湘教版（2024）九年级上册（2024）第1章 图形的相似1.6 相似三角形的应用随堂练习题

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本课核心问题
面对不能直接量的距离、高度或偏差，怎样构造相似三角形，并证明对应关系、算出结果、判断结果是否可信？
一、学习目标
1. 能够从测距、测高、遮挡或偏差情境中抽象出相似三角形，并写出完整的判定依据。
2. 能够按顶点对应关系建立比例，统一单位，求出不可直接测量的距离、高度或偏差。
3. 能够用回代比例、数量级和误差范围检验结果，评价间接测量方案是否可行。
二、重点
• 依据共线、平行、垂直或同一光线方向建立相似三角形模型。
• 正确选择对应边，把可测量的小尺度量转化为待测的大尺度量。
三、难点
• 识别视线模型中的高度基准与复合线段，并把误差随相似比放大的影响纳入检验。
学习支架
相似三角形间接测量五步法
1. 定目标：写清不能直接测量的量及单位
2. 构图形：标出共线、平行、垂直和全部可测数据
3. 证相似：写出两组角相等及顶点对应顺序
4. 列比例：统一单位后用对应边建立方程并计算
5. 做检验：回代比例，检查数量级、模型条件与误差
池塘外构造相似三角形的确定性示意图
常见应用模型对比
视线测高中的关键对比
四、知识要点
1. 模型一：把不可直接测距转化为岸外可测线段
在不能跨越的池塘、河沟或建筑障碍外，可选择一点C，使目标两端A、B都能被看到。若A、C、D共线，B、C、E共线，并使AC/DC=BC/EC，那么∠ACB=∠DCE，夹角两边成比例，所以△ABC∽△DEC。由对应关系A↔D、B↔E、C↔C，得到AB/DE=AC/DC=BC/EC。建模时要记录点的共线关系和实际测得的数据；计算后应把求得的AB代回AB/DE，检查是否等于设定的相似比。
2. 模型二：距离比决定偏差的放大倍数
若观察点O、近端基准点A、远端目标点B在同一直线上，且近端偏差AA′与远端偏差BB′近似平行，则△OAA′∽△OBB′。于是BB′/AA′=OB/OA，远端偏差等于近端偏差乘距离比。这个模型不仅算结果，也能评价精度：近端长度的测量误差同样会乘以OB/OA。若放大倍数很大，即使近端误差很小，远端估计也可能不满足实际精度要求。
3. 模型三：视线与光线构成的间接测高
视线测高时，眼睛、参照物顶端和目标顶端共线，参照物与目标都垂直于水平地面。过眼睛作水平线后，相似三角形的两条竖直边分别是“目标高度−目高”和“参照物高度−目高”，而不是两个总高度。影长测高时，同一时刻太阳光线可视为平行，物高与水平影长构成相似直角三角形。若影子落在墙上，应先把目标高度分成墙上截得高度与其上方增量，再用地面水平距离求增量。
4. 模型四：结构迁移、方案设计与可靠性检验
比例规、栏杆长短臂、宣传栏遮挡和平行踏板虽然外观不同，本质都是寻找共线、平行或等距带来的相似关系。解决这类问题时可先遮住数字，只判断哪两个三角形相似、哪两条边对应，再恢复数据计算。一个完整结论应包含：模型条件成立、比例式正确、单位一致、数值合理。实际测量还要说明忽略了哪些厚度或倾斜，并估计这些简化是否会显著改变结果。
五、典型例题
【例1】
例1 测量池塘两端A、B间的直线距离。测量员在岸外取点C，并在射线CA的反向延长线上取D，在射线CB的反向延长线上取E。实测AC=24 m，DC=8 m，BC=21 m，EC=7 m，DE=18 m。求AB，并检验结果。
【例2】
例2 测量办公楼高度。学生眼睛F离地1.6 m，一根3.4 m高的标杆CE竖直立在学生与楼之间。调整位置后，眼睛F、杆顶E、楼顶A在同一直线上。学生到标杆的水平距离为4.5 m，标杆到楼脚B的水平距离为31.5 m，地面水平。求楼高AB，并检验。
【例3】
例3 同一时刻，一根1.5 m高的标杆在水平地面上的影长为2.5 m。一棵竖直大树AB的影子越过地面后落在竖直墙上，墙脚D与树脚B相距12 m，树影在墙上的最高点E离地3.0 m。求树高AB，并检验。
同 步 练 习
相似三角形间接测量五步法
1. 定目标：写清不能直接测量的量及单位
2. 构图形：标出共线、平行、垂直和全部可测数据
3. 证相似：写出两组角相等及顶点对应顺序
4. 列比例：统一单位后用对应边建立方程并计算
5. 做检验：回代比例，检查数量级、模型条件与误差
常见应用模型对比
★ 基础巩固
1. 1. 岸外测距时，A、C、D共线，B、C、E共线。测得AC=18 m，DC=6 m，BC=15 m，EC=5 m，DE=14 m。证明所用三角形相似，求AB，并用比例回代检验。
2. 2. 某测距方案中，A、C、D共线，B、C、E共线，AC=30 m，DC=10 m，BC=24 m。为了使△ABC与△DEC按A↔D、B↔E、C↔C相似，EC应取多少米？若实测DE=16.5 m，求AB。
3. 3. 在池塘外构造测距模型时，只要∠ACB=∠DCE，就一定有△ABC∽△DEC。（________）（ ）
4. 4. 观察点O、近端点A、远端点B在同一直线上，AA′∥BB′。已知OA=0.40 m，OB=80 m，近端偏差AA′=0.8 mm。求远端偏差BB′，结果用米表示，并检验数量级。
5. 5. 一根可绕固定点O转动的栏杆，短臂OA=1.2 m，长臂OB=4.8 m。转动角度很小时，A、B两端的竖直位移可近似看成互相平行。若短臂端A下降0.35 m，求长臂端B上升多少米。
6. 6. 同一时刻，一根1.8 m高的标杆影长为2.4 m，附近一棵竖直树的影长为9.6 m，地面水平。求树高，并说明相似条件。
7. 7. 学生目高1.5 m，手持一根竖直测量杆，杆顶离地2.7 m。调整位置后，眼睛、杆顶、路灯顶端共线。学生到杆的水平距离为2.4 m，杆到路灯脚的水平距离为9.6 m，地面水平。求路灯高度。
8. 8. 比例规两脚AC、BD交于O，A、O、C共线，B、O、D共线，并且AB∥CD。已知OA/OC=OB/OD=2.5。当两尖端A、B夹住一条长36 mm的线段时，另一端C、D之间的距离是多少毫米？
9. 9. 在视线测高模型中，目高为1.6 m，参照杆高为3.1 m。列相似比例时，参照杆对应的竖直边长应写为（________）m。
10. 10. 某偏差放大模型中OA=0.5 m，OB=60 m，AA′=1 mm，且AA′∥BB′。BB′最接近（________）。
A. 0.012 m B. 0.12 m
C. 1.2 m D. 120 m
★★ 能力提升
雕塑影子落墙示意图
11. 11. 同一时刻，一根1.2 m高的标杆在水平地面上的影长为2.0 m。一座雕塑的影子越过地面落在竖直墙上，雕塑脚到墙脚的水平距离为15 m，墙上影点离地4.5 m。求雕塑高度，并用“假想完整影长”复核。
12. 12. 宣传栏BC与其后方一排树所在直线DE平行。观察者A到宣传栏的垂直距离AF=4 m，树列到宣传栏的垂直距离为3 m。A恰好透过宣传栏两端看到树列两端D、E。树列上共有7棵树，相邻间距均为1.8 m，不计树干与宣传栏厚度。求宣传栏BC的长。
13. 13. 网球从距地面h米的点P沿直线飞行，恰好越过高0.9 m的球网顶端Q，随后落在地面点R。P到球网的水平距离为12 m，球网到R的水平距离为6 m，地面水平。求h，并检验飞行直线的下降率。
14. 14. 一张梯子的两侧边都是直线，5级踏板互相平行，且相邻踏板沿梯子侧边的间隔相等。最上一级踏板长0.52 m，最下一级踏板长0.84 m。求中间三条踏板从上到下的长度，并说明为什么长度按等差变化。
视线测旗杆的原创确定性示意图
15. 15. 用视线法测旗杆。学生目高1.55 m，竹竿高3.05 m，学生到竹竿的水平距离为3.0 m，竹竿到旗杆脚的水平距离为24.0 m；眼睛、竹竿顶端、旗杆顶端共线，竹竿和旗杆均竖直，地面水平。求旗杆高度。另一位同学直接列AB/3.05=27/3，他的模型错在哪里？
16. 16. 一项远距定位测量中，OA=0.25 m，OB=75 m，AA′∥BB′。近端偏差AA′测得为0.60 mm，但仪器读数可能有±0.02 mm误差。求远端偏差的估计值及可能范围，并判断“误差不超过5 mm”的远端精度要求能否满足。
★★★ 拓展延伸
17. 17. 某小组测量河对岸两点A、B的距离。在本岸选点C，并让A、C、D共线，B、C、E共线。方案甲取AC/DC=BC/EC=4，测得DE=23.6 m，卷尺测量DE的可能误差为±0.10 m；方案乙重新布点，使两组边比都为2，测得DE=47.1 m，可能误差仍为±0.10 m。(1) 分别求两方案对AB的估计值及仅由DE误差引起的范围。(2) 若把两次估计的平均数作为结果，写出结果。(3) 从误差放大角度选择更稳健的方案，并说明理由。
18. 18. 学校要估测教学楼高度，并要求方案在不靠近楼脚的情况下可实施。甲组使用视线法：学生目高1.60 m，参照杆高3.20 m，学生到参照杆的水平距离4.0 m，参照杆到楼脚的水平距离32.0 m，眼睛、杆顶、楼顶共线。乙组同一时刻使用影长法：1.50 m高标杆的影长为2.00 m；教学楼影子受围墙遮挡，只量得楼脚到墙脚18.0 m，影子在墙上的最高点离地8.80 m。(1) 分别求两组得到的楼高。(2) 两结果是否一致？若将视线共线误差、地面坡度和墙体倾斜等实际因素考虑在内，应怎样表述测量结论？(3) 写出两个模型各自必须核查的一项关键条件。
模型
保证相似的关键条件
竖直或横向对应量
结果检验
岸外测距
两组点分别共线，另有两边成比例或平行条件
待测岸宽 ↔ 岸外可测线段
回代两组边比是否相等
视线测高
眼睛、参照物顶端、目标顶端共线；竖直物均垂直地面
高出眼睛水平线的部分
结果应大于参照物高度
影长测高
同一时刻太阳光线平行；物体均垂直水平地面
物高 ↔ 地面影长
物高/影长应与标杆相同
远处偏差
观察点和远近位置共线；两条偏差线段近似平行
近端偏差 ↔ 远端偏差
远端偏差等于近端偏差乘距离比
错误建模
正确建模
旗杆总高/竹竿总高=眼到旗杆水平距离/眼到竹竿水平距离。
(旗杆总高−目高)/(竹竿高−目高)=眼到旗杆水平距离/眼到竹竿水平距离。
模型
保证相似的关键条件
竖直或横向对应量
结果检验
岸外测距
两组点分别共线，另有两边成比例或平行条件
待测岸宽 ↔ 岸外可测线段
回代两组边比是否相等
视线测高
眼睛、参照物顶端、目标顶端共线；竖直物均垂直地面
高出眼睛水平线的部分
结果应大于参照物高度
影长测高
同一时刻太阳光线平行；物体均垂直水平地面
物高 ↔ 地面影长
物高/影长应与标杆相同
远处偏差
观察点和远近位置共线；两条偏差线段近似平行
近端偏差 ↔ 远端偏差
远端偏差等于近端偏差乘距离比