九年级上册（2024）2 菱形的性质与判定综合训练题

这是一份九年级上册（2024）2 菱形的性质与判定综合训练题，共46页。试卷主要包含了2 菱形的性质与判定 二阶训练等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，则AC的长为（ ）
A．12B．1C．32D．3
2．“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”.我国传统建筑中的窗棂(如图1)古典雅致，含蓄灵动.构成某扇窗棂的一个窗格可抽象成如图2所示的菱形ABCD，若测得AB=10 cm，AC=12 cm，则 BD 的长为( )
A．16 cmB．17 cmC．18 cmD．19 cm
3． 如图， 在菱形ABCD中， ∠B=54°， 现将菱形ABCD绕点B逆时针旋转16°得菱形A'BC'D'， 连接DD'，则∠D'DC=?( )
A．108°B．109°C．110°D．111°
4．如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，将线段CD水平向左平移n个单位长度得到线段 MN，若四边形ABMN 为菱形，则n的值为 ( )
A．1B．2C．3D．5
5． 如图，BD是菱形ABCD的对角线，作BC的垂直平分线分别交BD、BC于点E、F，连接AE、CE，若∠ABC=46°，则∠DAE的度数为（ ）
A．105°B．108°C．111°D．114°
6．如图，在菱形ABCD中，点P是边BC上一点，AB=AP，连接PD．若∠BAP=40°，则∠PDC的度数为（ ）
A．12°B．15°C．20°D．25°
7．如图，菱形ABCD的边长为4，且∠A=60°，DE⊥BC于点E，P为BD上一点，且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（ ）
A．3+1B．27+2C．23+1D．27+1
8．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（ ）．
A．48B．24C．12D．6
9．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点，则图中共有菱形（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O， AE平分∠CAD交CD于点E，若AE=BD，则∠CAD=（ )
A．22.5°B．30°C．36°D．37.5°
二、填空题
11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，DB=6cm，则四边形ABCD的周长为 .
12．已知菱形的周长为24cm，两邻角之比为2：1.则较短的对角线的长为
13．如图， 菱形ABCD的对角线AC， BD 相交于点O， AC=16，BD=12，E是BC的中点，连结OE，则OE 的长是 ．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC交BD 于 O，已知AB=10 ， AC=12，BD=16 ，那么点 O 到BC的距离为 .
15． 如图， 菱形ABCD的边长为10， 对角线BD =16， P， Q为BD上两个动点， 且PQ=2，则AP +AQ 的最小值为 .
三、解答题
16．如图，过▱ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC， CD， DA 于E， F， G， H 四点，连接EF， FG， GH， HE.判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由.
17． 如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC， BD相交于点O. E， F为对角线BD上的两点，请你从以下三个条件： ①AE=CF； ②∠1=∠2； ③AC=EF，选择一个合适的作为已知条件，使四边形AECF为菱形.(不添加辅助线)
⑴你选择的条件是 ▲ (填序号)；
⑵选择了一个条件后，请证明四边形AECF为菱形.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD与AC交于O，如图
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=1，AC与BD互相垂直平分，AC=2AO，∠DAO=12∠DAB=30°，
∴AO=AD×cs∠DAO=1×cs30°=32，
∴AC=2AO=3，
故答案为：D．
【分析】做辅助线后，依据菱形的性质，得出AB=AD=1，AC与BD互相垂直平分，AC=2AO，∠DAO=12∠DAB=30°，此时利用余弦公式计算出AO=32，最后即可求得AC的长度．
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，AC与BD相交于点O，
因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，AO=12AC=6cm，BO=12BD，
在Rt△ABO中，AB=10cm：
所以BO=AB2−AO2=102−62=8
所以BD=2BO=16cm。
故答案为：A。
【分析】首先根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=12AC=6cm，BO=12BD，进而根据勾股定理可求得BO的长，进一步得出BD的长度。
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接BD、BD'， DD'，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ADC=∠ABC=54°，
∴∠BDC=12∠ADC=27∘,
∵菱形ABCD绕点B逆时针旋转 16∘得菱形A'BC'D'，
∴BD'=BD,∠D'BD=16∘,
∴∠BDD'=∠BD'D=12×180∘−16∘=82∘,
∴∠D'DC=∠BDD'+∠BDC=82∘+27∘=109∘.
故选： B.
【分析】连接BD、BD'，DD'，如图，先根据菱形的性质得到 ∠ADC=∠ABC=54∘,则 ∠BDC=27∘,再根据旋转的性质得到 BD'=BD,∠D'BD=16∘,接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出 ∠BDD'=∠ BD'D=82∘,然后计算 ∠BDD'+∠BDC即可.
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABMN为菱形，
∴BM=AB=3，
∴CM=BC−BM=2，
∴将线段CD水平向左平移2个单位得到四边形ABMN为菱形．
故答案为：B .
【分析】根据菱形的性质得到BM=AB=3，再根据平移的性质解答即可.
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=12×46∘=23∘，
∴∠BAD=180∘−∠ABC=180∘−46∘=134∘.
∵EF垂直平分BC，
∴EB=EC，即△EBC为等腰三角形，
∴∠ECB=∠EBC=23∘.
菱形对角线BD是对称轴，
∴△ABE≅△CBE，
∴AE=CE，
结合EB=EC，
得AE=EB，△ABE为等腰三角形，
∴∠EAB=∠EBA=23∘.
∴∠DAE=∠BAD−∠EAB=134∘−23∘=111∘.
故答案为：C.
【分析】由菱形性质，先求出对角线平分内角的度数、邻角互补得到∠BAD；由线段垂直平分线性质得到EB=EC，推出底角∠ECB=∠EBC；由菱形对角线的轴对称性，证明△ABE与△CBE全等，得到AE=EB；根据等腰三角形两底角相等得到∠EAB=23∘，用∠BAD减去∠EAB求出∠DAE.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AP，∠BAP=40°，∴∠ABP=∠APB=70°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB=70°，且AP=AD=AB，
∴∠ADP=55°，
∵∠ADC=∠ABP=70°，
∴∠PDC=∠ADC−∠ADP=15°，
故答案为：B．
【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，由AB=AP，∠BAP=40°可求出∠ABP=∠APB=70°，由四边形ABCD是菱形可得AD=AB，∠B=∠ADC，AD∥BC，求出∠DAP=∠APB=70°，且AP=AD=AB，可得∠ADC=∠ABP=70°，从而可求出∠PDC=15°．
7．【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AC交BD与点O，再连接AE交BD与点P
∵四边形ABCD为菱形且边长为4
∴AC⊥BD，AO=OC，AD=CD=BC=4
∵ ∠A=60°
∴ ∠ADB=60°
∵ DE⊥BC于点E
∴ ∠BDE=30°，DE=23，E为BC中点
∴ ∠ADE=90°，CE=2
∴AE=27
∴ △PCE的周长AE+CE=27+2
故答案为：B。
【分析】利用菱形的性质，得到点A与点C关于BD对称，CD=BC，再连接AE与BD交于点P，即为所求，求PC+PE就是求AE，根据 ∠A=60°，CD=BC，根据DE⊥BC于点E，利用等腰三角形三线合一，即可得到∠BDE=30°，利用勾股定理即可得到 DE=23，CE=2，再根据∠A=60°，AD=AB，所以三角形ADB为等边三角形，所以∠ADB=60°，即可得到 ∠ ADE=90°，再次利用勾股定理即可得到AE=27，即可得到△PCE的周长AE+CE=27+2。
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=12×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=12×24=12．
故选C．
【分析】利用菱形面积公式求出菱形的总面积，再根据菱形是中心对称图形，推导出阴影部分的面积等于菱形面积的一半即可解答.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点，
∴△AEF、△BDF、△EFD、△CDE均为等边三角形且全等，
∴AF=AE=EF=BF=DF=BD=DE=CE=CD，
∴组成的菱形有：菱形AEDF、菱形EFDB、菱形EFDC，共3个，
故答案为：B.
【分析】先证出AF=AE=EF=BF=DF=BD=DE=CE=CD，再结合图形找出所有的菱形即可.
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，AE平分 ∠CAD交CD于点E，过点D作DF∥AE交BA延长线于点F，设 ∠CAD=2α,
∴∠DAE=∠CAE=12∠CAD=α,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,∠BAO=∠CAD=∠ACD=2α,
∴∠AED=∠CAE+∠ACE=3α,
∵DF‖AE,AF‖DE,
∴四边形DFAE是平行四边形，
∴∠F=∠AED=3α,DF=AE,
∵AE=BD,
∴DF=BD,
∴∠ABD=∠F=3α,
∵AC⟂BD,
∴∠OAB+∠ABO=90∘,
∴2α+3α=90∘,
解得： α=18∘,
∴∠CAD=2α=36∘,
故选： C.
【分析】如图，过点D作 DF‖AE交BA延长线于点F，设 ∠CA D=2α,表示出∠DAE=∠CAE=12∠CAD=α,然后表示出∠AED=∠CAE+∠ACE=3α,证明出四边形DFAE是平行四边形，得到 ∠F=∠AED=3α,DF=AE,表示出 ∠ABD=∠F=3α,进而利用 ∠OAB+∠ABO=90∘求解即可.
11．【答案】20cm
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD为菱形，AC=8cm，DB=6cm，
所以AD=BC=CD=AB，AC⊥BD，OA=OC=4cm，OB=OD=3cm，
在Rt△AOD中，
由勾股定理得：AD=OA2+OD2=42+32=5cm，
所以周长为5×4=20cm.
故答案为：20cm.
【分析】根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的四条边相等，然后在Rt△AOD中，运用勾股定理得到边长，进而计算周长即可.
12．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的四条边相等，周长为24cm，
∴菱形的边长为24÷4=6cm，
∵菱形的两邻角之比为2：1，且邻角互补，
∴较小内角为180°×12+1=60°，
∵菱形的边长与较短对角线构成等边三角形，
∴较短对角线的长等于菱形的边长，即6cm．
故答案为：6．
【分析】先根据菱形四条边相等的性质，结合周长计算出菱形的边长为6cm；再根据菱形邻角互补的性质，结合两邻角之比2：1求出较小内角为60°；最后利用菱形的边长与较短对角线构成等边三角形的性质，得出较短对角线的长等于边长，即6cm．
13．【答案】5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=12AC，OB=12BD.
∵AC=16，BD=12，
∴OA=8，OB=6.
由勾股定理得：AB=OA2+OB2=10.
∵E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=5.
故填：5.
【分析】先根据菱形的性质和勾股定理，求得AB的值，再利用三角形的中位线的性质，即可求得OE的长.
14．【答案】4.8
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OM⊥BC于点M，
由题意知，
OB=12BD=8，OA=OC=12AC=6，
∵AB=10
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=10，
∵S△BOC=12OB·OC=12BC·OM
∴OM=OB·OCBC=8×610=4.8
即点O到BC的距离为4.8
故答案为：4.8.
【分析】过点O作OM⊥BC于点M，根据平行四边形的性质求出OB=12BD=8，OA=OC=12AC=6，根据勾股定理逆定理求出∠AOB=90°，即可判定四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质求出BC，再根据三角形面积公式求解即可.
15．【答案】237
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=12BD=8，OA=OC（菱形对角线互相垂直平分）。
在RtΔAOB中，AB=10，OB=8，
由勾股定理得：OA=AB2−OB2=102−82=6，
∴AC=2OA=12。
∵点A关于BD的对称点为点C，
∴AP=CP，
∴AP+AQ=CP+AQ。
将点C沿BD方向平移2个单位得到点C'，连接C'Q、AC'，
∵CC'∥PQ且CC'=PQ=2，
∴四边形CC'QP为平行四边形，
∴CP=C'Q，
∴AP+AQ=C'Q+AQ。
当A、Q、C'三点共线时，C'Q+AQ取得最小值，最小值为线段AC'的长度。
∵CC'∥BD，AC⊥BD，
∴AC⊥CC'，即∠ACC'=90°。
在RtΔACC'中，AC=12，CC'=2，
由勾股定理得：AC'=AC2+CC'2=122+22=148=237
故答案为：237
【分析】本题考查菱形性质与轴对称最短路径问题的综合应用。先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线的长度；再利用菱形的轴对称性，将AP转化为CP，通过平移构造平行四边形，将CP进一步转化为C'Q，把两条线段和的最小值转化为两点之间线段最短的问题；最后在直角三角形中用勾股定理计算出最短路径的长度。
16．【答案】解：四边形EFGH的形状为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴OA=OC，AB∥CD
∴∠OAE=∠OCG
在△OAE和△OCG中
∠OAE=∠OCGOA=OC∠AOE=∠COG
∴△OAE≌△OCG(ASA)
∴OE=OG
同理可得OF=OH
∴四边形EFGH为平行四边形
∵EG⊥FH
∴四边形EFGH为菱形
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】根据平行四边性质可得OA=OC，AB∥CD，则∠OAE=∠OCG，根据全等三角形判定定理可得△OAE≌△OCG(ASA)，则OE=OG，同理可得OF=OH，再根据菱形判定定理即可求出答案.
17．【答案】（1）①(或②)
（2）选择①证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，
∴∠AOE=∠COF=90°．
在Rt△AOE和Rt△COF中，
AE=CFAO=CO，
∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL)，
∴OE=OF，
又∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形．
选择②证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，
∴∠AOE=∠COF=90°．
在△AOF和△COE中，
∠2=∠1AO=CO∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OE=OF，
又∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】选择①或②均可，
故答案为：①(或②)；
【分析】（1）根据菱形的判定方法，逐项判定即可；
（2）选择①，根据菱形的性质，利用HL得到Rt△AOE≌Rt△COF，即可得到OE=OF，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到结论即可；
选择②，根据菱形的性质，利用ASA得到△AOF≌△COE，即可得到OE=OF，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到结论即可.