初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）2 二元一次方程组的解法精品巩固练习

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知识点01 代入消元法解二元一次方程组
1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法.
2)代入消元法的步骤： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程. = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解.
【即学即练1】
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）用代入消元法解下列方程组：
(1)
(2)
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程组：
(1)
(2)
知识点02 加减消元法解二元一次方程组
1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法.
2）加减消元法步骤： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值.
【即学即练2】
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列二元一次方程组：
(1)
(2)
(3)
2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程组．
(1)
(2)
题型01 用含一个字母的代数式表示另一字母
【典例1】将，用含有x的式子表示y，下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（24-25七年级下·广东中山·期中）由可以得到用含x的式子表示y为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】由方程组，可得出x与y的关系是 ．
【变式3】（24-25七年级下·广东中山·期中）已知，且x、y互为相反数，则 ．
题型02 代入消元法解二元一次方程组
【典例2】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程组
【变式1】解二元一次方程组：．
【变式2】解方程组．
(1) (2)
【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）用代入法解方程组时，有以下过程：
（1）由①，得③．
（2）将③代入②，得．
（3）去括号，得，解得．
（4）将代入③，得．
所以原方程组的解是
其中开始出现错误的一步是 ．（请填写序号）
题型03 加减消元法解二元一次方程组
【典例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中，能消元的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2025·江苏苏州·模拟预测）解方程组∶
【变式2】已知满足方程组，则
【变式3】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）解下列方程组：
(1) (2)
题型04 二元一次方程组的错解复原问题
【典例4】甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）甲、乙两人共同解方程组时，甲看错了方程②中的a，解得；乙看错了方程①中的b，解得，求的值．
【变式2】（25-26八年级上·广东中山·开学考试）甲、乙两人同时解关于，的方程组，甲解对了，得，乙看错了，得试求出原方程组中的，，的值．
【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出的值及原方程组的解．
题型05 已知二元一次方程组的解求参数
【典例5】若关于、的方程的一个解是，则 ．
【变式1】（2025·山东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ．
【变式2】（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）关于的方程组的解为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）方程组的解为，则“”“”表示的数分别是（ ）
A．10，2B．10，3C．12，2D．12，3
题型06 已知二元一次方程组解的情况求参数
【典例6】（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【变式1】（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为 ．
【变式2】已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（ ）
A．4B．C．D．4或5
【变式3】（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组．
(1)若方程组的解满足，求m的值；
(2)无论数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解．
题型07 构造二元一次方程组求解
【典例7】（2025八年级上·全国·专题练习）若，则的值是（ ）
A．4B．2C．D．
【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程是关于x和y的二元一次方程，则 ， ．
【变式2】（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）请写出一个解是的二元一次方程组（不含） ．
【变式3】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值．
题型08 利用同解方程组的问题求解
【典例8】（25-26八年级上·全国·期末）若方程组和同解，则a的值是（ ）
A．2B．3C．4D．不存在
【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知关于的方程组与有相同的解，则的值为 ．
【变式2】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ．
【变式3】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）已知方程组和方程组的解相同，求的值．
题型09 二元一次方程组的有关的新定义、新运算问题
【典例9】（24-25七年级下·山东威海·期中）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（ ）
A．8B．4C．3D．10
【变式1】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）对x，y定义一种新运算“”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，，则的值是（ ）
A．3B．5C．9D．11
【变式2】规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（ ）
A．2B．1C．0D．
【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，．
(1)求a、b的值；
(2)求的值．

一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）把方程写成用含的式子表示的形式，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程组时，较为简单的方法是（ ）
A．代入消元法B．加减消元法C．试值法D．无法确定
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）用加减消元法解方程组下列解法正确的是（ ）
A．，消去B．，消去
C．，消去D．，消去
4．（24-25七年级下·重庆·期末）若x，y是二元一次方程组的解，那么的值是（ ）
A．15B．4C．3D．2
5．（25-26七年级上·全国·课后作业）若满足，则有（ ）
A．B．C．D．
6．（25-26七年级上·全国·课后作业）若无论取何值，关于的二元一次方程组都有解，则（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25七年级下·全国·期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ）
A．0B．C．1D．2021
8．（2023·广东茂名·模拟预测）当实数，满足时，称点为和谐点，若以关于，的方程组的解为坐标的点为和谐点，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
二、填空题
9．（25-26八年级上·全国·课后作业）把方程改成用含x的代数式表示y的形式 ，改成用含y的代数式表示x的形式 ．
10．（25-26七年级上·全国·课后作业）将方程组转化为关于的一元一次方程，得 ，整理并解该方程，得 ，将该方程的解代入原方程组，得到该方程组的解为 ．
11．（24-25七年级下·全国·期末）已知的算术平方根是4，的立方根是3，则的平方根是 ．
12．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）已知方程组和有相同的解，则的平方根是 ．
13．（25-26八年级上·全国·课后作业）若直角三角形的两条直角边长满足方程组，则这个直角三角形的周长是 ．
14．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）若方程组的解为，则方程组的解为 ．
15．（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ．
16．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程组有下列结论：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，原方程组的解也是方程的解；③无论取何值，的值始终不变．其中正确的是 （填序号）
三、解答题
17．（25-26八年级上·重庆忠县·阶段练习）解方程组
(1)；
(2)．
18．（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
19．（25-26七年级上·全国·课后作业）用代入消元法解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
(4)
20．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题．
解：得：…（1），
得：…（2）
∴（3）
(1)第 步（填序号）出错；
(2)请你写出正确的解题过程．
21．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值．
22．（25-26七年级上·全国·课后作业）定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，．
(1)当时， ．
(2)若，则 ． ．
23．（25-26七年级上·全国·课后作业）运算能力规定：形如关于的两个方程与互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，称之为“共轭系数”．若关于的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”及其解．
24．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下面解方程组的过程．
解方程组
解：原方程组可化为
②－①，得，即．
把代入方程②，得，解得，所以，所以原方程组的解是
以上解方程的方法叫作“消常数项法”．
请用“消常数项法”解下列方程组：
(1)
(2)
25．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便．
解：①-②，得，即．③
，得．④
②－④，得．
把代入③，得．
故原方程组的解是
(1)请用上述方法解方程组：
(2)直接写出关于的二元一次方程组的解．
教学目标
1. 理解解二元一次方程组的核心思路是“消元”，能明确“消元”是将二元问题转化为一元问题的关键桥梁。
2. 熟练掌握代入消元法与加减消元法，能运用这两种方法求解简单的二元一次方程组。
3. 体会“转化”与“消元”的数学思想，提升观察、分析和解决方程组问题的能力。
教学重难点
1.重点
（1）透彻理解“消元”思想是解二元一次方程组的本质，把握其将复杂问题简化的核心逻辑。
（2）扎实掌握代入消元法和加减消元法的具体步骤，并能准确运用它们解方程组。
2.难点
（1）分析方程组特点，灵活选择代入法或加减法进行消元，避免方法使用僵化或不当。
（2）当方程组需先变形（如乘系数）才能消元时，易出现计算错误，难以准确实现消元求解。