第四章 一次函数 - 初中数学八年级上册 单元测试卷（北师大版2024）

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第四章 一次函数（单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1；正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．根据一次函数和正比例函数的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 是正比例函数，是一次函数，不符合题意；B. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意；C. 不是正比例函数，是一次函数，符合题意；D. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意；故选：C．2．若点在直线上，则（    ）A．15B．9C．5D．【答案】C【分析】本题考查了一次函数的性质，将点代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：∵点在直线上，∴，解得：，故选：C．3．已知是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出与的大小关系．【详解】解：∵，∴y随x的增大而减小，又∵是一次函数图象上的两点，且，∴．故选：A．4．如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．观察图象找到当时的值即为本题的答案．【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点，即当时，所以关于的方程的解为，故选：A．5．已知一次函数，则下列说法正确的是（    ）A．当时，随的增大而增大 B．图像必经过点C．当时，图象经过第一、二、四象限 D．当时，【答案】C【分析】本题考查一次函数的性质，掌握知识点是解题的关键．根据一次函数的性质，分析各选项是否符合条件．【详解】解：A．若，则，一次函数，随的增大而增大；当时，不是一次函数，该选项错误．B．∵一次函数，∴，即，将代入，得，解得，与题意矛盾，该选项错误．C． 当时，，且，此时函数图像经过第一、二、四象限，该选项正确．D． 当时，当，即，则；当，即，y随着x增大而减小，即y小于2，即该选项错误．故选C．6．若实数满足，且，则一次函数的图象可能是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了有理数的加法法则，一次函数的图象，由，且，可得，，进而得到一次函数的图象经过一、三、四象限，即可判断求解，由题意判断出的符号是解题的关键．【详解】解：∵，且，∴，，∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故选：．7．已知是的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（   ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，理解一次函数图象上点的坐标满足一次函数的表达式，及“姐妹点”的定义是解决问题的关键．先设直线上的“姐妹点”的坐标是，再根据“姐妹点”定义得，然后将点M代入之中求出m即可得出答案．【详解】解：设直线上的“姐妹点”的坐标是，则，∴，∴，∵点M是直线上的“姐妹点”，，∴，∴点，故答案为：D．8．，两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距（），甲行驶的时间为（），与的关系如图所示，下列说法：①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；②甲出发后被乙追上；③甲比乙晚到；④甲车行驶或，甲，乙两车相距；其中错误的个数为（    ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【分析】本题主要考查了函数的图象，能从函数图象中获取准确信息，利用数形结合思想解答是解题的关键．根据图象可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发，乙出发后追上甲，可得到乙车行驶的速度是，故①正确；故②正确；根据图象可得当乙到达地时，甲乙相距，从而得到甲比乙晚到，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达地时和当乙车到达地后时，可得④不正确．【详解】解：①由图可得，甲车行驶的速度是，∵甲先出发，乙出发后追上甲，∴，∴，即乙车行驶的速度是，故①正确，不符合题意；②∵当时，乙出发，当时，乙追上甲，∴甲出发后被乙追上，故②正确，不符合题意；③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距，∴甲比乙晚到，故③正确，不符合题意；④设甲车行驶，甲，乙两车相距，由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则解得；当乙车到达地后时，，解得，∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④不正确，符合题意；综上所述，错误的个数是1个．故选：B．9．如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于A，B两点，过原点O作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，依此规律作下去，则点的坐标是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】过分别作垂足分别为，根据正方形的判定和性质，坐标的规律，解答即可．本题考查了正方形的判定和性质，一次函数的性质，坐标的规律，准确发现坐标规律是解题的关键．【详解】解：过分别作垂足分别为，一次函数的图象分别与轴、轴交于，，，，可得四边形是正方形，同理可得四边形，四边形也是正方形，点，可求，点，同理，即，……，即，故选：B．10．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段的中点，点P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（   ） A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为，如图．令中，则，点的坐标为；令中，则，解得：，点的坐标为．点、分别为线段、的中点，点，点．点和点关于轴对称，点的坐标为．设直线的解析式为，直线过点，，，解得：，直线的解析式为．令，则，解得：，点的坐标为．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第 象限．【答案】二【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质即可得出答案，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴一次函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二．12．已知函数是关于的一次函数，则 ．【答案】【分析】利用一次函数的定义，即函数形式应为，其中和为常数，且，通过比较给定函数形式与一次函数的标准形式，列出关于的方程，然后求解．本题主要考查了一次函数的定义及其性质，熟练掌握一次函数的定义，即函数形式为（其中和为常数，且），是解题的关键．【详解】解：∵函数是关于的一次函数，∴，，由，可得或，考虑，可得，∴．故答案为：13．晋中市日间出租车价格规定：不超过千米，付车费元，超过的部分按每千米元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，则所付车费（元）与出租车行驶的路程（千米）之间的关系式为 ．【答案】【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，根据题意表述：不超过千米，付车费元，超过的部分按每千米元收费．可表示出与的函数关系．【详解】解：由题意可知，总费用等于2千米以内的费用与超出2千米部分的费用之和，因此可列式，化简后得故答案为：．14．一次函数经过第一象限，和两条坐标轴围成的三角形面积为2，则的值为 ．【答案】2【分析】本题主要考查一次函数的图象性质、截距概念及三角形面积公式的应用，同时需要结合象限的符号特征进行取舍．先表示出一次函数与轴、轴交点坐标，再根据图象信息确定取值范围，最后根据“一次函数两条坐标轴围成的三角形面积为2”，确定的值．【详解】解：当时，，当时，，一次函数与轴的交点为，与轴的交点为一次函数经过第一象限，且一次函数图象与轴、轴交点均在正半轴，即一次函数两条坐标轴围成的三角形面积为2即或（舍）故答案为：2．15．已知一次函数，当时，y的最大值是 ．【答案】【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一次函数的增减性可得y随x的增大而减小，求出时的函数值，即可求解．【详解】解：∵，∴y随x的增大而减小，当时，，∴当时，y的最大值是．故答案为：16．如图，直线分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等，此时点D的坐标为 ．【答案】或【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及全等三角形的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先求出，则为等腰直角三角形，则，可得，则，然后分两种情况讨论，根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：∵直线分别与x轴交于A，点A的坐标为，∴，∴，∴，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，①当时，如图：∴，∴，∴；当时，如图：∴，，∴，∴，综上：点D的坐标为或，故答案为：或．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．若y与成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若点在该函数的图象上，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了正比例函数的定义、求函数解析式、求自变量的值：（1）根据正比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可；（2）把点代入（1）所求解析式中进行求解即可．【详解】（1）解：∵y与成正比例，∴设，    ∵当时，，则，∴，    ∴函数的表达式．（2）解：∵点在函数的图象上，∴，解得：，∴m的值为．18．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距地的路程与各自行驶的时间之间的关系如图所示．(1)两地相距 ， ；(2)求点E的坐标，并写出点E坐标所表示的实际意义；(3)求乙车距B地的路程y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；【答案】(1)540，6(2)；甲、乙出发3h后在距离B地处相遇(3)或【分析】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式．（1）根据图象和题意直接得出结论；（2）先求出甲的速度，再求出乙的速度，然后求出乙的路程，从而求出E点坐标，并说出E的实际意义；（3）根据乙的图象，用待定系数法分段求出函数解析式；【详解】（1）解：由图象可知：两地相距，乙在时与甲相遇，然后乙车立即以原速原路返回到地，∴，故答案为：，；（2）解：由题意知：（），∴（，∴，∴，∴，点E的实际意义为：甲、乙两车出发3小时后在距离B地处相遇；（3）解：当时，图象过原点和E点，∴，把代入得：，解得：，∴，当时，设，把和代入得，，解得：，∴，综上：；19．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)求点A，B的坐标；(2)求的长及点O到直线l的距离；(3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离．【答案】(1)，(2)，(3)12【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．（1）令和时，代入解析式得出坐标即可；（2）利用勾股定理求得，然后利用三角形面积公式即可求得点O到直线l的距离；（3）根据三角形面积公式即可得到结论．【详解】（1）直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将代入，得到：，∴，将代入，得到，解得：，∴；（2）∵，，∴，∴，设点O到直线l的距离为h，则，∴，∴，∴点O到直线l的距离为；；（3）如图，过O作于C，反向延长交于D，将直线l向下平移20个单位长度得到直线，∴直线为，，当时，，解得，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴直线l与之间的距离为12．20．如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小颖用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为，双层部分的长度为，经测量得到如下数据：(1)求出y关于x的函数解析式，并求当时y的值；(2)根据小明的身高和习惯，挎带的长度为时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；(3)设挎带的长度为，求t的取值范围．【答案】(1)，2(2)(3)【分析】（1）根据变量的变化规律写出y关于x的函数解析式，当时，求出对应y的值即可；（2）根据列关于x的一元一次方程并求解即可；（3）根据挎带的长度=单层部分+双层部分长度写出t关于x的函数关系式，当时，求出对应x的值，即x的最大值，从而求出x的取值范围，进而求出t的取值范围即可．【详解】（1）解：根据表格，x增加，y减小，则，关于x的函数解析式为，当时，，当时，的值为2；（2）解：根据题意，得，即，解得，答：此时单层部分的长度是；（3）解：，当时，得，解得，，，的取值范围为．【点睛】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出y关于x的函数解析式、掌握一元一次方程及一元一次不等式的解法是解题的关键．21．已知一次函数（为常数，且）．(1)若，且，两点均在该函数的图象上，试比较，的大小；(2)若时，有最小值，求的值；(3)已知，，若该函数的图象与线段没有公共点，求的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．（1）依据题意，由，则一次函数为，故该函数随的增大而增大，又，两点均在该函数的图象上，且，进而可以判断得解；（2）依据题意，由当时，有最小值，从而可分①当时和②当时，分别进行分析计算可以得解；（3）依据题意，由，可得一次函数必过，然后作出图象进行分析即可判断得解．【详解】（1）解：由题意，，一次函数为，,该函数随的增大而增大．又，两点均在该函数的图象上，且，．（2）解：由题意，当时，有最小值，①当时，当时，取最小值，即．，符合题意．②当时，当时，取最小值，即．，符合题意．综上，或．（3）解：由题意，，．当时，．一次函数必过．作图如下．由题意，当一次函数过时，则，可得；当一次函数过时，则，可得，该函数的图象与线段没有公共点，结合图象可得，或．22．列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗各多少棵？(2)若购进A种树苗a棵，所需总费用为w元．①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；②若购进A种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．【答案】(1)购进A种树苗10棵，购进B种树苗7棵(2)①；②购进A种树苗9棵，B种树苗8棵时费用最省，此时费用为1200元【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，能够根据一次函数的性质得出最省方案是解题的关键．（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗棵，根据“若购进A，B两种树苗刚好用去1220元”列出方程求解即可；（2）①根据所需总费用种树苗的费用种树苗的费用列式可得；②根据“若购进A种树苗的数量不低于9棵”列出不等式，求出x的取值范围，利用一次函数的性质可得x的值，进而可得最省方案．【详解】（1）解：设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗棵，根据题意得：，解得，，答：购进A种树苗10棵，购进B种树苗7棵；（2）①根据题意得：；②，，且a为正整数，，随a的增大而增大，当时，w最小，且最小值为元，此时，答：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵时费用最省，此时费用为1200元．23．如图1，在四边形中，，，一点从点出发沿着的方向以每秒2个单位的速度运动，其中长为10．在运动过程中，的面积与时间的关系如图2所示．(1)直接写出_______，______；(2)求出与的值；(3)在点的整个运动过程中，若设的面积为，请求出与时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．【答案】(1)6，8(2)(3)【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数解析式．（1）根据路程=速度×时间求解即可；（2）根据当点运动到点时，的面积达到最大可求出m的值，根据时间＝路程÷速度可求出n的值；（3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时．【详解】（1）由图象可知，，．故答案为：6，8；（2）当点运动到点时，的面积达到最大，即为的值，根据三角形面积公式有，可得，点从点出发沿运动，，，，∴总路程，，综上所述，；（3）①当时，点在上运动，以为底边，为高，，根据三角形面积公式有，；②当时，点在上运动，，，，，，，； ③当时，点在上运动，，，；综上，与的函数关系式为24．对于平面直角坐标系XOY中的任意两点， ， 我们把叫做A， B两点之间的直角距离，记作．(1)①若点P坐标为 ， 则 ； ②若点在第一象限内，且满足 则 ； ③若点在第一象限内，且满足 求出x与y之间满足的关系式，并在平面直角坐标系内画出符合条件的点Q组成的图形．(2)设M是一定点，N是直线上的动点，我们把的最小值叫做M到直线的直角距离，试求点 到直线的直角距离．【答案】(1)①3②③；图见解析(2)6【分析】本题考查了一次函数的应用，坐标系中点的特征，掌握一次函数是解题的关键．（1）①根据A、B两点之间的直角距离的定义即可直接求解；②根据条件，利用完全平方公式求出；②根据A、B两点之间的直角距离的定义，以及Q在第一象限，则，即可求得函数解析式，从而作出函数的图象；（2）N的横坐标是x，则纵坐标是，即N的坐标是，根据直角距离的定义即可求解，然后根据绝对值的意义即可求解．【详解】（1）解：①，故答案为：3；②∵点在第一象限内，，∴，∴，∴，故答案为：；③，即，又∵在第一象限，∴，∴x与y之间满足的关系式为：，即；（2）解：N的横坐标是x，则纵坐标是，即N的坐标是，则，表示在数轴上到2和两点的距离的和．∴，∴点到直线的直角距离为6．25．如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．(1)求直线的函数解析式；(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．①若的面积为，求点M的坐标；②连接，如图2，若，求点P的坐标．【答案】(1)(2)①或；②或【分析】本题考查一次函数的综合应用．（1）先由求得，。由点与点A关于轴对称可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式即可。（2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可；②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【详解】（1）解：对于，由得：，由得：，解得，∴，，∵点与点A关于轴对称，∴ ，设直线的函数解析式为，则，解得．∴直线的函数解析式为；（2）解：①设，则、，如图1，过点作于点，∴，，∴，解得，∴，或；       ②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称,∴，∴,∵，∴,∵，∴,∴,∴,设，则,，，，，解得．．当点在轴的右侧时，如图3，同理可得，综上，点的坐标为或．      单层部分的长度…46810…双层部分的长度…75747372…