华东师大版（2024）八年级上册（2024）11.5 因式分解教案

这是一份华东师大版（2024）八年级上册（2024）11.5 因式分解教案，共11页。教案主要包含了师生活动，设计意图等内容，欢迎下载使用。
（一）教学内容解析
1．教学内容
本节课是华东师大版八年级上册第十一章第5节第1课时的内容.因式分解是代数领域的核心内容，是整式乘法的逆运算，也是后续学习分式化简、一元二次方程解法、二次函数图像与性质的重要基础.因式分解的学习需遵循 “逆用整式乘法→提炼分解方法→应用解决问题” 的逻辑主线，从提公因式法到公式法逐步展开，最终实现 “将多项式化为整式积” 的核心目标，体现数学知识的逆向思维与结构化特征.
本节共分三个课时，主要内容包括：因式分解的概念，提公因式法（含公因式为单项式、多项式的情况），公式法（平方差公式、完全平方公式的逆用），以及因式分解的综合应用（如与整式乘法的互逆验证、简单代数问题求解）.
本节课的主要内容是因式分解的概念和提公因式法的基本步骤.通过回顾整式乘法的逆运算，类比因数分解抽象出因式分解的定义；再以 “找公共部分” 为核心，从系数、字母、指数三个维度探究公因式的确定方法，进而掌握提公因式法分解多项式的步骤（确定公因式→提取公因式→验证结果）.学好本节课能帮助学生建立 “逆向思维” 模式，为后续公式法学习奠定基础，同时培养数学运算与逻辑推理素养.
本节课中正确理解因式分解的概念（与整式乘法的区别与联系）、熟练掌握提公因式法的操作步骤是学好本章的关键；公因式为多项式的提取是本节的重点；灵活选择分解方法、确保因式分解彻底性是本节的难点.
在本节的学习过程中，需重点渗透逆向思维（整式乘法→因式分解）、转化思想（复杂多项式→简单整式积）、类比思想（不同分解方法的共性与差异）等数学思想方法.
2．教学内容深度解析
本节课是华师版八年级上册第十一章《整式的乘除》的第5节第一课时.从知识关联看，因式分解是整式乘法的逆运算，与小学阶段的因数分解一脉相承，体现 “数式通性”；从方法逻辑看，提公因式法是因式分解的 “基础方法”，后续公式法需在其基础上展开（如先提公因式再用公式）；从学科价值看，因式分解是解决分式化简、方程求解等问题的“工具”，本节课的学习直接影响后续代数知识的掌握.本节课的核心是让学生理解“为什么分解”（解决实际问题与数学问题的需要）、“什么是分解”（因式分解的概念）、“怎么分解”（提公因式法步骤）.通过 “具象例子 — 抽象概念 — 方法提炼 — 应用验证”的流程，引导学生从“被动接受 转向“主动建构”，体会逆向思维与转化思想的应用.
内容结构如下：
（二）教学目标设置
1．教学目标
（1）理解因式分解的概念，能区分因式分解与整式乘法，能举例说明两者的互逆关系；
（2）掌握公因式的确定方法（系数、字母、指数），能熟练运用提公因式法分解不含括号的简单多项式；
（3）经历 “观察 — 分析 — 抽象 — 应用” 的过程，体会乘法法则逆向思维与类比思想，提升数学运算的准确性与逻辑推理能力.
2．教学目标解析
达成目标（1）的标志是：能准确判断一个代数变形是否为因式分解，能举例说明 “因式分解是整式乘法的逆运算”.
达成目标（2）的标志是：对多项式（如3x2y−6xy2、5a2−10a+15），能独立确定公因式（分别为3xy、5），并正确分解为3xy(x−2y)、5(a2−2a+3)，无遗漏公因式或分解不彻底的情况.
达成目标（3）的标志是：在探究公因式时，能类比 “因数分解找公因数” 的方法，从系数、字母、指数三个维度分析；在分解多项式后，能通过整式乘法验证结果，体现 “逆向验证” 的思维习惯.
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：明确因式分解的概念，提公因式法的步骤（确定公因式、提取公因式）.
3．学习评价
（1）知识结构化
通过“整式乘法 — 因式分解”的逆运算关系图，引导学生将因式分解纳入 “代数式运算”的知识体系，理解其与整式乘法的关联，避免孤立学习，提升对代数知识的整体认知.
（2）学生主体化
在 “找公因式” “分解多项式” 环节，让学生自主尝试、小组讨论，教师仅作为引导者（如提示“看看各项都有哪个字母”），鼓励学生提出不同的分析思路（如先看系数再看字母），在主动建构中深化对概念与方法的理解.
（3）小组合作化
通过“公因式侦探小组” “分解互助小组” 等形式，让学生分工完成 “找公因式” “分解” “验证”的任务，如 1 人负责确定系数的最大公约数，1 人负责确定相同字母的最低次幂，1 人负责提取公因式，1 人负责验证，培养团队协作能力与责任意识.
（4）课堂智慧化
利用希沃白板和智慧平板的 “即时作答” 功能，让学生在课堂练习中实时提交答案，系统自动统计正确率，教师针对错误率高的题目（如含常数项的多项式分解）进行集中讲解；通过手机投屏展示学生的典型解法（正确与错误），引导全班分析，提升评价的精准性与互动性.
（5）评价多元化
结合课堂表现（活动参与度）、即时练习（正确率）、小组合作（任务完成质量）、课后作业（分解准确性）进行综合评价，对表现优秀的学生给予 “因式分解小达人” 贴纸奖励，对进步明显的学生给予 “进步之星” 鼓励，激发学习积极性.
（三）学生学情分析
1．学生已具备的认知基础分析
在知识储备上，学生已熟练掌握整式乘法运算，能准确展开m(a+b+c)、(a+b)(a−b)等式子，对 “单项式 × 多项式” 的分配律应用熟练；小学阶段学习的因数分解（如将 12 分解为 2×2×3），让学生对 “分解” 的逻辑有初步认知，能理解 “将一个数拆成几个数的乘积”.
在学习能力方面，学生具备基本的观察、归纳能力，能从具体例子中总结规律（如从2×37+2×63中发现 “公共因数 2”）；具备简单的逆向思维能力，能根据 “结果” 反推“原因”，但从 “数的逆向” 过渡到 “式的逆向”仍需引导.在学习习惯与态度上，学生对 “游戏化” “互动性” 的学习活动兴趣较高，能积极参与小组讨论；但对抽象概念的理解易停留于表面（如仅记住 “因式分解是拆成乘积”，忽略 “整式” 这一前提），对步骤性知识（如公因式确定的三个维度）易出现遗漏，需通过结构化梳理与反复练习强化.
2．达成教学目标所需认知基础分析达成
本节课教学目标，需学生能实现 “两个转化”：一是从 “数的分解” 转化为 “式的分解”，类比因数分解的逻辑，理解因式分解的本质；二是从 “正向乘法” 转化为 “逆向分解”，根据整式乘法的分配律，反推提公因式法的步骤.具体而言，确定公因式时，需学生能整合 “最大公约数”（数的知识）与 “相同字母最低次幂”（式的知识），如对3x2y−6xy2，能先确定系数的最大公约数为3，再确定相同字母 x 的最低次幂为 1、y 的最低次幂为 1，最终得到公因式 3xy；提取公因式时，需学生能熟练运用 “除法是乘法的逆运算”，将每一项除以公因式，如3x2y÷3xy=x，−6xy2÷3xy=−2y，进而得到分解结果3xy(x−2y).
3．学生学习本节课面临的挑战分析
（1）概念理解偏差：学生易混淆因式分解与整式乘法，如将(x+2)(x−2)=x2−4误认为是因式分解，忽略 “因式分解是从多项式到整式乘积” 的方向；或忽略 “整式” 前提，将x2−1=1x(x3−x)误认为是因式分解，未意识到分母含字母的式子不是整式.
（2）公因式确定困难：一是遗漏常数项的公因式，如对5x2−10x+15，仅确定字母公因式 x，忽略系数公因式 5；二是忽略相同字母的最低次幂，如对8m2n−4mn2，将公因式确定为而非；
（3）分解不彻底或符号错误：提取公因式后，易遗漏 “1”，如将3x2−6x+3分解为3x(x−2)，忽略最后一项3÷3=1，正确结果应为3(x2−2x+1)；或符号处理错误，如将−a2b+ab2−ab分解为−ab(a+b−1)，忽略括号内符号变化.
通过上述确定本课的教学难点是：对因式分解的理解，准确找到所有项的公因式.
（四）教学策略分析
1．设计思想
本节课遵循 “概念引入 — 方法探究 — 应用巩固 — 总结提升” 的主线，以 “逆向思维” 为核心，落实 “讲背景、讲思想、讲应用” 的概念教学理念，引导学生经历 “从具体到抽象、从已知到未知” 的认知过程，在理解知识的同时，培养数学思维与素养.
（1）知识层面
通过 “整式乘法回顾 — 逆向设问 — 类比因数分解” 的流程，自然生成分式分解的概念，避免 “直接定义” 的机械灌输；提公因式法探究中，通过 “具体多项式观察 — 公因式特征总结 — 步骤提炼 — 验证” 的环节，让学生自主构建方法体系，如从2x+4、3x2y−6xy2等例子中，逐步总结出 “系数找最大公约数、字母找相同最低次幂” 的公因式确定方法.
（2） 思维层面
全程渗透 “逆向思维” 与 “类比思想”，如在概念环节，通过 “已知乘法结果，求原式” 的逆向问题，激活学生的逆向思考；在方法环节，类比 “因数分解找公因数”，引导学生探索 “因式分解找公因式”，让学生体会 “数式通性” 的数学规律；在应用环节，通过 “分解后验证（用乘法）”，强化 “逆向验证” 的思维习惯，提升逻辑严谨性.
（3）素养层面
通过 “小组合作探究” “实际问题初步应用”，培养学生的数学运算（准确分解）、逻辑推理（公因式确定的理由）、数学建模（简单实际问题转化为多项式分解）素养；通过 “错误案例分析”，让学生学会批判性思考，提升问题解决能力.
2．方法与策略
（1）概念教学
采用 “情境设问 + 类比抽象” 法.首先创设 “简化计算” 情境（如计算2×37+2×63，可先提 2 得2×(37+63)=200），引出 “提取公共部分简化计算” 的需求；再回顾整式乘法2(x+y)=2x+2y，提出逆向问题 “如何将2x+2y拆成两个整式的乘积？”；最后类比因数分解（如 12=2×2×3），抽象出因式分解的定义，明确 “多项式→整式乘积” 的核心特征.
（2）方法教学
采用 “实例探究 + 步骤梳理” 法.先给出 多项式，让学生小组合作观察 “各项都含有的公共部分”，记录发现（如系数的最大公约数、相同字母的最低次幂）；
教师引导总结公因式确定的 “三步骤”（①找系数的最大公约数；②找各项相同的字母；③找相同字母的最低次幂，三者相乘即为公因式）；再通过 “提取 — 验证” 的实例，梳理提公因式法的完整步骤（确定公因式→提取公因式→乘法验证）.
（3）难点突破
采用 “错误辨析 + 分层练习” 法.针对 “概念混淆”，设计 “整式乘法与因式分解辨析题”（如给出 10 个变形，让学生分类），结合希沃白板的即时统计，针对错误率高的题目进行讲解，强调 “方向” 与 “整式” 两个关键；针对 “公因式遗漏”，设计 “公因式补全题”；针对 “分解不彻底”，设计 “分解检查题”，通过分层练习（基础题→提高题）逐步突破难点.
（4）学生参与
采用 “小组合作 + 个体展示” 法.在 “公因式探究” 环节，4 人一组分工（1 人分析系数、1 人分析字母、1 人分析指数、1 人总结公因式），小组展示探究结果，教师点评补充；在 “分解练习” 环节，让学生独立完成后，随机抽取学生作品投屏展示，全班分析其正确性，鼓励学生提出不同解法或指出错误，提升参与度与思维深度.
3．资源与工具
（1）课内资源：华东师大版八年级上册教材.
（2）课后资源：中小学在线学（智慧课堂）：.
（3）上课工具：希沃白板、智慧平板，思维导图软件、纸质 “公因式探究任务单” “分解步骤流程图”.
（五）教学过程设计
1．教学流程图
2．教学过程
（1）情境导入，引出概念
问题 1：计算：2×37+2×63，你有什么简便方法吗？
【师生活动】
学生独立计算，可能有两种方法：
①直接计算74+126=200；
②提 2 得2×(37+63)=2×100=200.
教师引导学生对比两种方法，指出第二种方法 “提取公共因数 2” 更简便.
追问：“为什么能提取 2？”（因为两项都含 2）.
问题 2：我们学过整式乘法，比如2(x+y)=2x+2y，如果已知结果2x+2y，你能反推出它是哪两个整式的乘积吗？
【师生活动】学生思考后回答：2(x+y)，教师引导：“这就像刚才提取公共因数一样，只不过这里的‘因数’变成了‘整式’，这种变形有什么用呢？它就是我们今天要学的‘因式分解’.
【设计意图】
本环节旨在通过“数的简便运算”与“式的逆向变形”两个情境，搭建从具体算术到抽象代数的桥梁.其核心目标是激发学生兴趣，并自然生成“因式分解”的初步感性认识.从数学核心素养角度看，它着重发展了学生的数学运算素养（寻求简便算法）和逻辑推理素养（进行逆向思考）.通过追问“为什么能提取2”，引导学生理解运算的算理，这体现了对公因式本质的初步触及，为后续形式化的概念学习奠定了坚实的经验基础，实现了从“已知”到“未知”的自然过渡.
（2）类比迁移，生成概念
展示小学因数分解的例子：12=2×2×3
提问：因数分解是将一个数拆成几个数的乘积，那类比这个思路，什么是因式分解呢？
自主尝试：给出 3 个整式乘法的例子，让学生写出逆向变形.
师生活动：学生独立完成，教师巡视指导，收集学生答案（如ma+mb+mc=m(a+b+c)），引导学生观察逆向变形的共同特征：“从一个多项式变成了几个整式的乘积”.
定义生成：教师总结“像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解.”
【设计意图】
通过类比学生熟悉的“因数分解”来定义“因式分解”，旨在引导学生从具体实例中抽象出数学概念的共同本质特征.这不仅帮助学生理解新概念，更是在培养他们一种重要的数学学习方法——类比迁移.让学生通过自主尝试整式乘法的逆向变形，并观察其特征，自己总结出定义，这一过程将概念的形成权交给学生，避免了机械记忆，有效落实了“生成概念”的教学目标，深化了对因式分解本质的理解.
（3）特征挖掘，概念辨析
打开教材，勾画概念并由学生发现关键词：
①对象是多项式；②结果是 “整式的积”.
概念辨析：判断下列变形是否为因式分解，请在智慧平板上作答.
①x2+3x=x(x+3)（是）
②(x+2)(x−2)=x2−4（否，是整式乘法）
③x2−4+3x=(x+2)(x−2)+3x（否，结果不是积）
④x2−1=1x(x3−x)（否，1x不是整式）
【师生活动】通过智慧平板展示学生结果，展示正确思路，教师针对错误选项（如第 4 题）讲解 “整式” 前提，强化概念理解.
【设计意图】
通过正反例辨析，引导学生深入挖掘因式分解概念的两个关键属性：“对象是多项式”和“结果是整式的积”.这直接培养了学生的逻辑推理与数学抽象能力，要求他们能依据定义进行严谨的判断.利用智慧平板进行即时反馈，能高效暴露并纠正学生的认知偏差（如将整式乘法或非积的形式误认为因式分解）.通过辨析，学生对新概念的理解从“大概是什么”走向“精确是什么”和“不是什么”，从而准确把握概念的内涵与外延.
（4）观察发现，小组合作
问题 3：观察刚才的例子ma+mb+mc=m(a+b+c)，其中m是多项式ma+mb+mc中各项都含有的因式，我们可以把它叫做什么呢？
教师引出 “公因式” 的定义：“多项式各项都含有的相同整式，叫做这个多项式各项的公因式.” 并以ma+mb+mc为例，指出公因式是m.
公因式探究：给出多项式3x2y−6xy2，小组合作完成 “公因式探究任务单”.
①系数部分：3 和 - 6 的最大公约数是3
②字母部分：各项都含有的字母是______
③指数部分：x 的最低次幂是______，y 的最低次幂是______
公因式是______
【师生活动】小组展示探究结果，教师引导总结公因式确定的 “三步骤”：
①找系数的最大公约数（注意符号，通常取正）；②找各项相同的字母；③找相同字母的最低次幂，三者相乘即为公因式.
【设计意图】
本环节聚焦于因式分解的一种具体方法——提公因式法的预备知识：公因式.设计“公因式探究任务单”引导小组合作，是将一个复杂的认知任务（如何确定公因式）分解为可操作的“系数、字母、指数”三个维度，极大地降低了学习难度.这一过程培养了学生的直观想象能力（在代数式中“看见”公共部分）和逻辑推理能力（系统性地寻找公共因子）.小组合作的形式则促进了学生的交流与协作，通过集体智慧归纳出确定公因式的“三步骤”法则，为后续的技法操作提供了清晰的“工具箱”.
（5）自主探究，方法总结
请同学们尝试自主对3x2y−6xy2进行因式分解.
①确定公因式：3xy；
②提取公因式：将每一项除以公因式，得3x2y÷3xy=x，−6xy2÷3xy=−2y写成积的形式：3xy(x−2y)
③验证：用整式乘法计算3xy(x−2y)=3x2y−6xy2，与原式一致，分解正确.
【师生活动】教师板书完整步骤，强调 “每一项都要除以公因式” “符号要注意” “最后验证”.
练习1因式分解5a2−10a+15
学生模仿完成练习：（公因式 5，结果5(a2−2a+3)）.
【师生活动】学生独立完成，教师用智慧笔即时统计正确率，对错误率高的题目（如第 3 题）讲解 “符号处理”，说明 “取负公因式可使括号内首项为正”.
例1：用提公因式法分解下列多项式：
①8m2n−4mn2（结果：4mn (2m - n)）
②3x3−6x2+3x（结果：3x (x² - 2x + 1)，引导学生注意 “最后一项 3x÷3x=1，不能遗漏”）
③−a2b+ab2−ab（结果：-ab (a - b + 1)，强调符号变化.
【师生活动】学生独立完成后，随机抽取 3 份作品投屏展示，全班分析：①公因式是否正确；②提取是否彻底；③符号是否正确.对出现的错误（如遗漏 1），引导学生反思原因，强化步骤意识.
【设计意图】
这是将知识转化为技能的关键环节.学生从“知道公因式是什么”过渡到“如何用它进行因式分解”.通过完整的示例和强调“确定-提取-验证”三步法，培养学生的程序性知识和数学运算素养.教师特别强调“符号处理”和“项除以后为1”等易错点，旨在培养学生的严谨性和科学态度.让学生模仿练习并即时反馈，确保了技能的初步掌握.此环节将抽象的数学思想转化为具体、可模仿、可操作的步骤，是实现教学目标“会用提公因式法分解因式”的核心步骤.
（6）拓展应用，解决问题
问题提出：计算
问题思考：从数到式
.
①观察：
②猜想：=
③验证：对进行因式分解.
④拓展：
⑤问题解决：=
【设计意图】
本环节旨在提升学生综合应用新知解决问题的能力，实现从技能到能力的飞跃.设计的“从数到式”的问题链，引导学生经历“观察-猜想-验证-应用”的完整数学活动过程，这全面涵盖了逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养.学生不仅是在练习一种方法，更是在体验数学发现与研究的一般过程.将因式分解应用于解决稍复杂的计算问题，让学生体会到该方法在简化运算、提升效率方面的强大威力，从而感悟数学的实用价值和应用魅力.
（7）总结梳理，构建体系
问题 4：回顾本节课，你学到了哪些知识？你是通过哪些方法获得的知识，有什么收获？
【师生活动】学生自由发言，教师引导梳理：
概念：因式分解的概念（多项式→整式积）、公因式的确定（系数、字母、指数）、技巧：提公因式法步骤（确定 — 提取 — 验证）.
思想方法：类比思想（因数分解→因式分解）、观察多项式，发现公因式，提取公因式再验证最后应用，法则逆用（整式乘法→因式分解）.
【设计意图】
本环节超越对零散知识和技能的回顾，着眼于构建系统化的知识网络和提炼数学思想方法.通过引导学生梳理概念、方法、步骤，并点明其中蕴含的“类比思想”和“逆用法则”思想，旨在培养学生的系统性思维和元认知能力.结构化的板书或思维导图帮助学生将本节课所学内容同化到已有的认知结构中，明确“因式分解”在“整式变形”这一大领域中的位置，为后续学习公式法等内容做好了知识和思想上的铺垫，体现了教学的整体性和连贯性.
3．板书设计