初中人教版（2024）代数式学案设计

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专题07 列代数式表示数量关系
题型01 代数式的意义
学以致用
【例1】 （2026•鼓楼区校级模拟）下列说法中，不能表示代数式“5x”意义的是（ ）
A．x的5倍B．5与x的积C．5个x相加D．5个x相乘
【答案】D
【分析】根据各个选项中的说法可以用代数式表示，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：x的5倍可以表示为5x，故选项A不符合题意；
5与x的积可以表示为5x，故选项B不符合题意；
5个x相加可以表示为5x，故选项C不符合题意；
5个x相乘可以表示为x5，故选项D符合题意；
故选：D．
【例2】 （2025秋•淮北期末）下列有关代数式的说法中错误的是（ ）
A．3（m+2）的意义是m的3倍与2的和
B．4mn的意义是4m除以n的商
C．3m+2的意义是m的3倍与2的和
D．m2+2的意义是m的平方与2的和
【答案】A
【分析】根据代数式的运算顺序逐项分析判断即可．
【解答】解：A、3（m+2）的意义是m与2的和的3倍，故此选项符合题意；
B、4mn的意义是4m除以n的商，故此选项不符合题意；
C、3m+2的意义是m的3倍与2的和，故此选项不符合题意；
D、m2+2的意义是m的平方与2的和，故此选项不符合题意；
故选：A．
【例3】 （2025秋•南通期末）用文字叙述代数式1x−3的意义，下列文字叙述错误的是（ ）
A．比x的倒数大3的数B．比x的倒数小3的数
C．x的倒数与3的差D．1除以x的商与3的差
【答案】A
【分析】根据代数式的含义即可解决问题．
【解答】解：A、比x倒数大3的数表示为1x+3，不正确，符合题意；
B、比x倒数小3的数，正确，不符合题意；
C、x的倒数与3的差，正确，不符合题意；
D、1除以x的商与3的差，正确，不符合题意．
故选：A．
题型02 代数式的书写规范
学以致用
【例4】 （2025秋•东坡区校级期末）下列代数式中符合书写要求的是（ ）
A．ab2×4B．6xy2÷3C．212a2bD．14x
【答案】D
【分析】根据代数式的书写要求判断各项．
【解答】解：选项A正确的书写格式是4ab2，故此选项不符合题意；
选项B正确的书写格式是2xy2，故此选项不符合题意；
选项C正确的书写格式是52a2b，故此选项不符合题意；
选项D正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【例5】 （2026•二道区校级模拟）下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ）
A．213mnB．m÷3C．m×3D．mn
【答案】D
【分析】根据代数式书写的基本规则对各选项逐一判断即可．
【解答】解：∵带分数作系数时需要化为假分数，A选项使用带分数，不符合书写规范．
∵除法运算需要写成分数形式，B选项保留除号，不符合书写规范．
∵数字与字母相乘时，乘号需要省略且数字要写在字母前方，C选项保留乘号，不符合书写规范．
∵mn符合代数式书写规范，因此D正确，
∴故选：D．
【例6】 （2025秋•浦东新区校级期末）下列代数式中符合书写要求的是（ ）
A．﹣1abB．312abC．m÷2nD．14xy
【答案】D
【分析】根据代数式的书写要求，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、应该是：﹣ab，故A不符合题意；
B、应该是：72ab，故B不符合题意；
C、应该是：m2n，故C不符合题意；
D、14xy书写正确，故D符合题意；
故选：D．
题型03 判断是否代数式
学以致用
【例7】 （2026•沧州二模）下列各式中，不是代数式的是（ ）
A．2xB．x＜2C．2xD．x2+2x
【答案】B
【分析】根据代数式的定义判断各式即可得到答案，代数式不含表示相等或不等关系的符号．
【解答】解：A、2x是单项式，属于代数式，不符合题意；
B、x＜2含有不等号，是不等式，不是代数式，符合题意；
C、2x是分式，属于代数式，不符合题意；
D、x2+2x是多项式，属于代数式，不符合题意．
故选：B．
【例8】 （2025秋•上海校级期末）下列各式中，不是代数式的是（ ）
A．x＝1B．5C．2a2+1D．x﹣2y+3
【答案】A．
【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．
【解答】解：A．x＝1是等式，不是代数式；
B．5是代数式；
C．2a2+1是代数式；
D．x﹣2y+3是代数式．
故选：A．
【例9】 （2025秋•林芝市期末）下列各式中是代数式的是（ ）
A．S＝πr2B．2a＞bC．3x+yD．π≈3.14
【答案】C
【分析】运用代数式、等式和不等式的定义进行逐一辨别．
【解答】解：∵S＝πr2，2a＞b，π≈3.14中含有非运算符号，
3x+y是用简单的运算符号把数字和表示数字的字母连接而成的式子，
∴S＝πr2，2a＞b，π≈3.14不是代数式，3x+y是代数式，
∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
题型04 列代数式
学以致用
【例10】 （2025秋•平原县期末）某校组织学生前往素质教育基地开展研学活动，共有x名学生租用了若干辆车，若每辆车坐40人，则还有7人不能上车；若每辆车坐45人，则最后一辆车空了3个座位．则表示租用车辆的代数式正确的是（ ）
A．x−740B．x−345C．x+745D．x+340
【答案】A
【分析】根据题中数量关系即可直接表示出车辆数．
【解答】解：由条件可知租用车辆的数量为x−740；
∵每辆车坐45人，最后一辆车空了3个座位，
∴租用车辆的数量也可表示为x+345；
比较选项，A为x−740，与第一种情况一致，
故选：A．
【例11】 （2025秋•襄汾县校级期末）a与b的2倍的差，列代数式正确的是（ ）
A．2（a﹣b）B．a﹣2bC．12(a−b)D．a−12b
【答案】B
【分析】a与b的2倍的差可以表示为a﹣2b，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：a与b的2倍的差可以表示为a﹣2b，
故选：B．
【例12】 （2025秋•巫山县期末）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路．在A地的东边5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（ ）
A．（12n+7）kmB．（12n+5）kmC．（12n﹣7）kmD．（12n﹣5）km
【答案】C
【分析】根据题意和图形，可以用代数式表示出这辆汽车行驶的路程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
一汽车在A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为：5+12（n﹣1）＝（12n﹣7）km，
故选：C．
题型05 探究数字规律
学以致用
【例13】 （2024秋•陕州区期末）在月历上，某些数满足一定的规律，某月的月历如图所示，任意选择其中含4个数的涂色方框部分，设左上角的数为a，则下列叙述正确的是（ ）
A．右上角的数为a﹣1
B．左下角的数为a+8
C．右下角的数为a+7
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
【答案】D
【分析】根据月历特点上下相差7，左右相差1的特点即可得解．
【解答】解：当左上角的数为a时，
A、右上角的数为a+1，不符合题意；
B、左下角的数为a+7，不符合题意；
C、右下角的数为a+8，不符合题意；
D、∵a+（a+1）+（a+7）+（a+8）＝4a+16＝4（a+4），
∴方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，符合题意，
故选：D．
【例14】 （2024秋•青浦区期末）如图，把高度11cm的同种杯子叠在一起，2个的高度是13cm，3个的高度是15cm，…呈现一定的规律．由此推断，n个杯子叠在一起的高度是 （9+2n） cm．
【答案】（9+2n）．
【分析】根据图形，可以列出算式11+（13﹣11）×（n﹣1），然后计算即可．
【解答】解：由题意可得，
n个杯子叠在一起的高度是：11+（13﹣11）×（n﹣1）
＝11+2（n﹣1）
＝11+2n﹣2
＝（9+2n）cm，
故答案为：（9+2n）．
【例15】 （2024秋•科左后旗期末）观察下面的等式：
第1个等式：13×(1+21)=3−21；
第2个等式：44×(1+22)=3−22；
第3个等式：75×(1+23)=3−23；
第4个等式：106×(1+24)=3−24；
…
按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）： 3n−2n+2×（1+2n）＝3−2n ．
【答案】3n−2n+2×（1+2n）＝3−2n．
【分析】根据规律写出第n个等式并证明即可．
【解答】解：根据规律，第n个等式为3n−2n+2×（1+2n）＝3−2n．
证明：3n−2n+2×（1+2n）
=3n−2n+2×n+2n
=3n−2n
＝3−2n．
故答案为：3n−2n+2×（1+2n）＝3−2n．
题型06 反比例
学以致用
【例16】 （2026•红河州模拟）下列图中，两个量a和b成反比例关系的是（ ）
A．线段总长为1B．圆柱体积为1
C．三角形面积为1D．长方体体积为1
【答案】C
【分析】先分别求出a和b的关系，再断．
【解答】解：A：a+b＝1，
B：a2πb＝1，
C：12ab＝1，
D：ab2＝1，
故选：C．
【例17】 （2026春•肇源县期中）已知m+2x=y，且x和y都不为0．当m一定时，x和y（ ）
A．成正比例B．成反比例
C．不成比例D．以上都不对
【答案】B
【分析】判断两个相关联的量成什么比例，需看两种量对应比值一定还是乘积一定，比值一定成正比例，乘积一定成反比例，据此分析x和y的关系．
【解答】解：∵m+2x=y，且y≠0，x≠0，
∴xy＝m+2，
∴m+2是定值，即x和y的乘积为定值，
∴当m一定时，x和y成反比例．
故选：B．
【例18】 （2025秋•焦作期末）下列说法中正确的是（ ）
A．圆的面积与半径成正比例关系
B．长方形的周长一定，长与宽成反比例关系
C．y＝5x，x与y成反比例关系
D．圆柱的体积一定，底面积与高成反比例关系
【答案】D
【分析】两种相关联的量，若两个相关量的比值一定，这两个量成正比例；若两个相关量的乘积一定，这两个量成反比例，据此解答即可．
【解答】解：A、圆的面积＝πr2，圆的面积与半径的平方成正比例关系，原说法错误，不符合题意；
B、长方形的周长＝（长+宽）×2，长方形的周长一定，长与宽不成比例关系，原说法错误，不符合题意；
C、y＝5x，即yx=5，比值一定，x与y成正比例关系，原说法错误，不符合题意；
D、圆柱的体积＝底面积×高，乘积一定，所以圆柱的体积一定，它的底面积与高成反比例关系，正确，符合题意，
故选：D．
1．初步掌握用字母表示数的方法．
2．理解代数式的组成要素（变量、系数、常数项）．
3．掌握列代数式的规范书写方法．
4．能够用代数式准确描述数量关系．
1．代数式
用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，叫作代数式．
单独的一个数或字母也是代数式，例如，5，t都是代数式．
2．代数式的书写要求
（1）数字与字母或字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或写成“·”，而且数字要写在字母的前面，如5×a可以写成5·a或5a，但数字与数字相乘时仍用“×”．
（2）数字因数是1或–1时，“1”省略不写，如1×ab写成ab，–1×ab写成–ab；
（3）若数字因数是带分数，要化成假分数，如．
（4）式子中出现除法时，写成分数的形式，如．
（5）用代数式表示实际意义的量时，如果所列代数式是和或差的形式，并且有单位，要把代数式用括号括起来，后面写上单位．
3．列代数式：在解决一些数学问题与实际问题时，需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式．
4．反比例关系：
（1）定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．
（2）反比例关系的表示方法：如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用xy=k或来表示，其中k叫作比例系数．
理解代数式的意义
关键在于明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系．用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系．
代数式的书写要求
（1）数字与字母或字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或写成“·”，而且数字要写在字母的前面，如5×a可以写成5·a或5a，但数字与数字相乘时仍用“×”．
（2）数字因数是1或–1时，“1”省略不写，如1×ab写成ab，–1×ab写成–ab；
（3）若数字因数是带分数，要化成假分数，如．
（4）式子中出现除法时，写成分数的形式，如．
（5）用代数式表示实际意义的量时，如果所列代数式是和或差的形式，并且有单位，要把代数式用括号括起来，后面写上单位．
代数式
用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，叫作代数式．
单独的一个数或字母也是代数式，例如，5，t都是代数式．
1．列代数式：在解决一些数学问题与实际问题时，需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式．
2．列代数式的步骤：
（1）分析条件，找出数量关系．
（2）用含有数、字母和运算符号的式子表示数量关系．
3．用字母表示数或数量关系的注意事项
（1）字母可以表示一个数也可以表示一个复杂的式子．在同一个式子中，相同的字母表示的数要相同，不同的字母表示的数可以相同，也可以不同．
（2）同一个问题中，不同的数量必须用不同的字母表示．
（3）用字母表示数时，字母的取值有时会受式子本身或实际情况限制．例如：若x表示人数，则x只能取非负整数（自然数），因为人数不能为负数、分数（或小数）．
（4）用字母表示几个数的和、差，并且后面有单位时，要把式子用括号括起来．
探究数字规律问题的基本步骤
（1）标序号：题目通常按照一定的顺序给出一系列数，标序号可以把这些数与对应序号建立联系．
（2）找结构：从运算入手，如从加减结构、乘除结构、乘方结构等角度寻求尝试做一些计算，猜想变化规律，用代数式表示．
（3）验证：把前面的几个数分别代入到猜想的结论中进行验证．
1．反比例关系的定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．
2．反比例关系的表示方法：如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系k可以用xy=k或y=来表示，其中k叫作比例系数．
3．两个量的变化规律：一个量随着另一个量的增大而减小．
4．正比例关系与反比例关系的区别：
正比例关系：两个相关联的量x，y的比值一定，这两个量就叫作正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系．即（k是一个确定的值，且k≠0）．
反比例关系：两个相关联的量x，y的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．即xy=k（k是一个确定的值，且k≠0）．