初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）4 二元一次方程与一次函数第1课时学案

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）4 二元一次方程与一次函数第1课时学案，共8页。学案主要包含了学法指导，例题导析等内容，欢迎下载使用。

1.体会二元一次方程与一次函数的相互转化关系，理解两者在 “数” 与 “形” 上的对应联系.
2.能从图象角度理解二元一次方程组的解，明确两条直线交点坐标与方程组解的对应关系，发展几何直观能力.
3.掌握利用函数图象解决二元一次方程组的基本方法，体会数形结合和转化的数学思想.
学习重点：二元一次方程与一次函数的关系；二元一次方程组的解与两条一次函数图象交点坐标的对应关系.
学习难点：从 “数” 与 “形” 两个角度理解二元一次方程组与一次函数的内在联系，灵活运用数形结合思想解决问题.
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P128-P129页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
“周末小红去超市买文具，买了钢笔和笔记本共 5 件，设钢笔买了 x 件，笔记本买了 y 件，得到方程 x+y=5.这个方程有多少种正整数解？如果把这些解看作坐标点，在平面直角坐标系中会形成什么图形？”
●探究一：二元一次方程与一次函数的图象关系
◆1.二元一次方程 x+y =5的解有多少个?举例说出其中几个.

◆2.等式x+y=5还可以看成一个一次函数，把它变成y=kx+b的形式是 .
◆3.画出y=－x+5 的图象.
（1）思考1：以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数y=-x+5的图象上吗？
（2）思考2：在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，点的坐标适合方程x+y=5吗？
（3）思考3：以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？
（4）小组讨论：通过以上探究，你认为二元一次方程与一次函数有什么关系？
◆4.总结归纳：
二元一次方程的所有解对应的点组成的图象，就是其对应的一次函数的 ；反之，一次函数图象上所有点的坐标，都是其对应的 的解.
●探究二：二元一次方程组与一次函数的关系
◆1.解方程组x+y=52x-y=1解得
◆2.请在同一直角坐标系内分别画出函数y=－x+5与y=2x－1的图象，找出它们的交点坐标，并比较与上述方程的解有什么联系？


◆3.总结归纳：
二元一次方程组与一次函数图象的关系：
一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的 的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的 的坐标.
●探究二： 二元一次方程组与对应 平行直线的关系
◆1.观察在同一直角坐标系内，一次函数y=x+1和y=x-2的图象有怎样的位置关系？

◆2.方程组y=x+1y=x-2解的情况如何？ .
你发现了什么？
学生活动：独立绘图观察直线位置关系，尝试用代数方法解方程组，小组讨论发现规律.
◆3.总结归纳：
当两个一次函数的 k 值相等（b 值不相等）时，对应的直线 ，方程组无解；反之，若方程组 ，则对应的两条直线平行.
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例1 下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x-3y=6的解的是（ ）
A
B
C
D
例2 用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（ ）
A．y=-x+2y=2x-1 B．y=2x-1y=32x-12 C．y=2x-1y=-32x+52 D．y=-x+2y=32x-12
例3．已知一次函数y1=﹣2x+2与y2=x﹣4．
（1）在同一平面坐标系中，画出它们的图象.
(2)直线y1=-2x+2，y2=x-4与y轴分别交于点A，B，请写出A，B两点的坐标；
(3)根据图象，写出方程组2x+y=2x-y=4的解．
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.从数和形的两个角度来探讨二元一次方程（组）与一次函数的关系；
B.交流例题的解题思路和易错点，并总结方法.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.

1.若点(2,3)在一次函数y=2x-1的图象上，则方程2x-y=1的一组解为 .
2．若二元一次方程组x+y=52x+y=8的解为x=3y=2，则函数y=5-x与 y=-2x+8 的图象的交点坐标为 .
3.方程组x+y=2x+y=5有 个解；
4.方程组3x-y=72x-y=5 有 个解；
5.利用一次函数的图象解二元一次方程组&3x-y=4&2x-3y=-2.
6、直线m:3x+3y=12与x轴交于点A ，与y轴交于点B，直线n:ax+by=-5与x轴交于点C-53,0 ，与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1 ．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)直接写出方程组&3x+3y=12&ax+by=-5 的解；
(3)求a，b的值；
(4)求△PAC的面积．
题型一： 利用一次函数的图象解二元一次方程（组）
1.在下列图象中，直线上每个点的坐标都适合二元一次方程2x﹣y＝2的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组x+y=3-mx+y=n的解为（ ）
A．x=1y=3B．x=3y=1C．x=1y=2D．x=1y=1
3．如图，直线y=kx+b与y=mx+n的图象交于2,-1，则关于x，y的方程组kx+b-1=ymx+n-1=y的解为（ ）
A．x=2y=0B．x=2y=-1C．x=2y=-2D．x=1y=0
4．如图，一次函数y=34x+92的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组y=34x+92y=kx+b的解是（ ）
A．x=-2y=3B．x=-2y=2C．x=3y=-2D．x=2y=-2
5．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（m，4），则关于x，y的二元一次方程组kx-y=-by-x=2的解是（ ）
A．x=1.8y=4B．x=2y=4
C．x=2.4y=4D．x=3y=4
题型二 求两直线的交点坐标
6．已知方程组-3x+y+3=03x+2y-6=0的解是x=43y=1，则直线y＝3x﹣3与y=-32x+3的交点坐标为 ．
7．已知k、m为常数，且km≠0，若关于x、y的二元一次方程组y=kx+2y=mx-4的解为x=2y=4，则y关于x的一次函数y＝k x+2、y＝m x﹣4的交点坐标为 ．
8．已知二元一次方程组ax-y+b=0kx-y=0的解为x=4y=-2，则函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为 ．
9．若方程组2x+y=bx-y=a的解是x=-1y=3，则直线y＝﹣2x+b与直线y＝x﹣a的交点坐标是 ．
10．若已知方程组2x+y=mx-y=n的解是x=-1y=3则直线y＝﹣2x+m与直线y＝x﹣n的交点坐标是 ．
题型三 不解方程组判断方程组解的情况
11．函数y=ax+b与函数y=cx+d的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组y=ax+by=cx+d 有（ ）
A．无数解 B．无解 C．唯一解 D．不能确定
12．若一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象没有交点，则方程组k1x-y+b1=0，k2x-y+b2=0的解的情况是（ ）
A．有无数组解B．有两组解
C．只有一组解D．没有解
13．若方程组y=kx+3，y=(3k+1)x+2无解，则一次函数y＝kx+3的图象不经过第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
14．直线y＝ax+2与直线y＝3x﹣2平行，下列说法不正确的是（ ）
A．a＝3
B．直线y＝ax+2与y＝3x﹣2没有交点
C．方程组y=ax+2y=3x-2无解
D．方程组y=ax+2y=3x-2有无穷多个解
15．（1）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1和y＝x﹣2的图象（如图）有怎样的位置关系？方程组x-y=-1，x-y=2解的情况如何？你发现了什么？
（2）写出一个二元一次方程组，使该方程组无解．
16．已知关于x，y的方程组y=kx+by=(3k-1)x+2
（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；
（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；
（3）当k，b为何值时，方程组无解．
▲1．二元一次方程的所有解对应的点组成的图象，就是其对应的一次函数的 ；反之，一次函数图象上所有点的坐标，都是其对应的 的解.
▲2．一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的 的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的 的坐标.
▲3．当两个一次函数的 k 值相等（b 值不相等）时，对应的直线 ，方程组无解；反之，若方程组 ，则对应的两条直线平行.