湘教版（2024）九年级上册（2024）1.1 线段的比第1课时课堂检测

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本课核心问题
怎样在不丢失非零条件的前提下，把比例关系可靠地转化、求解并迁移到连比与合比问题？
一、学习目标
1. 理解比例、比例内项和比例外项的意义，能在具体比例式中准确辨认。
2. 掌握比例的基本性质，能在非零条件下双向转化比例式与乘积等式并求未知量。
3. 能依据比例的基本性质推导倒比、交错比、合比等变式，并解决连比、等比合成和比例中项问题。
二、重点
• 比例的基本性质及其逆向使用。
• 用统一公共项或设共同比值法处理连比与多个相等比。
三、难点
• 在变形中保持分母非零、内外项配对和公共项份数一致，并对分类结果完整复核。
学习支架
比例3:5=12:20的结构核对
交叉相乘不能配错项
比例题五步检查法
1. 检查各分母及题设要求的量是否非零
2. 辨认内项、外项或需要统一的公共项
3. 写出乘积等式、统一份数或设共同比值k
4. 逐步解方程并化简结果
5. 把结果代回原比例或两积关系复核
四、知识要点
1. 比例的结构：两个比值相等
如果a/b=c/d（其中b≠0，d≠0），就说a、b、c、d成比例，也可写成a:b=c:d。在a:b=c:d中，位于两端的a、d是比例外项，位于中间的b、c是比例内项。辨认时不要受字母位置或正负号影响，只按比例式的结构判断。例如-2:5=6:(-15)中，外项是-2和-15，内项是5和6。两个比值都等于-2/5，所以四个数确实成比例。
2. 基本性质：比例式与乘积等式双向转换
由a/b=c/d，两边同乘非零数bd，得到ad=bc，这就是比例的基本性质：比例的外项积等于内项积。反过来，若ad=bc且b、d非零，两边同除以bd，可得a/b=c/d。因此在所需分母非零时，a/b=c/d与ad=bc是等价的。求未知量时可按“去分母—解方程—代回检验”进行。例如x/15=6/10，交叉相乘得10x=90，所以x=9；代回得9/15=3/5，6/10=3/5，左右相等。
3. 比例式的合法变形
设a/b=c/d，且a、b、c、d均非零。倒数相等可得b/a=d/c；由ad=bc两边同除以cd可得a/c=b/d；在原比例两边同加1可得(a+b)/b=(c+d)/d；两边同减1可得(a-b)/b=(c-d)/d。关键是每一步都能追溯到等式性质，而不是见到“分子分母同时变化”就认为比值不变。例如由x/y=2/3并不能推出(x+1)/(y+1)=2/3；取x=2、y=3时，左边为3/4，已经构成反例。
4. 连比：先统一公共项
由a:b=m:n、b:c=p:q求a:b:c时，两个比中的b必须表示相同份数。可把n与p化为它们的公倍数，再同步扩大两个比。例如p:q=2:3，q:r=6:5。第一个比扩大2倍得p:q=4:6，第二个比已经是q:r=6:5，所以p:q:r=4:6:5。验算时分别检查4:6=2:3、6:5=6:5。直接写成2:3:5会使后一个相邻比变成3:5，违背题设。
5. 多个相等比：设共同比值
若a/b=c/d=e/f=k，则a=kb、c=kd、e=kf。于是a+c+e=k(b+d+f)。当b+d+f≠0时，(a+c+e)/(b+d+f)=k。这不是把三个分式随意相加，而是先用共同比值表示各分子，再提取公因数k。这个方法还能处理给定分母和、求分子和的问题。
6. 比例中项：中项的平方等于两端积
若x:y=y:z，且有关分母非零，则y叫作x和z的比例中项。由比例的基本性质得y²=xz。当x、z为正数且要求正的比例中项时，y取正值；若未限定y的符号，方程y²=xz可能有两个互为相反数的解。判断某数是否为比例中项，既可比较x:y与y:z，也可检验y²是否等于xz。
五、典型例题
【例1】
例1（基本转化）已知a、b均为非零实数，求a/b的值：（1）6a=7b；（2）(a-2b)/b=3/4。
【例2】
例2（变式辨析）已知8/12=10/15。分别计算并判断：（1）12/8与15/10是否相等；（2）8/10与12/15是否相等；（3）(8+12)/12与(10+15)/15是否相等；（4）(8+1)/(12+1)是否仍等于8/12。
【例3】
例3（等比合成）已知a/b=c/d=e/f=3/5，b+d+f=40，求a+c+e。
同 步 练 习
交叉相乘不能配错项
比例题五步检查法
1. 检查各分母及题设要求的量是否非零
2. 辨认内项、外项或需要统一的公共项
3. 写出乘积等式、统一份数或设共同比值k
4. 逐步解方程并化简结果
5. 把结果代回原比例或两积关系复核
★ 基础巩固
1. 在比例7:9=14:18中，比例内项是（________），比例外项是（________）。
2. 解比例：x/15=6/10。
3. 判断：若a、b、c、d均为非零实数，且ad=bc，则a/b=c/d。（________）（ ）
4. 已知(m-2)/8=3/4，求m。
两积核对表
5. 根据表中数据，判断每行的四个数是否成比例，并填写“是”或“否”。
6. 已知p:q=-2:5，q:r=15:14，求p:q:r。
7. 若x:12=12:27，求x。
8. 判断：若a/b=c/d，且a、b、c、d均非零，则(a-b)/b=(c-d)/d。（________）（ ）
9. 一张照片原来的宽与高之比为3:2。冲印后宽为27 cm，且照片形状不变，求冲印后的高。
10. 已知a/b=c/d=4/7，且b+d=35，求a+c。
★★ 能力提升
11. 由4x=7y（x、y均非零）可得到x/y的值为（________）。
A. 4/7 B. 7/4
C. -7/4 D. 11/4
小明的交叉相乘
12. 小明解x/6=4/9时写成4x=6×9。请指出错误并求出正确的x。
13. 解比例：(2x+3)/(x-1)=5/2，并检验分母条件。
14. 已知a:b=3:5，b:c=10:7，且a+b+c=69，求a、b、c。
★★★ 拓展延伸
15. 已知p:q=2:3，q:r=6:5，且p+q+r=60。（1）求p、q、r；（2）求(p+q)/(q+r)，并说明该比值能否由连比直接得到。
16. 正数x、y、z满足x:y=y:z，且y=24，x+z=52。求所有有序数对(x，z)。
表示
外项
内项
外项积
内项积
3:5=12:20
3，20
5，12
3×20=60
5×12=60
错误
正确
由a/b=c/d写成ac=bd，把同为分子的a、c相乘了。
由a/b=c/d写成ad=bc；外项a、d的积等于内项b、c的积。
错误
正确
由a/b=c/d写成ac=bd，把同为分子的a、c相乘了。
由a/b=c/d写成ad=bc；外项a、d的积等于内项b、c的积。
a
b
c
d
ad
bc
2
3
8
12
24
24
-4
6
10
-15
60
60
5
7
15
20
100
105
小明写法
待修正结构
4x=6×9
外项x、9的积=内项6、4的积