高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的概念及其表示第1课时教学设计及反思

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基础信息
1．内容要求：掌握解析法、列表法、图象法三种函数表示方式；理解分段函数概念，会写解析式、求函数值、绘制图象；能用垂线法判断函数图象.
2．学业要求：提升直观想象、数学抽象素养，能根据实际场景选择合适函数表示形式.
3．教学提示：结合生活购物实例对比三种表示法，重点纠正＂分段即多个函数＂误区，规范图象端点绘制.
二、教学设计依据
（一）教材分析
本节课在学生掌握函数定义、三要素、区间表示的基础上，系统学习函数的三类标准表示形式：解析法、列表法、图象法.三种表示法各有优势，是描述变量对应关系的通用工具，贯穿整个函数章节.教材结合实际购物案例，完整展示三种表示法的书写格式；随后给出函数图象的判定法则，讲解描点法作图步骤.核心新知为分段函数：在定义域不同区间上对应关系不同的函数，本质仍是一个函数，是高中函数的重要模型.
（二）学情分析
学生在初中已经接触了解析法、简单函数图象，对列表法也有初步认知，但未系统归纳三类表示法的特点.对于分段函数，学生容易产生认知误区：误认为＂分几段就是几个函数＂；计算多层函数值（复合求值）时容易出错；作图时对区间端点的实心点、空心点把控不到位.同时，学生运用数形结合思想解题的能力有待加强.
三、教学目标与重难点
（一）教学目标
1．掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法，理解三种表示法各自的特点与适用场景.
2．掌握判断函数图象的依据，熟练运用描点法绘制简单函数图象.
3．理解分段函数的概念，明确分段函数是一个函数而非多个函数，会书写分段函数解析式、求分段函数的函数值.
（二）教学重难点
教学重点：函数的三种表示方法；分段函数的概念与基本运算；描点法作函数图象．
教学难点：分段函数的理解与综合应用；根据题意书写分段函数解析式；图象与解析式结合解题．
四、教学准备
教师准备：准备好课件，利用课件动态展示教学内容．
学生准备：提前预习教材67-68页内容
五、教学过程设计
（一）新课导入
教师活动
1．复习回顾：提问函数的三要素，回顾函数的定义.
2．引导过渡：函数是描述变量对应关系的模型，在生活与数学中，我们可以用不同形式来表示这种对应关系.今天系统学习函数的三种表示方法，并重点研究分段函数.
3．设问引导：想一想生活中哪些场景会用表格、图象来表示变量关系？
学生活动
1．回忆旧知，回答问题.
2．结合生活实例思考函数表示形式，进入新课学习.
（二）新课讲授
一、函数的三种表示法
教师活动
1．逐一讲解三种表示法定义及特点：
解析法：用数学解析式表示变量对应关系，优点：便于计算函数值、研究函数性质；
列表法：用表格列出自变量与对应函数值，优点：直观读取对应数据；
图象法：用图象表示变量变化规律，优点：直观反映函数增减、趋势.
2．拓展提问：如何判断一个图形是否为函数图象？总结垂线判定法：在定义域内，任意作垂直于x轴的直线，与图形有唯一交点则为函数图象，否则不是.
学生活动
1．记录三种表示法定义与优缺点.
2．跟随例题，练习三种表示法的书写.
3．理解并记忆函数图象判定规则.
二、描点法作函数图象
教师活动
1．讲解描点法三步流程：列表→描点→连线.
2．作图强调：根据定义域区分实心点、空心点，折线类图象按顺序连接.
学生活动
1．熟记作图步骤.
2．尝试改写解析式、绘制图象，规范作图细节.
三、分段函数
教师活动
1．给出定义：在函数定义域内，自变量在不同取值范围，对应关系不同，这样的函数称为分段函数.
2．核心强调：分段函数整体是一个函数，不是多个函数，作图、求值都要整体考虑.
3．补充作图注意事项：分段作图，区间端点区分实心／空心点，全部画在同一坐标系内.
4．示范分段函数解析式书写格式，讲解区间划分方法.
学生活动
1．理解分段函数概念，纠正＂分段即多个函数＂的错误认知.
2．学习区间划分、分段解析式书写与作图方法.
例题讲评：
例4某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y=f(x)．
解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}．用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x，x∈{1，2，3，4，5}.用列表法可将函数y=f(x)表示为
用图象法可将函数y=f(x)表示为如图．
例5画出函数y=|x|的图象．
解：由绝对值的概念，我们有所以，函数y=|x|的图象如图所示．
例6给定函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，x∈R，（1）在同一直角坐标系中画出函数f(x)，
g(x)的图象；（2）∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}．例如，当x=2时，M(2)=max{f(2)，g(2)}=max{3，9}=9．请分别用图象法和解析法表示函数M(x)．
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图．
（2）由图中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象如图．
由(x+1)2=x+1，得x(x+1)=0．解得x=−1，或x=0．结合图象，得出函数M(x)的解析式为
（四）课堂小结与练习
课堂练习
1.已知函数那么的值为___________.
2.画出函数的图象，并求出，，的值.
3.写出下列函数的定义域、值域：
（1）；
（2）的图象如图；
（3）与x的对应关系如下表：
课堂小结
1．函数三种表示法：解析法、列表法、图象法，掌握各自特点与适用场景.
2．函数图象判定：垂直于x轴的直线与图象仅有一个交点.
3．描点法作图步骤：列表→描点→连线.
4．分段函数：定义域分段、对应关系不同，整体为一个函数.
5．分段函数解题要点：求值看区间、作图区分端点、解方程分类讨论.
（五）作业布置
教材第69页，1-3题
六、板书设计
1．三种表示法
（1）解析法：便于运算；
（2）列表法：直观读数；
（3）图象法：直观趋势
2．描点法画图：列表→描点→连线
3．分段函数
整体是一个函数，定义域分段、对应关系不同
七、教学评价与反思
（一）教学评价
本课采用课堂过程评价＋课后作业评价.课堂分层提问，基础题区分三种表示法优缺点；作图题学生上台手绘，即时纠正端点虚实错误；分段求值小题当堂检测.小组合作完成购物案例三种写法，检验知识迁移能力.随堂练习覆盖识图、求值、写分段式三类题型.课后分层作业，基础题巩固基础表示，提升题为最值分段函数.围绕直观想象素养评价，精准定位分段区间判断、图象规范两大薄弱点.
（二）教学反思
成功之处
以购物生活案例引入三种表示法，贴近学生认知.明确垂线识图规则，借助绝对值函数讲解分段函数，反复强调分段仍是一个函数.例题兼顾书写、作图、求值，课堂作图实操充分，多数学生能掌握基础分段求值.
不足之处
部分学生仍认为分段是多个函数；自变量跨区间时易代错解析式；作图时常忽略空心／实心点；自主根据图象写分段式练习偏少.
改进措施
增设分段概念辨析判断题；补充多区间求值专项训练；强化作图端点标注要求；增加由图象写分段解析式习题；整理典型错题课前集中讲评.
笔记本数x
1
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5
钱数y
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x
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