数学北师大版（2024）第五章 一元一次方程3 一元一次方程的应用第3课时教案及反思

这是一份数学北师大版（2024）第五章 一元一次方程3 一元一次方程的应用第3课时教案及反思，共6页。教案主要包含了故事导入，教学建议，对应训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。


解题大招行程问题中的顺逆航行问题
例 一架飞机飞行在两城市之间，风速为24km/h，顺风飞行需要2h50min，逆风飞行需要3h。求两个城市之间的飞行路程。
解法一（直接设未知数）：设两个城市之间的飞行路程为xkm，则顺风飞行的速度为 km/h，逆风飞行的速度为 km/h。根据等量关系，列出方程：。解这个方程，得x=2448。
因此，两个城市之间的飞行路程为2448km。
解法二（间接设未知数）：设飞机在无风时的速度为xkm/h，则顺风飞行的速度为（x+24）km/h，逆风飞行的速度为（x-24）km/h。根据等量关系，列出方程：。解这个方程，得x=840。
3×（840-24）=2448。
因此，两个城市之间的飞行路程为2448km。
培优点 行程问题中的分类讨论思想
例 A，B两地相距70km，甲从A地出发，每小时行15km，乙从B地出发，每小时行20km。
（1）若两人同时出发，相向而行，则经过几小时两人相遇？
（2）若两人同时出发，相向而行，则几小时后两人相距10km？
分析：（1）设经过xh，甲、乙路程之和为70km即可求解；（2）注意分两人相遇前与相遇后两种情况讨论，相遇前两人路程之和为（70-10）km，相遇后两人路程之和为（70+10）km。
解：（1）设经过xh两人相遇。根据等量关系，列出方程：15x+20x=70。解这个方程，得x=2。
因此，经过2h两人相遇。
（2）分两种情况讨论：
①当两人相遇前，设yh后两人相距10km。
根据等量关系，列出方程：15y+20y=70-10。解这个方程，得y=。
②当两人相遇后，设zh后两人相距10km。
根据等量关系，列出方程：15z+20z=70+10。解这个方程，得z=。
综上，h或h后两人相距10km。教学目标
课题
第3课时 行程问题
授课人
素养目标
1.能根据行程问题中的数量关系列出方程，加强模型观念。
2.借助行程问题，体会画图分析数量关系是一种有效方法。
3.经历运用方程解决行程问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识。
教学重点
寻找行程问题中的等量关系，建立方程。
教学难点
画图分析行程问题中的数量关系。
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：引用故事，导入新课
设计意图
引用经典故事，激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课要学习的主要内容。
【故事导入】
大家应该都听过龟兔赛跑的故事吧，假如兔子每分钟跑30m，乌龟每分钟爬1m，它们同时同地同向出发，兔子跑了2min后觉得领先太多，就躺下睡觉了。乌龟出发多久后追上兔子？
这节课我们就来学习用一元一次方程解决此类行程问题。
【教学建议】
指定学生代表回答，列出式子或者方程，并解释理由。
活动二：问题引入，合作探究
设计意图
通过直线形的追及问题，让学生学会画图分析行程问题中的数量关系，培养从中找等量关系的能力，感受方程模型对于解决行程问题的作用，加强模型观念与应用意识。
设计意图
将前面的问题进行一些变式和延伸，让学生掌握环形跑道问题中的相遇与追及情况，强化画图分析数量关系的方法，培养学生从问题中寻找隐含等量关系的能力，深刻感受方程模型对于解决较复杂的行程问题的作用。让学生归纳用一元一次方程解决实际问题的一般步骤，总结找等量关系列方程的经验，进一步加强模型观念与应用意识。
探究点 利用一元一次方程解决行程问题
1.追及问题
问题 小明每天早上要到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？
（1）问题中有哪些已知量和未知量？
已知量：小明家与学校的距离、小明的速度、爸爸的速度、小明先出发的时间；未知量：爸爸追小明所用的时间、爸爸追小明期间小明所走的路程、爸爸追小明的路程。
（2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？
如图所示。
小明先出发的路程+爸爸追小明期间小明所走的路程=爸爸追小明的路程。
（3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。
设爸爸追上小明用了xmin。当爸爸追上小明时，两人所行路程相等，如图所示。
根据等量关系，可列出方程：80×5+80x=180x。
解这个方程，得x=4。
因此，爸爸追上小明用了4min，此时距离学校还有280m。
【对应训练】
小明和小刚步行的速度分别为4.5km/h和3.5km/h。他们分别从A，B两地同时出发。如果相向而行，那么0.5h相遇；如果他们同向而行（小刚在前，小明在后），那么小明追上小刚需要几小时？
解：设小明追上小刚需要xh。根据等量关系，可列出方程：
（4.5+3.5）×0.5+3.5x=4.5x。
解这个方程，得x=4。
因此，如果他们同向而行，那么小明追上小刚需要4h。
归纳总结：
对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系。
甲、乙两人同向出发，甲追乙这类问题为追及问题：
（1）对于同向同时不同地的问题，如图所示，甲的行程-乙的行程=两出发地的距离；
（2）对于同向同地不同时的问题，如图所示，甲的行程=乙先走的路程+乙后走的路程。
注意：同向而行注意始发时间和地点。
2.环形跑道问题
例 （教材P151例3）小明和小华两人在400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260m，小华每分钟跑300m，两人起跑时站在跑道同一位置。
（1）如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？
（2）如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？
分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？
（1）小华的路程=小明1min的路程+小华追小明期间小明的路程；
（2）小华的路程+小华跑步期间小明的路程=跑道一圈的长-小明1min的路程。
解：（1）设小华用了xmin追上小明，根据等量关系，可列出方程：
260+260x=300x。解这个方程，得x=6.5。
因此，小华用6.5min追上小明。
（2）设小华起跑后xmin两人首次相遇，根据等量关系，可列出方程：
260x+300x=400-260。解这个方程，得x=0.25。
因此，小华起跑后0.25min两人首次相遇。
归纳总结：
环形跑道问题：设v甲＞v乙，环形跑道长sm，经过ts甲、乙第一次相遇。
一般有如下两种情形：
①同时同地同向而行：v甲t-v乙t=s。
②同时同地背向而行：v甲t+v乙t=s。
思考 （1）用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流。
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示。
（2）回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了哪些经验？
找到问题中包含的已知量与未知量，设其中一个未知量为x，可借助表格或画图分析问题中的数量关系，用含x的代数式表示出其他相关的量，关注相等量，根据相等量的两种不同表达式就可以建立等量关系，列出方程了。
【对应训练】
甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300m才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长。
解：设乙的速度为xm/min，则甲的速度为2.5xm/min。
根据等量关系，可列出方程：2.5x×4-4x=4x+300。
解这个方程，得x=150。
2.5×150=375，4×150+300=900。
因此，甲的速度为375m/min，乙的速度为150m/min，环形场地的周长为900m。
【教学建议】
让学生交流讨论，指定学生代表回答问题，引导学生找出题目中的等量关系，画图分析数量关系，根据相等量列出方程。教师酌情总结追及问题的相等量：慢者先走的路程+慢者后走的路程=快者追慢者所走的路程，慢者后走的路程所用的时间=快者追慢者所用的时间。
【教学建议】
先让学生独立思考，指定学生代表回答分析中提出的问题，上台画图说明，提醒学生注意环形跑道、问题（2）中“反向跑”与“首次相遇”的意义，教师酌情用多媒体进行动态演示，让学生有直观的感受。
【教学建议】
让学生交流讨论，指定学生代表回答问题，言之有理即可。教师可酌情回顾前面两个课时的内容，引导学生进行归纳总结。
【教学建议】
提醒学生：在环形场地上同时同地同向而行的首次相遇，应看作追及问题，追赶的距离即为环形场地的周长。此问题较复杂，教师酌情引导学生画图分析数量关系。
活动三：知识延伸，巩固升华
设计意图
借助不同形式的古代数学问题，强化画图分析数量关系的方法，培养学生从问题中寻找隐含等量关系的能力，深刻感受方程模型对于解决古代数学问题的作用。
例 《孙子算经》记载：“今有长木，不知长短，引绳度之，余绳若干，屈绳度之，余绳二尺五寸，绳再屈量之，不足二尺五寸，木长几何？”大意是：用一根绳子去度量一根长木，余绳较多，将绳子对折后去量，绳子还剩余2.5尺，将绳子再次对折后再量，绳子则差2.5尺，木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为A
A.2（x+2.5）=4（x-2.5） B.2x-2.5=4（x-2.5）
C.2x+2.5=4x-2.5 D.2（x+2.5）=4x-2.5
【解析】如图，设木长x尺。
因为将绳子对折后去量，绳子还剩余2.5尺，
所以绳子长为2（x+2.5）尺。
因为将绳子再次对折后再量，绳子则差2.5尺，
所以绳子长为4（x-2.5）尺，
所以方程为2（x+2.5）=4（x-2.5）。故选A。
【对应训练】
教材P152随堂练习
【教学建议】
让学生交流讨论，指定学生代表上台画图分析数量关系，列出方程，其他同学在纸上列出方程，教师巡堂，酌情指导。
活动四：随堂训练，课堂总结
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.你会画图分析行程问题中的数量关系吗？
2.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？
3.对于在实际问题中寻找等量关系列方程，你积累了哪些经验？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P155习题5.3第8，9题。
板书设计
第3课时 行程问题
1.行程问题：（1）画图分析数量关系；（2）列方程；（3）求解。
2.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤。
教学反思
本节课首先借助故事情境引入，激发学生学习兴趣。接着通过不同形式的行程问题，让学生掌握画图分析数量关系的方法，培养从行程问题中找等量关系列方程的能力。然后归纳总结用一元一次方程解决实际问题的一般步骤与经验，使学生进一步体会方程模型对于解决实际问题的作用，加强模型观念与应用意识。整体而言，本节课学习了新知识，又对旧知识做了总结与回顾，其中环形跑道的问题学生不太容易理解，教师要注意安排好时间。
航行工具
等量关系
船
顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；逆水速度=船在静水中的速度-水流速度；
顺水速度-逆水速度=2×水流速度
飞机
顺风速度=飞机在无风时的速度+风速；逆风速度=飞机在无风时的速度-风速；
顺风速度-逆风速度=2×风速