湘教版（2024）九年级上册（2024）1.2 平行线分线段成比例第2课时复习练习题

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本课核心问题
面对多条线段，怎样确定谁和谁对应、比的顺序是否一致，并用同一个比解决未知长度或判断黄金分割？
一、学习目标
1. 能够统一长度单位并正确求两条线段的比，说明比值没有单位。
2. 能够按同一对应顺序判断四条或多条线段是否成比例，并求未知线段。
3. 能够用公共比例系数解决对应边与周长问题，并通过回代检验。
4. 能够依据BC/AC=AC/AB判断黄金分割，并解决简单实际位置问题。
二、重点
• 成比例线段的定义及对应顺序。
• 用公共比例系数表示对应线段并求未知长度。
三、难点
• 在不同表达中始终保持分子、分母的对应方向一致，并区分黄金分割中的原线段、较长部分和较短部分。
学习支架
对应关系先对齐，再写比
只颠倒一个比会破坏对应
黄金分割中的三种线段对象
成比例线段四步检查
1. 统一单位
2. 列出对应
3. 沿同一方向写比
4. 化简或交叉相乘复核
四、知识要点
1. 线段的比：先统一单位
两条线段AB、A'B'的长度分别为m、n，它们的比记作AB/A'B'=m/n。若这个比为k，就有AB=k·A'B'，k表示前一条线段是后一条线段的k倍。线段的比本质上是两个长度数值的商，所以比较前必须统一单位，化简后的比值不带长度单位。例如3 cm与45 mm的比不能直接写3/45，应先把3 cm化为30 mm，再得30/45=2/3。
2. 成比例的线段：对应和方向缺一不可
若四条线段a、b、c、d满足a/b=c/d，就称a、b、c、d是成比例的线段。判断时不能只说“四个数能凑出比例”，而要说明本题采用的排列与对应。多组线段对应成比例时，可先列两行对应表，再统一写成AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'。一个比颠倒时，另一个比也必须同时颠倒；否则分子和分母所代表的组别不一致。
3. 公共比例系数：由局部线段走向整体
若AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=k，那么AB=k·A'B'、BC=k·B'C'、AC=k·A'C'。因此第一组三条线段的和也是第二组三条线段之和的k倍。遇到三边与周长问题，可设公共比例系数为x，用已知组三边分别乘x表示未知组三边，再根据周长列方程。求解后既要检查三边和是否等于周长，也要检查每组对应边的比是否相等。
4. 黄金分割：同一线段内部的特殊比例
点C在线段AB上，若AC是较长部分、BC是较短部分，并且BC/AC=AC/AB，就称点C是线段AB的黄金分割点。较长部分与原线段的比AC/AB叫黄金分割比，教材给出其值约为0.618。因此实际估算时可用AC≈0.618AB，再由BC=AB-AC求较短部分；判断时仍应把BC/AC和AC/AB分别算出并比较，不能只检查一个数是否接近0.618。
五、典型例题
【例1】
例1 四条线段a、b、c、d的长度分别为6 cm、15 cm、8 mm、20 mm。按a与b、c与d的顺序，它们是成比例的线段吗？若把第二个比误写成d/c，结论会怎样？
【解答】第一步：a、b同为厘米，c、d同为毫米，每一个比内部单位已经相同。第二步：按题目顺序计算a/b=6/15=2/5，c/d=8/20=2/5。第三步：因为a/b=c/d，所以按a、b、c、d这一排列，四条线段成比例。第四步：若只把第二个比写成d/c，则d/c=20/8=5/2，与a/b不相等。错误不在数值计算，而在只颠倒了一个比。复核：交叉相乘，6×20=120，15×8=120，比例成立。
【点拨】先声明排列，再沿同一方向写两个比；“同时颠倒”仍成立，“只颠倒一边”通常不成立。
【例2】
例2 △ABC的三边AB、BC、AC与△A'B'C'的三边A'B'、B'C'、A'C'对应成比例。已知A'B'=5 cm，B'C'=7 cm，A'C'=8 cm，△ABC的周长为50 cm，求△ABC的三边长。
【解答】第一步：设公共比例系数为x，则AB=5x cm，BC=7x cm，AC=8x cm。第二步：由△ABC周长为50 cm，得5x+7x+8x=50。第三步：20x=50，解得x=2.5。第四步：AB=12.5 cm，BC=17.5 cm，AC=20 cm。复核一：12.5+17.5+20=50，符合周长条件。复核二：12.5/5=17.5/7=20/8=2.5，对应比一致。
【点拨】公共比例系数把三条边同时表示出来，周长就是求系数的等量关系。
【例3】
例3 线段AB长20 m，点C在AB上且AC为较长部分。按黄金分割比0.618估算AC、BC，并检验BC/AC与AC/AB是否近似相等（结果保留三位小数）。
【解答】第一步：AC≈0.618×20=12.36 m。第二步：BC=AB-AC≈20-12.36=7.64 m。第三步：AC/AB≈12.36/20=0.618。第四步：BC/AC≈7.64/12.36≈0.618。两比保留三位小数后相等，因此这个位置符合黄金分割的近似条件。复核：AC+BC=12.36+7.64=20 m，与原线段长度一致。
【点拨】先确定“较长/原线段”，再用“较短/较长”复核；近似数判断要统一保留位数。
同 步 练 习
对应关系先对齐，再写比
只颠倒一个比会破坏对应
黄金分割中的三种线段对象
成比例线段四步检查
1. 统一单位
2. 列出对应
3. 沿同一方向写比
4. 化简或交叉相乘复核
★ 基础巩固
1. 1. 已知1 cm=10 mm，求线段3 cm与15 mm的长度之比。
2. 2. 已知AB=7.5 cm，A'B'=12.5 cm，则AB/A'B'=（________），AB=（________）·A'B'。
3. 3. 线段a、b、c、d的长度依次为2 cm、3 cm、8 cm、12 cm，因为a/b=c/d，所以它们按此顺序成比例。（________）（ ）
4. 4. 线段a、b、c、d的长度依次为4 cm、6 cm、10 cm、18 cm，它们按a/b=c/d成比例。（________）（ ）
5. 5. 已知AB与A'B'、BC与B'C'分别对应，且AB/A'B'=BC/B'C'。下列等式一定正确的是（________）。
A. AB/BC=B'C'/A'B'
B. A'B'/AB=B'C'/BC
C. AB/B'C'=BC/A'B'
D. AB/A'B'=B'C'/BC
6. 6. 四条线段3 cm、5 cm、x cm、20 cm按3/5=x/20成比例，求x。
7. 7. 第一组三条线段长为4、6、9，第二组三条线段长为10、15、22.5。下列对应关系正确的是（________）。
A. 4↔10，6↔22.5，9↔15
B. 4↔15，6↔10，9↔22.5
C. 4↔10，6↔15，9↔22.5
D. 4↔22.5，6↔15，9↔10
8. 8. 两个三角形的三边对应成比例，小三角形与大三角形对应边之比为4/7。小三角形周长为36 cm，求大三角形周长。
9. 9. 在线段AB=10 cm上，点C满足AC=6.18 cm、BC=3.82 cm，按保留三位小数比较，点C可看作AB的黄金分割点。（________）（ ）
10. 10. 一张展板设计图按1∶50绘制，图上长边为8 cm。已知100 cm=1 m，把图上长边与实际长边看作对应线段，求实际长边，并写出同向比。
★★ 能力提升
11. 11. P组线段P₁、P₂、P₃的长度为4 cm、6 cm、10 cm，Q组对应线段Q₁、Q₂、Q₃的长度为10 cm、15 cm、25 cm。下列等式不成立的是（________）。
A. P₁/Q₁=P₂/Q₂
B. P₁/P₂=Q₁/Q₂
C. P₁/Q₂=P₂/Q₃
D. P₁/P₃=Q₁/Q₃
12. 12. 一条20 m长的舞台前沿记为AB。主持人站在点C，且AC为较长部分。按黄金分割比0.618估算AC，并把结果精确到0.1 m；再求BC。
13. 13. 小明判断6 cm、10 cm、9 cm、15 cm成比例时写道：“因为6/10=15/9，所以成比例。”指出错误，并按a=6 cm、b=10 cm、c=9 cm、d=15 cm的顺序给出正确判断。
14. 14. 已知四条正线段AB、BC、A'B'、B'C'满足AB/A'B'=BC/B'C'=k。证明(AB+BC)/(A'B'+B'C')=k。
★★★ 拓展延伸
15. 15. 校园科技节制作一块三角形标识牌。设计图三边为6 cm、8 cm、10 cm，成品对应最长边为1.5 m，且三边须按同一比例放大。（1）求设计图与成品的线段比；（2）求成品另外两边及周长；（3）工人测得成品三边为0.91 m、1.20 m、1.50 m，判断是否严格符合设计比例，并说明理由。
16. 16. 书签长边AB=16.2 cm，设计师在AB上取点C，使AC=10.0 cm、BC=6.2 cm，并称C为黄金分割点。（1）分别计算AC/AB与BC/AC，结果保留三位小数；（2）根据计算判断该说法是否合理；（3）若保持AB不变，按0.618重新确定较长部分AC，AC应取多少厘米（精确到0.1 cm）？
参 考 答 案
第1题：2
【解析】3 cm=3×10=30 mm，所以30/15=2。比值不带单位。
第2题：0.6；0.6
【解析】7.5/12.5=0.6，因此两个空都填0.6。
第3题：√
【解析】2/3=8/12，且比较顺序一致。
第4题：×
【解析】4/6=2/3，而10/18=5/9，两比不相等。
第5题：B
【解析】原等式两边同时取倒数，得A'B'/AB=B'C'/BC。D只颠倒了第二个比。
第6题：x=12
【解析】由3/5=x/20，得5x=60，所以x=12。代回：12/20=3/5。
第7题：C
【解析】4/10=6/15=9/22.5=0.4，三组对应比相等。
第8题：63 cm
【解析】周长之比也为4/7。设大三角形周长为P，则36/P=4/7，P=36×7/4=63 cm。
第9题：√
【解析】AC/AB=0.618，BC/AC=3.82/6.18≈0.618，两比近似相等。
第10题：实际长边为4 m；同向比为8 cm/400 cm=1/50。
【解析】实际长边=8×50=400 cm=4 m。写比时先把实际长度化为厘米。
第11题：C
【解析】A中4/10=6/15；B中4/6=10/15；D中4/10=10/25。C中4/15≠6/25。B、D虽然改变了写法，但仍保持对应位置一致。
第12题：AC≈12.4 m，BC≈7.6 m。
【解析】AC≈20×0.618=12.36 m，精确到0.1 m为12.4 m；BC≈20-12.4=7.6 m。若用未四舍五入值相减，得7.64 m，精确到0.1 m仍为7.6 m。
第13题：错误是只把第二个比写成了d/c。按给定顺序应比较a/b与c/d；6/10=3/5，9/15=3/5，所以a、b、c、d按此顺序成比例。
【解析】数值对象必须与符号顺序绑定。正确式为6/10=9/15；若两边同时取倒数，也可写10/6=15/9。
第14题：由AB/A'B'=k，得AB=k·A'B'；由BC/B'C'=k，得BC=k·B'C'。两式相加，AB+BC=k(A'B'+B'C')。因为A'B'+B'C'>0，所以(AB+BC)/(A'B'+B'C')=k。
【解析】证明的关键不是直接套“和也成比例”，而是先把每条线段都表示成对应线段的k倍，再提取公因数k。这也解释了对应三边成比例时周长为什么按同一系数变化。
第15题：（1）1.5 m=150 cm，设计图与成品的比为10/150=1/15。（2）成品另外两边为6×15=90 cm=0.90 m，8×15=120 cm=1.20 m；周长为0.90+1.20+1.50=3.60 m。（3）不严格符合。0.91/0.90≠1，而另外两边与设计值相符；也可比较6/91与8/120，两比不相等。
【解析】先用一组明确对应边确定公共比例系数15，再迁移到其余对应边和周长。最后不是凭“只差1 cm”作主观判断，而是回到对应比是否相等的定义。数学思想：转化化归与方程思想，把实际米制数据统一到厘米后用同一个比例系数控制整体。
第16题：（1）AC/AB=10.0/16.2≈0.617，BC/AC=6.2/10.0=0.620。（2）两比不完全相等，但都接近0.618；若这是精确作图数据，不能称为严格黄金分割点，若允许毫米级制作误差，可视为近似黄金分割，需声明误差标准。（3）AC≈16.2×0.618=10.0116 cm，精确到0.1 cm为10.0 cm。
【解析】本题把“严格相等”和“实际近似”分开：定义判断要求BC/AC=AC/AB；制作情境可以在明确精度后比较近似值。第（3）问从目标比反求线段长，再与原设计数据比较。数学思想：数形结合与近似建模，用线段包含关系确定对象，用数值误差解释结论边界。对应序号
第1组
第2组
同向比
①
AB
A'B'
AB/A'B'
②
BC
B'C'
BC/B'C'
③
AC
A'C'
AC/A'C'
错误写法
正确写法
AB/A'B'=B'C'/BC，只把第二个比颠倒。
AB/A'B'=BC/B'C'；或A'B'/AB=B'C'/BC，两边同时颠倒。
对应序号
第1组
第2组
同向比
①
AB
A'B'
AB/A'B'
②
BC
B'C'
BC/B'C'
③
AC
A'C'
AC/A'C'
错误写法
正确写法
AB/A'B'=B'C'/BC，只把第二个比颠倒。
AB/A'B'=BC/B'C'；或A'B'/AB=B'C'/BC，两边同时颠倒。