初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系第2课时学案设计

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典案二 导学设计
学习目标：
1.能根据具体销售等实际问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
2.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
3.通过解决变化率和销售问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
4.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
重点、难点
重点：列一元二次方程解决平均变化率问题和销售问题
难点：发现平均变化率问题和销售问题中的等量关系
【课前预习】（阅读教材P19 —20 , 完成课前预习）
探 究：
问题1：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？（精确到0.001）
绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．
分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为 元，两年后甲种药品成本为 元．
依题意，得
解得：x1≈ ，x2≈ 。
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 。
②设乙种药品成本的平均下降率为y．则，
列方程：
解得：
答：两种药品成本的年平均下降率 ．
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？
问题2：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取降价措施．经调研发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件.
分析：（1）每降价1元，每件盈利元，商场平均每天可售出 件，共盈利 元.
（2）每降价 元，每件盈利 元，商场平均每天可售出 件，共盈利 元.
（3）每降价x元，每件盈利 元，商场平均每天可售出 件，共盈利 元.
（4）设商场每件衬衫降价x元，每天要盈利1200元，列出方程是 ．
【课堂活动】
活动1：预习反馈，分析问题
活动2：典型例题，初步应用
例1：某村种的水稻2011年平均每公顷产7200，2013年平均每公顷产8460，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
例2：某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，椐市场分析，若按每千克50
元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。针对
这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（月销售利润＝月销售量×销售单价－月销售成本．）
活动3：归纳小结
1.增长率=（实际数-基数）/基数。平均增长率公式： ， 其中a是增长（或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，2是增长（或降低）的次数。
2.销售利润＝每件利润×件数。
3.在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．
【课后巩固】
1．（2014昆明）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率，设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为
B、 C、 D、
2．（2014泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系。每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元。要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出方程是（ ）
（A）（3+x）（4-0.5x）=15 （B）（x+3）（4+0.5x）=15
（C）（x+4）（3-0.5x）=15 （D）（x+1）（4-0.5x）=15
3．某商品原来的单价为96元，厂家对该商品进行了两次降价，每次降低的百分数相同，现单价为54元，求平均每次降价的百分数.
5.某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.96%，平均每次降息的百分率是多少？（结果精确到0.01﹪）
6.某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300张。商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元？
7.某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～65元3之间。市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价 格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱。
⑴写出平均每天销售y（箱）与每箱售价x（元）之间的关系式；
⑵求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的关系式（每箱的利润＝售价－进价）；
⑶当每箱牛奶售价为多少时，平均每天的利润为900元？
⑷当每箱牛奶售价为多少时，平均每天的利润为1200元？
课题
第2课时 平均变化率与销售问题
授课人
教
学
目
标
知识技能
通过分析平均变化率与销售问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程.
数学思考
经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型.
问题解决
能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.
情感态度
通过用一元二次方程解决实际问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活.
教学重点
通过分析问题中的数量关系，建立方程模型解决问题.
教学难点
平均变化率与销售问题的一元二次方程模型的建立及运用.
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.列方程解应用题的一般步骤有哪些？
①审题；②设未知数；③根据等量关系列方程；④解方程；
⑤检验并写出答案.
教师板书：实际问题与一元二次方程.
2.对于“传播问题”，应根据什么列方程？
被传染数＝传染源数×传染倍数.
复习列方程解应用题，为继续学习建立一元二次方程的数学模型解决实际问题做好铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是50分，第二次月考成绩增长了20%，第三次月考成绩又增长了20%，你能列式表示出小明第三次数学成绩是多少吗？
师生活动：学生独立思考，教师点拨，引导学生快速列出符合条件的数式.
通过相同具体变化率问题的列式计算，初步体会原始量、变化率、变化后的量之间的关系，为后面的学习奠定基础.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.平均变化率问题的探究
问题：（1）若小明第一次月考数学成绩是50分，第二次月考成绩增长了x，第三次月考成绩又增长了x，他的第三次月考数学成绩是多少？若小明的第三次月考数学成绩是80分，你能列方程求出x吗？
（2）若小明最初数学成绩为a分，以后每个月数学成绩的增长率都为x，经过n个月，他的数学成绩b是多少？
师生活动：教师给予学生充足的时间考虑问题并解答问题，使学生能够真正理解问题的解答方法，教师做好个别指导.
师生共同归纳：平均增长率（或下降率）问题：若基数为a，增长（或下降）率为x，n为增长（或下降）次数，b为变化后的结果，其基本关系式是a（1±x）n＝b.
2.销售问题的探究
某商店将进价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价的办法增加利润.如果这种商品每件的销售价每提高0.5元，其每天的销售量就减少10件.
问题：（1）利润与进价、售价、销量之间有何关系？
（2）若每件商品的售价定为12元，则每件商品的利润是多少元？每天的销售量是多少件？每天的销售利润是多少元？
（3）如果将每件商品的售价定为x元，则每件商品的利润是多少元？每天的销售量是多少件？每天的销售利润是多少元？若设每件涨价x元呢？
（4）若已知该商品每天的销售利润是640元，你能列方程求出每件商品的进价吗？
师生活动：教师引导，学生思考，讨论，一步一步地深入探究，从而完全解决问题.
1.给出原始量、增长率（或下降率）、变化次数、变化后的量之间的关系，让学生归纳公式，体验获得成功的喜悦.
2.在销售问题的探究中，引导学生抓住利润与进价、售价、销量之间的关系，构建一元二次方程数学模型解决问题.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 两年前生产1 t甲种药品的成本是5000元，生产1 t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3000元，生产1 t乙种药品的成本是3600元.哪种药品生产成本的年平均下降率较大？
教师提出问题：
（1）请分别计算甲、乙两种药品生产成本的年平均下降额是多少，并进行比较；
（2）请分别计算甲、乙两种药品生产成本的年平均下降率是多少，并进行比较.
师生活动：教师引导学生进行审题，确定好问题类型，然后指导学生按照解答下降率问题的方法进行解答.
教师归纳：平均变化率问题的基本关系：变化前数量×（1±x）n＝变化后数量.
例2 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元.为了扩大销售，增加赢利，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件.如果商场通过销售这批衬衫每天要赢利1200元，每件衬衫的价格应降低多少元？
让学生展开讨论，并写出解题过程，对所学知识起到了巩固作用.
【拓展提升】
例3 德州中考为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元/台）成一次函数关系.
（1）求年销售量与销售单价的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元/台，如果该公司想获得10000万元的年利润，那么该设备的销售单价应定为多少？
师生活动：学生进行自主解答后，教师引导学生进行交流、讨论，确定出解决问题的方法，并适时点拨、提示，指导学生进行解答.
拓展提升不仅及时巩固所学知识，了解学生的学习状况，还增强了学生应用知识的能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.某企业2018年获利润300万元，计划到2020年利润达到507万元.设这两年的年利润的平均增长率为x，应列方程是（ B ）
A.300（1＋x）＝507
B.300（1＋x）2＝507
C.300（1＋x）＋300（1＋x）2＝507
D.300＋300（1＋x）＋300（1＋x）2＝507
2.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为 10% .
3.某种商品经过两次降价后，价格为降价前的81%，则平均每次降价 10% .
4.某种服装每件的利润为30元时，平均每天可销售20件，若每件降价1元，则每天可多售出6件.如果每天要赢利1600元，那么每件应降价多少元？
5.沈阳中考某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元.假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同.
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本.
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
1.课堂总结：
（1）本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
（2）本节课还有哪些疑惑？说一说！
教师强调增长率（或下降率）问题公式：a（1±x）n＝b.
2.布置作业：
（1）教材第22页习题21.3第7题；教材第26页复习题21第10题.
（2）本课素材三[命题角度2]例1，例2.
指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探究新知的环节中，教师在引导学生总结增长率（或下降率）公式过程中，运用表格形式能够给予学生清晰的认识和理解，学生能够把握此类问题的推导公式，并能运用公式解答实际问题；在课堂训练的环节中，教师给予学生充分的练习时间和自由交流、讨论时间，教学效果明显.
②[讲授效果反思]
重难点的考查都应强调：（1）增长率（或下降率）问题的应用公式；（2）公式中各个字母或数字表示的实际意义；（3）“每每型”问题间接设未知数更简便.
③[师生互动反思]
在师生互动环节，教师做好引导工作，学生在讨论、交流、发表见解中得到解答问题的方法，过程严谨、实效，是真实的课堂.
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.