初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）3.1 一元二次方程的概念教学演示ppt课件

这是一份初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）3.1 一元二次方程的概念教学演示ppt课件，共11页。PPT课件主要包含了没有未知数，代数式，一元一次方程，二元一次方程，不等式，分式方程，整理得，根据题意得，×20x，整理以上方程可得等内容，欢迎下载使用。
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程.
3.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程.
问题1：如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程（其中 π 取 3）；
解：设由于圆的半径为 x cm，则它的面积为 3x2 cm2.
问题2： 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆. 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x，
问题 在一块宽 20 m、长 32 m 的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路 (两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直)，把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图，要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应为多少呢？
1. 若设小路的宽是 x m，则横向小路的面积是_____m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2.
2. 由于花坛的总面积是 570 m2. 你能根据题意，列出方程吗？
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2 = 570，
x2－36x＋35 = 0. ③
还有其它的列法吗？ 试说明理由.
(20－x)(32－2x) = 570.
x2－36x＋35 = 0.
方程 ①、②、③ 都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
③未知数的最高次数是 2.
x2 - 36x＋35 = 0 ③
如果一个方程通过整理可以使右边为 0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 是已知数，a ≠ 0).
其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项.
一元二次方程的一般形式
想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a ≠ 0， b = 0 时，
当 a ≠ 0， c = 0 时，
ax2＋bx = 0，
当 a ≠ 0，b = c =0 时，
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
化简为 x2 - 3x + 2 = 0
化简为 4x2 -1 = 4x2 +12x + 9
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2) x3 + x2 = 36
(3) x + 3y = 36
(5) x + 1 = 0
(1) x2 + x = 36
注意：未限定 a ≠ 0
例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？
(1)ax2－x = 2x2
(2) (a－1)x | a | +1－2x－7 = 0.
解：(1)将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程. (2)由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时，原方程是关于 x 的一元二次方程.
方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可求解．
变式 方程 (2a－4)x2 − 2bx + a = 0， （1）在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为关于 x 的一元一次方程？
解：(1)当 2a − 4 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，是关于 x 的一元二次方程；
(2)当 a = 2 且 b ≠ 0 时，是关于 x 的一元一次方程．
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax = b (a ≠ 0)
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
都是整式方程，且只含有一个未知数
例3 下列方程是一元二次方程吗？若是， 指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2)（2）5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4.
解：（1）去括号， 得
3x - 3x2 + 10 = 2x + 4.
移项， 合并同类项， 得
- 3x2 + x + 6 = 0，
这是一元二次方程， 其中二次项系数是 -3， 一次项系数是 1， 常数项是 6.
可以， 其中二次项系数是 3， 一次项系数是 1， 常数项是 6.
思考：上式可以写成 3x2 - x - 6 = 0 吗？那么各项系数又是多少？常数项是多少呢？
这是一元一次方程， 不是一元二次方程.
（2） 5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4.
5x2 + 5x + 7 = 5x2 - 4.
5x + 11 = 0，
练一练： 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
3x2 - 3x = 5x + 10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2 - 8x - 10 = 0.
其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10.
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x + 2 = 5x - 2；
(x + 3)(2x - 4) = x2；
3y2 = (3y + 1)(y - 2)；
x2 = x3 + x2 - 1；
3x2 = 5x - 1.
3.关于 x 的方程 (k2 − 1)x2 ＋ 2(k − 1)x＋2k＋ 2＝0，当 k 　　时，是一元二次方程．当 k 　　时，是一元一次方程．
4.(1)有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为 3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm，根据方盒的底面积为 3600 cm2，得
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
(2)要组织要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?