初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）4 二元一次方程与一次函数精品达标测试

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知识点01 二元一次方程组与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。
y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解
3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.
【即学即练1】
1．（24-25八年级下·云南丽江·期末）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的方程组的解为 ．
2．（24-25七年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A，B两点．
(1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解；
(2)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为2，求a的值．
知识点02 二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法）
1) 两点法:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。
2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。
【即学即练2】
3．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点与点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若为此一次函数图像上一点，且，求点的坐标．
4．（21-22八年级下·湖南长沙·期中）4月23日是“世界读书日”，甲书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：“与书相伴，遇见更好的为自己”，一次购书中标价总额不超过80元的按原价计费，超过80元的部分5折．以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额．
(1)文文购买标价总额50元的书需付款 元；购买标价总额100元的书需付款 元；
(2)求支付金额y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)当天，隔壁的乙书店：“阅读改变生活，共创文明长沙”活动：同样标价的书籍均按标价7折出售；若文文需买250元书，选择哪家书店去购书更省钱？说明你的理由．
题型01 利用两点式求一次函数的解析式
【典例1】已知一次函数的图象经过两点．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)判断点是否在该函数的图象上．
【变式1】已知一次函数的图象经过点、．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)如果点在这个一次函数图像上且它的纵坐标为，求点的坐标．
【变式2】已知一次函数的图象经过点和点．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若点向右平移3个单位后恰好落在直线上，求的值．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线交于点，直线与轴交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)点在轴上，过点作平行于轴的直线，分别与直线交于点．若，求的值．
题型02 图形中求一次函数的解析式
【典例2】如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A．
(1)求该一次函数解析式；
(2)求的面积．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动．
(1)求直线的表达式；
(2)当的面积是的面积的时，求出相应点的坐标．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的另一直线与x轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点G是直线上的动点且在y轴右侧，过点G作x轴的垂线交x轴于点M，与直线交于点H，且满足．求点G的坐标．
【变式3】在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上任意一点（，两点除外）．
(1)求直线的解析式；
(2)过点分别作于点，于点，当点在上运动时，你认为四边形的周长是否发生变化？并说明理由；
题型03 两直线的交点与二元一次方程组的解
【典例3】如图，函数与的图象的交点坐标可以看作方程组 的解．
【变式1】若一次函数与的图象交点为，则二元一次方程组的解为 ．
【变式2】在同一平面直角坐系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组 的解为 ．
【变式3】已知一次函数与的图象的交点为，则关于的二元一次方程组的解为 ．
题型04 图象法解二元一次方程组
【典例4】如图，直线与直线交于点，则关于x，y二元一次方程组的解是 ．
【变式1】如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ．
【变式2】如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x，y的方程组的解是 ．
【变式3】如图，正比例函数（，且为常数）的图象与一次函数（，且、为常数）的图象交于点，则关于，的方程组的解是 ．
题型05 已知两直线求围成的图形面积
【典例5】在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与x轴交于点B．直线与直线相交于点，点A的坐标为．
(1)求n的值及直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)点是直线上的一点（不与点重合），且点的横坐标为，求的面积S与m之间的关系式．
【变式1】如图，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、点B，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点D、点C，直线，相交于点M．
(1)请直接写出点M的坐标；
(2)求的面积；
(3)点N在直线上，使得，求点N的坐标．
【变式2】如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，交于点．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)求的面积；
(4)在直线上存在异于点的另一点，使得是的面积的倍，求点的坐标．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与轴正半轴交于点B，与y轴交于点，直线与轴负半轴交于点D，与y轴交于点E，且．
(1)分别求出直线与的表达式．
(2)已知P是直线上位于轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a．
①用含a的式子表示的面积；
②是否存在点P恰好使得?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
题型06 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题
【典例6】某公司需运输一批教学设备，准备租用汽车运输公司的大、小两种型号的货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）：
(1)求每辆大货车、小货车分别能装载教学设备多少台？
(2)该公司现计划再租用大小货车共12辆运送一批教学设备，汽车运输公司给予该公司大货车1500元/辆，小货车750元/辆的优惠价，公司要求此次运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15000元，请你列出所有货车租用方案．
(3)在（2）的条件下，请你选择出运输费用最少的方案，并求出该方案所需运输费用．
【变式1】某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货10吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资，根据以上信息，解答下列问题：
(1)辆型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．物流公司计划共租用辆车，请写出总租车费用（元）与租用型车数量（辆）的函数关系式．
(3)如果汽车租赁公司的型车只剩了辆，型车还有很多．在（）的条件下，请选出最省钱的租车车方案，并求出最少租车费用．
【变式2】列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进两种树苗共17棵，已知种树苗每棵80元，种树苗每棵60元．
(1)若购进两种树苗刚好用去1220元，求购进两种树苗各多少元？
(2)若购进种树苗棵，所需总费用为元．
①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
②若购进种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
【变式3】为落实立德树人的根本任务，培养有理想、有本领、有担当的新时代好少年，某校组织八年级师生开展以“寻根河南 生生不息”为主题，为期一天的“只有河南之旅”研学实践活动，学校计划租用甲、乙两种不同型号的客车，已知2辆甲型客车和3辆乙型客车可乘坐270人，3辆甲型客车和2辆乙型客车可乘坐255人．
(1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人？
(2)已知甲型客车每天的租车费用为1200元，乙型客车每天的租车费用为1500元，学校计划共租用12辆客车，请写出总租车费用（元）与租用甲型客车数量（辆）的函数关系式；
(3)如果客车租赁公司的甲型客车只剩下8辆，乙型客车还有很多．在（2）的条件下，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．

一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）直线与直线交于点，则下列各方程组中满足解为的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（ ）
A．或B．C．D．或
3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线，，①；②；③关于x，y的方程组的解为．关于①、②和③正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一次函数的图象经过点和，则此函数的表达式为 ．
6．（25-26八年级上·全国·周测）如图，一次函数的图象经过两点，与x轴交于点C，则的面积为 ．
7．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，函数与为常数，且的图象交于点，则关于，的方程组的解是 ．
8．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线与直线交于点，直线的解析式为，直线的解析式为，点为直线上的点，且，则点的坐标为 ．
三、解答题
9．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点、．
(1)求直线l所对应的函数表达式．
(2)若过点B，交y轴于点C，求的面积．
10．（2025八年级上·全国·专题练习）某水果经销商从水果种植户购进甲、乙两种水果进行销售，因长期合作的关系，水果种植户对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．经销商购进甲种水果所需支付金额（元）与质量（千克）之间的函数关系如图所示．
(1)请写出当时，与之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于20千克，但又不超过30千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商支付的总金额（元）最少？
11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线相交于点．

(1)求出关于的方程组的解；
(2)直线能否也经过点？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴、轴分别交于点．点的坐标为，连接．
(1)求所在直线的函数表达式；
(2)若直线与所在直线交于一点，并将分成面积相等的两部分，求点的坐标．
13．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线的表达式为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线，交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)写出关于，的二元一次方程组的解；
(3)求的面积．
14．（2025八年级上·全国·专题练习）一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，当客车行驶的时间为时，客车到甲地的距离为，轿车到甲地的距离为与x之间的函数关系如图所示．
(1)分别求出与x之间的函数表达式；
(2)当两车相遇时，求客车行驶的时间；
(3)两车相距时，求客车行驶的时间．
15．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，两直线交于点C，且点C的横坐标为2．
(1)关于x，y的方程组的解是______．
(2)求直线的关系式
(3)求的面积．
(4)在直线的图像上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标．
16．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一次函数，当时，；当时，．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若是该一次函数图象上的两点，且，求m的取值范围；
(3)当时，y的最小值是________；
(4)将一次函数的图象向________（填“上”或“下”）平移________个单位长度就可得到正比例函数的图象．
17．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）清华附中合肥学校C22级学生在暑期职业探究课程中，有学生选择了到某商店体验当“小店长”的一天，进货时与厂家沟通了解到，购进4件A商品和12件B商品共需360元，购进8件A商品和6件B商品共需270元．
(1)请你算出A，B两种商品每件的进价；
(2)店里计划将5000元全部用于购进A，B这两种商品，设购进A商品件，B商品件．
①求与之间的关系式：
②店里进货时，厂家要求A商品的购进数量不少于100件，已知A商品每件售价为20元，B商品每件售价为35元，设店里全部售出这两种商品可获利W元，请你算出W与之间的关系式和该店所获利润的最大值．
18．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于两点，直线交直线于点，交负半轴于点，交轴正半轴于点．且．
(1)求出点坐标并求直线解析式；
(2)如图2，点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连接．
①点移动过程中，求证：；
②求面积的最小值．
教学目标
1. 知识与技能：阐述二元一次方程与一次函数的内在联系，能将二元一次方程转化为一次函数形式，理解方程的解与函数图象上点的坐标的对应关系。
2. 过程与方法：经历从代数到几何的转化过程，掌握用一次函数图象求二元一次方程组近似解的方法，培养数形结合与逻辑推理能力。
3. 情感态度：感受数学知识的关联性与统一性，激发学习兴趣，增强运用数学解决实际问题的自信心与成就感。
教学重难点
1.重点
（1）核心关系理解：透彻掌握二元一次方程与一次函数在“数”（方程的解）与“形”（函数图象）上的对应关系。
（2） 图象解法掌握：学会利用一次函数图象求二元一次方程组的近似解，建立“数”与“形”的转化思维。
2.难点
（1）抽象关系转化：难以深度理解二元一次方程的解集与一次函数图象（直线）之间的本质对应，数形结合意识薄弱。
（2）方法灵活应用：在实际问题中，无法熟练结合图象法与代数法解决问题，对近似解的理解与运用存在困难。
大货车的车辆数（辆）
小货车的车辆数（辆）
累计运货台数（台）
第一次
2
3
21
第二次
5
6
48