数学八年级上册（2024）第11章 整式的乘除11.5 因式分解教案

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一、 核心素养
1. 抽象能力 ：能从多项式的各项中准确识别出公共的因式（公因式），并能从系数、字母及其指数三个维度确定公因式的具体构成。
2. 运算能力 ：理解并掌握提公因式法的基本步骤，能够准确、熟练地运用该方法分解因式，并保证分解的彻底性。
3. 模型思想 ：建立“提取公共因子”的数学模型思想，认识到提公因式法是分配律 `ab + ac = a(b + c)` 的逆向运用，体会数学中的“转化”与“化归”思想。
4. 推理能力 ：通过探究如何确定公因式以及如何验证分解的正确性，发展学生的逆向思维和逻辑推理能力。
二、 教学重难点
重点 ：准确找出多项式各项的公因式，并正确运用提公因式法分解因式。
难点 ：1. 当公因式是多项式时，能将其看作整体提取；2. 确保因式分解的彻底性。
三、 教学准备
多媒体课件、学习任务单。
四、 教学过程
(一) 学前尝试（温故知新，初步体验）
【设计意图】 复习因式分解的意义，并通过具体例子让学生尝试“提取”公共部分，为新课学习做铺垫。
【任务单】
1. 复习 ：什么叫因式分解？它和整式乘法有什么关系？请举例说明。
2. 观察与填空 ：
`ma + mb - mc = ( )( )`
`4x² - 6x = 2x ( ) - 2x 3 = 2x ( )`
`12a²b + 8ab²`，这个多项式的各项都有公共的因式吗？你能把它写成乘积的形式吗？
3. 思考 ：你是如何找到第2题中需要“提取”的公共部分的？公共部分可能由哪些构成？
(二) 导（设疑激趣，引入新知）
【设计意图】 通过对比学生不同的尝试结果（如是否提彻底），引发认知冲突，明确学习提公因式法的必要性。
师：同学们在“学前尝试”中，已经能凭直觉对简单的多项式进行分解。老师发现，对于 `12a²b + 8ab²`，有的同学得到 `2ab(6a + 4b)`，有的同学得到 `4ab(3a + 2b)`。哪个结果更“好”呢？为什么？这就涉及到如何 最快、最准、最彻底 地找到那个“最大”的公共因子——我们称之为 “公因式” 。今天，我们就来系统学习因式分解的第一把，也是最常用的一把“金钥匙”—— 提公因式法 。
(三) 思（探究方法，归纳要点）
【设计意图】 引导学生深入思考如何系统、科学地确定公因式，并总结提公因式法的完整步骤。
【核心问题引导】
请以多项式 `12a²b³ - 8a³b² + 16ab⁴` 为例进行探究：
1. 确定公因式 ：
系数 ：各项系数的最大公约数是多少？
字母 ：各项都含有的字母是哪些？
指数 ：对于公共字母 `a`，它的指数如何确定？（取各项中指数最______的）。对于公共字母 `b` 呢？
综合 ：这个多项式的公因式是______。
2. 书写步骤 ：写出用提公因式法分解 `12a²b³ - 8a³b² + 16ab⁴` 的完整过程。提完公因式后，括号内的多项式是如何得到的？
3. 验证 ：如何验证你的分解结果是正确的？（将结果______，看是否等于原式）。
（学生独立思考，教师巡视，引导学生从系数、字母、指数三方面有序思考。）
(四) 议（合作学习，攻克难点）
【设计意图】 小组讨论更具挑战性的例子，特别是公因式为多项式的情况和需要连续提取的情况，在思维碰撞中深化理解。
【小组活动任务】
1. 基础巩固 ：核对“思”环节中例题的答案和步骤，确保每位组员都理解方法。
2. 难点突破 ：尝试分解下列因式，并讨论其特殊性。
`x(a-b) + y(b-a)` （思考：`a-b` 和 `b-a` 有什么关系？如何处理？）
`6x(x-y)² - 3y(y-x)³` （思考：`(x-y)²` 和 `(y-x)²` 有什么关系？）
`2a(b+c) - 3(b+c)` （思考：公因式是什么？）
3. 方法总结 ：组内总结提公因式法的一般步骤和注意事项。
(五) 展（展示精讲，规范提升）
【设计意图】 展示小组学习成果，教师针对普遍性问题和高阶技巧进行精讲，规范解题格式，提炼数学思想。
1. 小组展示 ：邀请小组展示“难点突破”中题目的解法，并讲解关键点。
2. 教师点拨与精讲 ：
步骤规范化 ：板书提公因式法四步曲：
一找 ：找出公因式（系数：最大公约数；字母：各项共有；指数：相同字母的最低次幂）。
二提 ：提出公因式。
三写 ：将原式除以公因式，所得的商写在括号内。
四查 ：检查括号内的多项式是否不能再分解（确保彻底），并通过乘法验证。
难点精讲 ：
符号变换 ：针对 `b-a = -(a-b)`，强调当多项式互为相反数时，可通过提取负号转化为相同因式。这是本节课的难点之一。
整体思想 ：强调 `(b+c)` 这类多项式可以看作一个整体，作为公因式直接提取。这是重要的数学思想。
思想升华 ：再次强调提公因式法是 逆用分配律 ，体现了数学的“转化”思想——将多项式转化为单项式与多项式的乘积。
(六) 评（分层练习，精准反馈）
【设计意图】 通过分层练习，巩固技能，检验学习效果，并对学生的掌握情况进行及时反馈与指导。
【分层练习】
1. 基础巩固 （全体必做）：
`3x² - 9xy`
`-4a³ + 6a² - 8a` （注意首项系数为负时，如何处理？）
`2m(a-b) - 3n(a-b)`
2. 能力提升 （学有余力选做）：
`5a(x-y) - 10b(y-x)`
`-12x²y + 18xy² - 24x²y²`
`2(x-3) + x(3-x)`
【评价方式】
板演与点评 ：请学生板演基础题，师生共同点评步骤的规范性和结果的正确性。
错例分析 ：收集典型错误（如提取不彻底、符号错误、括号内项数不对等），进行集中分析和纠正。
(七) 课后尝试（拓展延伸，学以致用）
作业：
板书设计

（九）教学反思