初中数学北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系课时作业

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知识点01一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
知识点02推导过程
在中，当时，由求根公式可得，，
所以，
．
知识点03一元二次方程的根与系数的关系的应用
（1）验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
（2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩
（4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
以两个数为根的一元二次方程是.
（5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程的两根为、，则
①当△≥0且时，两根同号．
当△≥0且，时，两根同为正数；
当△≥0且，时，两根同为负数．
②当△＞0且时，两根异号．
当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．
【点石成金】
（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；
（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．
【典例分析】
1．已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值．
【点拨】
根据方程解的意义，将x＝2代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．
【解析】
方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得，，从而解得：，k＝-7．
方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7．
设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得，从而，
故方程的另一根为，k的值为-7．
【总结】根据一元二次方程根与系数的关系，易得另一根及k的值
2.关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
【点拨】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，再结合完全平方公式可得出x12+x22=﹣2x1•x2，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．
【解析】
解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜．
∴m的取值范围为m＜．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，
∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，
∴x12+x22=﹣2x1•x2=4﹣4m=8，
解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．
∴m的值为﹣1．
【总结升华】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．
3.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的负倒数．
【解析】
设方程的两根分别为x1、x2，由一元二次方程根与系数的关系，
得，．
设所求方程为，它的两根为y1、y2，
由一元二次方程根与系数的关系得，，
从而，
．
故所求作的方程为，即．
【总结】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数x1、x2为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“和积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．
【跟踪训练】
1．已知关于x的方程x2+5x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．3B．﹣7C．7D．﹣3
【答案】D
【分析】
首先根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后求解即可．
【详解】
由根与系数的关系可知，，
∵一个根为-2，
∴另一根为，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根，掌握根与系数的关系是关键．
2．关于x的方程有一个根为，则另一个根为（ ）
A．5B．2C．D．
【答案】A
【分析】
由题意可知，方程显然有两个实数根，故而结合韦达定理即根与系数的关系解答即可；
【详解】
由题知：关于的方程有一个根为﹣1，另一根为；
∴，
解得：，则另一根为5；
故选：A
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，重点在于熟练理解和掌握韦达定理的应用；
3．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】
设方程的另一个根为x1，根据两根之积等于，即可得出关于x1的方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设方程的另一个根为x1，
根据题意得：1×x1=2，
则x1=2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及解一元一次方程，牢记一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根之积等于是解题的关键．
4．方程的两根之和为（ ）
A．B．5C．D．1
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】
解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
一元二次方程的两根之和为：，
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
5．若关于的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
因为一元二次方程有实数根，所以 ，即可解得．
【详解】
∵一元二次方程有实数根
∴
解得
故选B
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，掌握方程根的个数与根的判别式之间关系是解题关键．
5．方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣5D．5
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系得出方程的两根之和为，即可得出选项．
【详解】
解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解决问题的关键是熟练正确理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
6．对于一元二次方程，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根B．两根之和是3
C．两根之积是D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【分析】
先找出，再利用根的判别式判断根的情况即可．
【详解】
解：
∵
∴
∴这个一元二次方程没有实数根，故A正确、D错误．
∵，故C错误．
，故B错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握