湘教版（2024）九年级上册（2024）1.3 相似图形第3课时课时练习

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本课核心问题
面对两个大小、位置或方向不同的图形，怎样用对应角和对应边的数量关系判定并计算它们的相似关系？
一、学习目标
1. 理解相似三角形和相似多边形的定义，能依据完整的对应角、对应边条件作出判断。
2. 能从相似式中确定对应顶点、对应角和对应边，规范写出对应关系。
3. 掌握相似比的含义和方向，能列比例求对应角、对应边，并解释实际等比例缩放。
4. 能用反例辨析直角三角形、矩形等图形是否一定相似，说明全等与相似的联系。
二、重点
• 相似图形中对应角相等、对应边成比例。
• 根据对应顺序书写相似式和相似比，并由比例求未知量。
三、难点
• 在图形发生旋转、顺序改变或存在多种配对可能时，始终保持对应顶点和对应边一致。
学习支架
统一放大1.5倍的两个直角三角形：AB=4，AC=3；DE=6，DF=4.5
相似核对表：不是只比一项
对应关系不能错位
特殊图形是否一定相似
处理相似题的四步检查
1. 按相似式或角的位置锁定对应顶点
2. 列出对应角和对应边，不跨组配对
3. 统一“前图形/后图形”的方向写比例
4. 求值后用另一组对应边或特殊情形复核
四、知识要点
1. 从“形状相同”到相似的数学定义
把一个图形在两个方向上按同一倍数放大或缩小，形状不变、大小可以改变，这给出相似的直观认识。对三角形，数学上要求更精确：三个角分别对应相等，并且三条边分别对应成比例，两个条件要同时满足，才称为相似三角形。记作△ABC∽△DEF时，字母位置传递了对应关系：A对应D，B对应E，C对应F。不能只凭“看着像”、一组角相等或一组边的比相等作出结论；定义中的“对应”与“全部”是判断核心。
2. 对应角、对应边与相似式
若△ABC∽△DEF，由字母位置可直接得到∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F；对应边是AB与DE、BC与EF、AC与DF。相似式也可以反过来帮助检查书写：如果已知∠A对应∠F、∠B对应∠D、∠C对应∠E，就应写成△ABC∽△FDE。图形即使被平移、旋转或翻转，对应关系仍由顶点的角和相邻边决定，而不是由“左边点对应左边点”决定。规范步骤是先列顶点映射，再写边的映射，最后列比例。
3. 相似比的方向与计算
相似三角形对应边的比叫作相似比。若按△ABC∽△DEF的顺序，把第一个三角形的边放在分子、第二个三角形的对应边放在分母，可写AB/DE=BC/EF=AC/DF=k。这里k是“△ABC与△DEF的相似比”。若交换顺序，△DEF与△ABC的相似比是1/k。例如AB=8、DE=12，则前者与后者的相似比为2/3，反向为3/2。求未知边时，要保证每一个比都使用同一方向；求出后再检查所有边是否都乘了同一个倍数。
4. 相似多边形的条件与性质
对于边数相同的两个多边形，如果它们的对应角分别相等、对应边成比例，就称这两个多边形为相似多边形。相似多边形同样具有对应角相等、对应边成比例的性质。四边形ABCD∽四边形EFGH意味着A、B、C、D依次对应E、F、G、H，所以AB/EF=BC/FG=CD/GH=DA/HE。判断矩形是否相似不能只说“四个角都是直角”，还必须检查长与长、宽与宽的比是否相同；非等比例拉伸会改变长宽比，因此不是相似变换。
5. 相似、全等与特殊图形的边界
全等图形不仅形状相同，大小也相同；相似图形允许大小不同。当相似比k=1时，所有对应边分别相等，再结合对应角相等，两个三角形全等，所以全等三角形是相似三角形的特例。任意两个等边三角形一定相似，任意两个正方形也一定相似；但任意两个直角三角形、矩形、菱形或平行四边形都不一定相似。判断“一定相似”时应寻找定义的必然证据；判断“不一定相似”时，只需给出一个条件完整的反例。
五、典型例题
【例1】
例1 已知△ABC∽△DEF，A、B、C分别对应D、E、F。∠A=52°，AB=10 cm，AC=8 cm，DE=15 cm。求∠D和DF的长。
【例2】
例2 四边形ABCD的四个角依次为80°、100°、80°、100°，四边长AB、BC、CD、DA依次为4 cm、6 cm、5 cm、7 cm；四边形EFGH的四个角依次为80°、100°、80°、100°，四边长EF、FG、GH、HE依次为6 cm、9 cm、7.5 cm、10.5 cm。判断这两个四边形是否相似；若相似，写出相似式和两个方向的相似比。
【例3】
例3 已知△PQR∽△XYZ，PQ=6，QR=8，PR=10，XY=9，YZ=12，XZ=15。小明写出PQ/YZ=QR/XY=2/3，并说△PQR与△XYZ的相似比是3/2。指出错误并给出正确结论。
同 步 练 习
统一放大1.5倍的两个直角三角形：AB=4，AC=3；DE=6，DF=4.5
对应关系不能错位
处理相似题的四步检查
1. 按相似式或角的位置锁定对应顶点
2. 列出对应角和对应边，不跨组配对
3. 统一“前图形/后图形”的方向写比例
4. 求值后用另一组对应边或特殊情形复核
★ 基础巩固
1. 一幅校徽图案在复印机中横向和纵向都放大到原来的1.5倍，所得图案与原图案相似。（________）（ ）
2. 两个矩形的四个角都分别相等，所以任意两个矩形一定相似。（________）（ ）
3. 任意两个等边三角形一定相似。（________）（ ）
4. 已知△ABC∽△FDE，则∠B的对应角是（________），边AC的对应边是（________）。
5. 若△ABC∽△DEF，AB=12，DE=18，则△ABC与△DEF的相似比是（________），△DEF与△ABC的相似比是（________）。
6. 已知△ABC∽△DEF，AB=9 cm，BC=12 cm，DE=15 cm，求EF。
7. 若两个三角形全等，那么它们相似，且相似比为1。（________）（ ）
8. 四边形ABCD∽四边形GHEF，则顶点C对应顶点（________），边DA对应边（________）。
9. 相似五边形ABCDE与五边形A₁B₁C₁D₁E₁的对应边比为3/4。若BC=7.5 cm，求B₁C₁。
★★ 能力提升
10. 下列四组条件中，能直接依据本课相似三角形定义说明△ABC∽△DEF的是（________）。
A. ∠A=∠D=60°，AB/DE=2/3
B. 三边分别为3、4、6与6、8、11
C. ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF=AC/DF=4/5
D. 两个三角形都是直角三角形
11. 已知△ABC∽△DEF，A↔D、B↔E、C↔F。AB=6，BC=9，AC=12；DE=8，EF=12，DF=16。小华写出AB/EF=BC/DF=AC/DE=1/2。请判断他的比值是否正确，指出错误原因，并写出正确的比例式。
已知三角形与作图区
先按A、B、C的坐标画出△ABC，再按A'、B'、C'的坐标画出第二个三角形，并标注三组对应顶点。
补画△A'B'C'的方格作图区
12. 在方格纸上画△ABC，其中A(1，1)、B(4，1)、C(1，3)。再画△A'B'C'，使A'(6，1)、B'(12，1)、C'(6，5)。连接各点，并说明△A'B'C'与△ABC是否相似；若相似，写出△ABC与△A'B'C'的相似比。
屏幕适配尺寸
13. 一张电子海报的原始画面为12 cm×8 cm。方案甲把它显示为18 cm×12 cm；方案乙把它显示为18 cm×11 cm。哪个方案保持画面与原图相似？另一个方案为什么会变形？
★★★ 拓展延伸
14. 有△ABC。小组先把它向右平移5个单位，再绕新位置的顶点A₁顺时针旋转90°，得到△A₁B₁C₁；随后保持A₁不动，把A₁B₁、A₁C₁及B₁C₁都扩大到原来的3/2，得到△A₂B₂C₂。说明△ABC与△A₂B₂C₂是否相似，写出△ABC与△A₂B₂C₂的相似比，并解释每一步中哪些量改变、哪些量不变。
矩形ABCD：AB=x cm、BC=6 cm；矩形EFGH：EF=6 cm、FG=3 cm（可旋转）
15. 一张矩形卡片的边长为x cm和6 cm，另一张矩形卡片的边长为6 cm和3 cm。两张卡片可以旋转后比较。若它们相似，求x的所有可能值，并分别说明对应方式与相似比。
核对项目
△ABC
△DEF
结论
第一组角
∠A=90°
∠D=90°
相等
第二、三组角
∠B≈36.9°，∠C≈53.1°
∠E≈36.9°，∠F≈53.1°
分别相等
第一组边
AB=4
DE=6
AB/DE=2/3
第二组边
AC=3
DF=4.5
AC/DF=2/3
第三组边
BC=5
EF=7.5
BC/EF=2/3
错误写法
正确写法
已知△ABC∽△DEF，却写AB/EF=AC/DF。AB的端点A、B分别对应D、E，所以AB不对应EF。
A↔D，B↔E，C↔F，因此AB↔DE，BC↔EF，AC↔DF；应写AB/DE=BC/EF=AC/DF。
图形组合
是否一定相似
关键证据
两个直角三角形
不一定
只有一组直角相等，其余角可能不同
两个等边三角形
一定
三个角都为60°，三边各自相等，三组对应边比相同
两个矩形
不一定
四角虽都为90°，长宽比可能不同，如2×5与3×6
两个正方形
一定
四角都为90°，四边各自相等，三组及四组对应边比相同
错误写法
正确写法
已知△ABC∽△DEF，却写AB/EF=AC/DF。AB的端点A、B分别对应D、E，所以AB不对应EF。
A↔D，B↔E，C↔F，因此AB↔DE，BC↔EF，AC↔DF；应写AB/DE=BC/EF=AC/DF。
画面
长/cm
宽/cm
长边放大倍数
短边放大倍数
原图
12
8
1
1
方案甲
18
12
3/2
3/2
方案乙
18
11
3/2
11/8