初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）有理数的乘法与除法第2课时教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）有理数的乘法与除法第2课时教学设计，共44页。教案主要包含了教学目标，教学设计等内容，欢迎下载使用。
（一）学习目标
1.掌握有理数的加减乘除混合运算．
2.会综合应用知识解决实际问题；了解用计算器计算有理数的四则运算的方法．
（二）学习重点
掌握有理数的加减乘除混合运算．
（三）学习难点
掌握运算顺序以及灵活运算法则．
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
计算下列各题
（1）= -2 ； （2）= -2 ，
（3）= 22 ； （4）= ．
观察上面四个小题，你发现有理数的混合运算的运算顺序是先乘除、后加减，如果有括号，先算小括号里面的，再算大括号里面的.
2.预习自测
（1）计算：10+2÷×（﹣2）
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：原式=10+2×3×（﹣2）=10﹣12=﹣2．
【思路点拨】原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．
【答案】﹣2．
（2）计算：．
【知识点】有理数的除法．
【解题过程】解：=．
【思路点拨】把除法变为乘法，再按照乘法的分配律进行计算．
【答案】23．
（3）计算 ．
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：原式=﹣×﹣× = ×（﹣﹣） =﹣．
【思路点拨】先把除法化为乘法，然后利用乘法的分配律进行计算．
【答案】﹣．
（4）计算：3.75×（2﹣1）+85%÷3．
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：原式= ×+÷ = +×= += ．
【思路点拨】根据有理数混合运算顺序先计算括号内的，再计算乘除运算，最后计算加减即可得．
【答案】．
（二）课堂设计
1.知识回顾
有理数的混合运算中，先算__乘除___，再算__加减___，如果有括号，先算__括号内的__，再算_括号外的__.
2.问题探究
探究一 掌握有理数的加减乘除混合运算．★▲
●活动① 回顾旧知
师问1：在小学里，加减乘除四则运算的顺序是怎样的？
学生举手抢答．
总结：先乘除后加减，同级运算从左往右依次进行，有括号的，先算括号内的，另外还要注意灵活应用运算律．扩充到有理数的范围内，四则运算依然适用．
例1．计算： （1）－8+4÷（－2）；
（2）（－7）×（－5）－90÷（－15）．
师问2：你认为这两个算式的运算顺序是怎么样的？
生答：（1）按运算顺序，先做除法，再做加法．（2）先算乘、除法，然后做减法．
师讲：那同学们就动手做一做吧.
师生活动：有两名中等学生到黑板板演,结束后由学生点评.
师问3：你认为这两个题目中什么地方最容易出错？
师生活动：小组交流后得出结论
生答：第1题中，除法运算后的结果是负数，可能会忘掉，第2题中除法运算后的结果是负数，减去一个负数时，可能忘了变号.
总结：在计算过程中，最容易出错的问题是符号问题，当题目中出现负号时要高度预警，特别要注意.
【设计意图】通过例题的板演，让学生动手，体会解答过程，体会计算中最容易出错的符号问题.
●活动② 强化练习 巩固新知
练习：
计算：（1） ； （2）；
（3） ； （4）．
师生活动：由4个同学在黑板上板演、再由学生点评.
【知识点】有理数的混合运算.
【解题过程】解：（1）
=
=2
（2）
=
=－16
（3）
=
=－156
（4）
=
=－25
【思路点拨】注意观察运算结构，确定运算顺序，还需注意计算结果的符号问题.
【答案】（1）2、（2）－16，（3）－156，（4）－25.
【设计意图】在例题讲完之后，紧跟4个练习，让学生能够尽快熟练掌握有理数的混合运算.
探究二 会运用综合应用知识解决实际问题▲
●活动① 体会实际问题中的有理数的混合运算
例9：某公司去年1～3月平均每月亏损1.5万元，4～6月平均每月盈利2万元，7～10月平均每月盈利1.7万元，11～12月平均每月亏损2.3万元，这个公司去年总的盈利情况如何？
【知识点】实际问题中有理数的混合运算．
【解题过程】解：（－1.5）×3+2×3+1.7×4+（－2.3）×2
=－4.5+6+6.8－4.6=3.7（万元）．
答：这个公司去年全年盈利3.7万元．
【思路点拨】盈利与亏损是具有相反意义的量，我们把盈利额记为正数，亏损额记为负数，那么公司去年全年亏盈额就是去年1～12月的所亏损额和盈利额的和．
【答案】全年盈利3.7万元．
【设计意图】根据分析相反意义的量，弄清“平均每月”的含义，让学生体会生活中的有理数的混合运算.
●活动② 计算器的使用
师讲： 计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比笔算要快捷得多．例如：用计算器计算例9中的：（－1.5）×3+2×3+1.7×4+（－2.3）×2
师生活动：学生阅读课本第37页有关内容，按课本介绍的方法操作．教师巡视，关注学习有困难的学生，给予指导．
【设计意图】让学生体会数学计算与现代科技的联系.
3.课堂总结
知识梳理
（1）掌握有理数混合运算的运算顺序.
（2）理解有理数混合运算中的易错点：符号问题.
（3）能从实际问题中提炼有理数混合运算的模型，了解用计算器计算有理数的混合运算.
重难点归纳
在运算过程中，一级运算的结果出现负号时，注意要有整体意识.
混合运算的运算顺序.
（三）课后作业
基础型 自主突破
1.下列计算结果等于0的是（ ）
A.（﹣1）+（﹣1）B．（﹣1）﹣（﹣1）C．（﹣1）×（﹣1）D．（﹣1）÷（﹣1）
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：A.原式=﹣2，不符合题意；B.原式=﹣1+1=0，符合题意；
C.原式=1，不符合题意；D、原式=1，不符合题意.
【思路点拨】各项计算得到结果，即可作出判断．
【答案】B
2.计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（ ）
A．7 B．8 C．21 D．36
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：原式=12+3+6=21，
【思路点拨】原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．
【答案】C
3.计算：的结果是 ．
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：原式=12－（24+28）÷（－2）
=12+26
=38
【思路点拨】原式先确定运算顺序，再注意符号问题．
【答案】38.
4.如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x=3，则最后输出的结果是 ．
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：根据题意可知，3×4﹣2=10=10，
所以再把10代入计算：10×4﹣2=38＞10，
即38为最后结果．
【思路点拨】把3按照如图中的程序计算后，若＞10则结束，若不是则把此时的结果再进行计算，直到结果＞10为止．
【答案】38．
5.计算：+[4﹣（+﹣）×24]÷5．
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：+[4﹣（+﹣）×24]÷5
=1+[4﹣×24﹣×24+×24]÷5
=1+[4﹣9﹣4+18]÷5
=1+9÷5
=1+1.8
=2.8
【思路点拨】根据有理数的混合运算的运算方法，应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可．
【答案】2.8．
6.浙江省居民生活用电可申请峰谷电，峰谷电价如下表：
小远家5月份的高峰时间用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为300千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为多少元？
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：根据题意得：200×0.568+50×0.288+150×0.318+100×0.388=113.6+14.4+47.7+38.8=214.5（元），
则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为214.5元．
【思路点拨】根据表格中各自的电价列出算式，计算即可得到结果．
【答案】214.5元．
能力型 师生共研
1.计算等于（ ）
A． B． C． D．
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：分子上1﹣2+3﹣4+…﹣14+15=1+3+5+…15﹣（2+4+…14）=64﹣56=8，
分母上﹣2+4﹣6+8﹣…+28﹣30=4+8+12+…+28﹣（2+6+10+14+18+…+30）=﹣16，
∴原式=﹣．
【思路点拨】本题可结合等差数列的性质，将相加相减的项分成两大项，然后再进行计算即可求得结果．
【答案】D．
2.任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p、q是正整数，且p≤q），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）=，例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，则F（18）=，例如35可以分解成1×35，5×7，则F（35）=，则F（24）的值是（ ）
A． B． C． D．
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，∴F（24）==，
【思路点拨】由24=1×24=2×12=3×8=4×6结合最佳分解的定义即可知F（24）=．
【答案】A．
探究型 多维突破
1.高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．
例如：[2.3]=2，[﹣1.5]=﹣2．
则下列结论：
①[﹣2.1]+[1]=﹣2；②[x]+[﹣x]=0；
③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x＜3；
④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1、2．
其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）．
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：①[﹣2.1]+[1]=﹣3+1=﹣2，正确；
②[x]+[﹣x]=0，错误，例如：[2.5]=2，[﹣2.5]=﹣3，2+（﹣3）≠0；
③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x＜3，正确；
④[x+1]+[﹣x+1]= [x]+1+[﹣x]+1= [x]+[﹣x]+2，当﹣1≤x＜1时，若x为整数时，
[x+1]+[﹣x+1]=0+2=2；若x为小数时，[x+1]+[﹣x+1]=-1+2=1，所以其可能的值为1、2，故④项错误。
【思路点拨】根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．
【答案】①③．
2.阅读下面的文字，完成后面的问题：
我们知道： =1﹣， = ， = ﹣
那么：
（1） = ；= ；
（2）用含有n的式子表示你发现的规律 ；
（3）求式子++…+旳值．
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：（1） = ﹣； = ﹣；
（2）；
（3）原式=1﹣ + ﹣+…+﹣ =1﹣ = ．
【思路点拨】（1）观察上述等式，得到结果即可；
（2）归纳总结得到拆项规律，写出即可；
（3）利用拆项法化简原式，计算即可得到结果．
【答案】（1）﹣；﹣；（2）．
自助餐 自我拓展
1.计算的结果是（ ）
A.30 B.6 C.﹣30 D.﹣6
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：原式=6×（－5）=﹣30．
【思路点拨】原式先计算括号里面的乘除运算，再计算加减运算，再算括号外面的运算即可得到结果，注意绝对值的计算．
【答案】C
2.如果规定符号“★”的意义为a★b=，则2★（﹣3）的值是（ ）
A.6 B.﹣6 C. D.
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：2★（﹣3）==6．
【思路点拨】按照规定的运算方法改为有理数的混合运算计算即可．
【答案】A．
3.定义运算：x★y=，则（﹣1）★2= ．
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：∵﹣1＜2，∴（﹣1）★2=2×[1﹣（﹣1）]=2×2=4
【思路点拨】根据★的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（﹣1）★2的值是多少即可．
【答案】4．
4.为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）．
如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 （填“一类、二类、三类”中的一个）．
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：如果停车所在地区的类别是一类，应该收费：2.5×4+3.75×8=40（元），
如果停车所在地区的类别是二类，应该收费：1.5×4+2.25×8=24（元），
如果停车所在地区的类别是三类，应该收费：0.5×4+0.75×8=8（元），
所以，类别是二类．
【思路点拨】根据公共停车场的收费标准，分别求出三个类别停车所在地区的收费，进而求解即可．
【答案】二类．
5.符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）=1+，f（2）=1+，f（3）=1+，f（4）=1+…
（1）利用以上运算的规律写出f（n）= ；（n为正整数）
（2）计算：f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）的值．
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：（1）∵f（1）=1+，f（2）=1+，f（3）=1+，f（4）=1+…
∴f（n）=1+．
（2）f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）
=（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）
=××××…×
=
=5151
【思路点拨】（1）根据f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的运算方法，写出f（n）的表达式即可．
（2）根据（1）中求出的f（n）的表达式，求出f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）的值是多少即可．
【答案】1+．
6.探究规律，完成相关题目
沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+5）❈（+2）=+7；（﹣3）❈（﹣5）=+8；
（﹣3）❈（+4）=﹣7；（+5）❈（﹣6）=﹣11；
0❈（+8）=8；（﹣6）❈0=6．
智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
两数进行❈（加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算， ．
（2）计算：（﹣2）❈[0❈（﹣1）]= ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）
【知识点】有理数的混合运算．
【解题过程】解：（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
两数进行❈（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．
特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，等于这个数的绝对值．
（2）（﹣2）❈[0❈（﹣1）]=（﹣2）❈1=﹣3
（3）加法交换律和加法结合律在有理数的❈（加乘）运算中还适用．
由❈（加乘）运算的运算法则可知：
（+5）❈（+2）=+7，（+2）❈（+5）=+7，所以（+5）❈（+2）=（+2）❈（+5），
即加法交换律在有理数的❈（加乘）运算中还适用．
故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值；﹣3．
【思路点拨】（1）首先根据❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式，归纳出❈（加乘）运算的运算法则即可；然后根据：0❈（+8）=8；（﹣6）❈0=6，可得：0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，等于这个数的绝对值．
（2）根据（1）中总结出的❈（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（﹣2）❈[0❈（﹣1）]的值是多少即可．
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可．
【答案】﹣3.
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
高峰电价
（单位：元/千瓦时）
低谷月用电量
（单位：千瓦时）
低谷电价
（单位：千瓦时）
0.568
50及以下部分
0.288
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.388
地区类别
首小时内
首小时外
一类
2.5元/15分钟
3.75元/15分钟
二类
1.5元/15分钟
2.25元/15分钟
三类
0.5元/15分钟
0.75元/15分钟