步 练 习
一般截线图：同一平行线带内的线段互相对应
三角形内截基本图：D、E分别在AB、AC上，DE∥BC
定理方向辨析
比例计算四步法
1. 查条件：写明哪几条线平行、哪两条直线被截
2. 找对应：按同一平行线带配对线段
3. 列比例：统一为上段/下段或部分/整体
4. 解与验：用比例基本性质求解，再代回原比例
★ 基础巩固
1. 1. 补全定理：两条直线被一组（________）所截，所得的（________）线段成比例。
2. 2. 两条直线被三条直线所截，不论这三条直线是否平行，所得对应线段都成比例。（________）（ ）
D、E分别在AB、AC上，DE∥BC
3. 3. 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC。已知AD=4 cm，DB=6 cm，AE=5 cm，求EC。
4. 4. 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC。已知AB=15，AD=9，AC=20，求AE。
a∥b∥c，l₁、l₂为两条截线
5. 5. 三条直线a、b、c互相平行，截线l₁上A、B、C依次位于a、b、c上，截线l₂上A₁、B₁、C₁依次位于a、b、c上。已知AB=3，BC=5，A₁B₁=4.2，求B₁C₁。
6. 6. 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上。小明由AD/AB=AE/AC直接写出“根据平行线分线段成比例，DE∥BC”。他的定理使用方向正确。（________）（ ）
7. 7. 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC。下列比例中正确的是（________）。
A. AD/DB=EC/AE
B. AD/AB=AE/AC
C. DB/AB=AE/AC
D. AD/AC=DB/EC
8. 8. 三条平行线a∥b∥c截两条直线，第一条截线上相邻线段AB=BC，第二条截线上的对应上段A₁B₁=4.8 cm，则对应下段B₁C₁=（________）cm。
E—A—B、D—A—C，DE∥BC
9. 9. 在△ABC中，E、D分别在AB、AC的反向延长线上，点序为E—A—B、D—A—C，且DE∥BC。已知AB=6 cm，AC=8 cm，AE=9 cm，求AD。
★★ 能力提升
10. 10. 已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上。要直接使用平行线分线段成比例得到AD/DB=AE/EC，还必须知道（________）。
A. AD=AE B. DE∥BC
C. AB=AC D. ∠A=60°
A—O—C、B—O—D，AB∥MN∥CD
11. 11. 两条直线AC与BD相交于点O，点序分别为A—O—C、B—O—D。过A、B的直线AB与过C、D的直线CD平行，过O作MN∥AB，因此AB∥MN∥CD。已知OA=7.5 cm，OC=12.5 cm，OB=9 cm，求OD。
12. 12. 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC。已知AD=6，DB=4，AE=9。小华写出6/4=EC/9，算得EC=13.5。请指出错误并求EC的正确值。
过点D作DE∥BC，交AC于点E，并在图上标出平行符号。
13. 13. 在给出的△ABC中，点D在边AB上。过点D作DE∥BC，交AC于点E；在图上标出E，并写出两组结构不同的比例式。
★★★ 拓展延伸
P、D在AB上，Q、E在AC上，PQ∥DE∥BC
14. 14. 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC；P、Q分别在AD、AE上，PQ∥DE。求证：PD/DB=QE/EC。
E—A—B、D—A—C，DE∥BC
15. 15. 在△ABC中，E、D分别在AB、AC的反向延长线上，点序为E—A—B、D—A—C，DE∥BC。已知AB=8 cm，AC=10 cm，AE=12 cm。（1）求AD；（2）求EB与DC；（3）一名同学认为EB/DC也等于AB/AC，请用计算结果和定理结构双重说明他的结论是否正确。
本课可直接使用
本课不能反向套用
已知DE∥BC，推出AD/DB=AE/EC。
只知AD/AB=AE/AC，就声称“由本定理得DE∥BC”。
本课可直接使用
本课不能反向套用
已知DE∥BC，推出AD/DB=AE/EC。
只知AD/AB=AE/AC，就声称“由本定理得DE∥BC”。