数学八年级上册（2024）11.5 因式分解完美版ppt课件

这是一份数学八年级上册（2024）11.5 因式分解完美版ppt课件，共35页。PPT课件主要包含了平方差公式，1x2+y2，2x2-y2，y2-x2，6m2-1，例1分解因式，解1原式，2原式，典例精析，方法总结等内容，欢迎下载使用。
还记得前面学过的乘法公式吗？
两数和（差）的平方公式：
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
(a ± b)2 = a2 ±2ab + b2
有一位张大爷租了一块“十字形”土地(如图).为了便于种植，张大爷提出换一块同等面积的长方形土地耕种.
由题意可得：十字形土地面积＝a2－4b2，
长方形土地：长×宽＝a2－4b2
长方形土地的长和宽可以是多少？
想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
是 a，b 两数的平方差的形式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
运用平方差公式因式分解
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（3） - x2 - y2
- ( x2 + y2 )
（4） - x2 + y2
（5）x2 - 25y2
( x + 5y )( x - 5y )
( m + 1 )( m - 1 )
( x + y )( x - y )
( y + x)( y - x )
= (5x+4y)(5x-4y).
a2 - b2 =
(5x)2 - (4y)2
(1) 25x²－16y²；
方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
例2 分解因式：
………… 一提（公因式）
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）
解：(1)原式 = ( x2 )2 - ( y2 )2
= ( x2 + y2 )( x2 - y2 )
= ( x2 + y2 )( x - y )( x - y ).
(1) x4－y4； (2) 3x3－12xy2.
(2) 原式 = 3x(x²－4y2)
= 3x[ x²－(2y)2 ]
= 3x(x＋2y)(x－2y).
两数和(或差)平方公式：
两数和(或差)平方公式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2 倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
运用两数和(或差)平方公式因式分解
凡具备这些特点的三项式，就是两数和(或差)平方公式，将它写成两数和(或差)平方形式，便实现了因式分解.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，两数和(或差)平方公式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
3、x² + 4xy + 4y² = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )²
2、m² - 6m + 9 = ( )² - 2·( )·( ) + ( )² = ( )²
1、a² + 4a + 4 = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )²
对照公式 a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 进行因式分解，你会吗？
下列各式是不是两数和(或差)平方公式？ （1）a2 - 6a + 9； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25.
（2）因为它只有两项.
（3）4b² 与 - 1 的符号不统一.
（4）中间项缺 2 倍.
例3 分解因式：（1）16x2 + 24x + 9； （2）-x2 + 4xy - 4y2.
分析：(1)中，16x2 = (4x)2， 9 = 3²，24x = 2·4x·3， 所以 16x2 + 24x + 9 是一个两数和平方公式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + 32.
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(x2 - 4xy+ 4y2)，然后再利用公式分解因式.
解： (1) 16x2 + 24x + 9
= ( 4x + 3 )2.
= ( 4x )2 + 2·4x·3 + ( 3 )2
(2) -x2 + 4xy - 4y2
= -( x2 - 4xy + 4y2 )
= -( x - 2y )2.
例4 把下列各式分解因式：（1）4x3y + 4x2y2 + xy3；（2）(a+b)2 - 12(a + b) + 36.
分析：（1）中有公因式 xy，应先提出公因式，再进一步分解因式；
（2）中将 a + b 看成一个整体，设 a + b = m，则原式化为 m2 - 12m + 36.
解：(1)原式 = xy(4x2 - 4xy + y2) = xy(2x - y)2.
(2)原式 = (a + b)2 - 2·(a + b)·6 + 62 = (a + b - 6)2.
例5 利用两数和(或差)平方公式简便计算：(1) 1002 - 2×100×99 + 99²；(2) 342 + 34×32 + 162.
解：(1) 原式 = (100 - 99)²
(2) 原式 = (34 + 16)2
1．[知识初练]因为(x＋9)(x－9)＝x2－81，所以x2－81可以因式分解为____________．
2．分解因式：4a2－1＝(　　)A．(2a－1)(2a＋1) B．(a－2)(a＋2)C．(a－4)(a＋1) D．(4a－1)(a＋1)
3. 【新考法】课堂上老师在黑板上布置了如图所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？(　　)A ．第(1)道题 B．第(2)道题C．第(3)道题 D．第(4)道题
4. (整体思想)已知x2－y2＝－1，x＋y＝ ，则x－y＝____．
5．把下列各式分解因式：(1)1－25b2；
解：原式＝(1＋5b)(1－5b)．
解：原式＝(ab＋2)(ab－2)．
6．[知识初练]因为(x＋6)2＝x2＋12x＋36，所以多项式x2＋12x＋36可以因式分解为________．
7．因式分解4－4a＋a2正确的是(　　)A．(2－a)2 B．(2＋a)2C．(2－a)(2＋a) D．4(1－a)＋a2
8．若多项式x2＋6x＋k能用两数和的平方公式进行因式分解，则正整数k的值等于________．
9．在多项式：①x2＋2xy－y2；②－x2＋2xy－y2；③x2＋xy＋y2；④1＋x＋ 中，能用两数和(差)的平方公式分解因式的是________．(填序号)
10．把下列各式分解因式：(1)x2＋18x＋81；
解：原式＝(x＋9)2.
(2)3a2＋6ab＋3b2；
(3)－x2＋4xy－4y2；
(4)9(x＋y)2－6(x＋y)＋1.
解：原式＝3(a＋b)2.
解：原式＝－(x－2y)2.
解：原式＝(3x＋3y－1)2.
11. 【新情境】数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是(　　)A．甲：M＋N B．乙：M－NC．丙：N＋P D．丁：N－P
12.(整体思想)若ab＝2，b－a＝3，则－a3b＋2a2b2－ab3的值为________．
13．把下列各式分解因式：(1)a4－81b4；
解：原式＝(a2＋9b2)(a2－9b2)＝(a2＋9b2)(a＋3b)(a－3b)．
(2)a4－2a2＋1；
解：原式＝(a2)2－2a2＋1＝(a2－1)2＝[(a＋1)(a－1)]2＝(a＋1)2(a－1)2.
(3)(x2－12)2＋6(x2－12)＋9.
解：原式＝(x2－12＋3)2＝(x2－9)2＝[(x＋3)(x－3)]2＝(x＋3)2(x－3)2.
14. 【新趋势·代数推理】请通过计算说明：对于任意整数n，多项式(n＋6)2－(n－2)2的值都能被16整除．
解：(n＋6)2－(n－2)2＝[(n＋6)－(n－2)][(n＋6)＋(n－2)]＝8(2n＋4)＝16(n＋2)，因为n为整数，所以n＋2为整数，所以对于任意整数n，多项式(n＋6)2－(n－2)2的值都能被16整除．
15.(高阶思维·批判性思维)下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．解：设x2－4x＝y，则原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步) ＝y2＋8y＋16(第二步) ＝(y＋4)2(第三步) ＝(x2－4x＋4)2.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用的方法是(　　)A．提公因式法B．公式法(2)该同学因式分解的结果是否彻底？________．(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：____________；
(3)请你仿照以上方法尝试对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因式分解．
解：设x2＋2x＝y，则(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1＝y(y＋2)＋1＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2＝(x2＋2x＋1)2＝(x＋1)4.