北师大版（2024）八年级上册（2024）2 二元一次方程组的解法第1课时学案设计

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）2 二元一次方程组的解法第1课时学案设计，共8页。学案主要包含了学法指导，例题导析等内容，欢迎下载使用。

1.理解代入消元法的概念，能熟练运用代入消元法解简单的二元一次方程组；掌握代入消元法的基本步骤，能准确求出方程组的解并进行检验.
2.通过参与“绿植栽种问题”的探究过程，经历 “观察—思考—转化—求解” 的数学活动，体会消元思想和化归思想的形成过程；通过典例分析和变式训练，提升分析问题、解决问题的能力，培养逻辑推理能力.
学习重点：掌握代入消元法的定义及核心步骤（变形表示未知数、代入消元求解、代回求另一未知数）；能运用代入消元法正确解出二元一次方程组（含直接代入、先变形再代入两种类型）.
学习难点：理解 “消元思想”和“化归思想” 的本质，明确代入消元法中 “二元化一元” 的方法.
第一环节 自主学习
温故知新：
1.什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？
含有 未知数，并且含有未知数的项的 都是 1 的方程是二元一次方程.
共含有 未知数的 个 所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
2.二元一次方程组的解是指什么？如何验证一组值是否为方程组的解？
二元一次方程的解是使方程 相等的一组未知数的值.
用 的方法判断是否是方程组的解.
3.七年级时我们学过解 “一元一次方程”，核心步骤有哪些？

新知自研：自研课本P115-P116页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
“上节课知道，小明和小颖栽种绿植的问题，列出方程组，其中 x 表示小明栽种的株数，y 表示小颖栽种的株数，那么如何求出 x和y的值呢？这节课我们就一起来学习如何解二元一次方程组.
●探究一：用代入消元法解二元一次方程
◆1.由“小明和小颖栽种绿植的问题”中得到的方程组中x-y=2 x+1=2(y-1)，两个方程的未知数x有什么关系？y 呢？


◆2.你能用其中一个未知数表示另一个未知数吗?

◆3.如何把这个二元一次方程组转化为一元一次方程?


◆4.尝试解这个二元一次方程组x-y=2① x+1=2(y-1)②.
【解答】解：由①得： ③
把③代入②中得：
解得：
把
代入③中得： .
所以原方程组的解为：
◆5.总结归纳：
代入消元法：主要步骤是,将其中一个方程中的某个未知数用含有 的代数式表示出来，并代入另一个方程中,从而 一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法.简称 .
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例 1：解方程组3x+2y=14① x=y+3②
【分析】（1）思考：这个方程组有什么特点？

（2）如何代入？

【解答】第一步：代入消元.
将方程 代入方程 中，得
第二步：求解一元一次方程.
去括号得 ，
合并同类项得 ，
移项得 ，
系数化为1得： ；
第三步：回代求x.
将 代入方程 中，得 ；
所以方程组的解是： 第四步：检验写解（口头检验，说明 “后续解题可在草稿纸检验，无需写出”）.
◆方法总结：当方程组中已有一个方程用一个未知数表示另一个未知数时， 另一个方程即可.
例 2：解方程组2x+3y=16 x+4y=13
【分析】（1）这个方程组和例1 有什么不同？

（2）选择哪个方程、哪个未知数变形更简单？

【解答】第一步：变形表示未知数.由x + 4y = 13，得 （记为方程③）；
第二步：代入消元.将③代入2x + 3y = 16，得 ；
第三步：求解一元一次方程.
去括号得： ，
合并同类项得： ，
移项得： ，
系数化为1： ；
第四步：回代求x.
将 代入③，得 ；
第五步：写出方程组的解 .
◆总结：解二元一次方程组的基本思路：“ ,把二元一次方程组转化 即先消去 ，转化为 ，求解后 求另一个未知数.
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨如何用代入消元法解二元一次方程组；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.

二元一次方程组x-y=4x+y=2 的解是（ ）

A．x=3y=-7 B． x=1y=1 C．x=7y=3 D．x=3y=-1
用代入法解方程组x=2yy-x=3，下列说法正确的是（ ）
A．直接把①代入②，消去 y B．直接把①代入②，消去 x
C．直接把②代入①，消去 y D．直接把②代入①，消去 x
用代入法解方程组2x+y=63x+4y=-4 较简单的方法是（ ）
A．消 y B．消 x
C．消 x 和消 y 一样 D．无法确定
4.已知方程组 y=x-1x+2y=3用代入法消去 y 后的方程是（ ）
A．x＋x﹣1＝3 B．x＋2x﹣1＝3
C．x＋x﹣2＝3 D．x＋2(x﹣1)＝3
5.解方程组y=x+2①4x+3y=13②
6.解方程组2x+3y=16①4x+y=13②
题型一：代入消元法
1．用代入法解二元一次方程组4x+5y=33x-y=7时，最好的变式是（ ）
A．x=3-5y4B．y=3-4x5C．x=y+73D．y＝3x﹣7
2．解方程组y=2x-1①4x-3y=12②时，把①代入②，得（ ）
A．4（2x﹣1）﹣3y＝12B．4x﹣（2x﹣1）＝12
C．4x﹣3×2x﹣1＝12D．4x﹣3（2x﹣1）＝12
3．在解方程组y=2x-3①3x-2y=8②时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
A．3x﹣2x﹣3＝8B．3x﹣2x﹣6＝8C．3x﹣4x﹣3＝8D．3x﹣4x+6＝8
4．用代入法解方程组2x+3y=8①3x-5y=5②有以下过程，其中错误的一步是（ ）
A．由①得x=8-3y2③
B．把③代入②得3×8-3y2-5y＝5
C．去分母得24﹣9y﹣10y＝5
D．解得y＝1，再由③得x＝2.5
5．用代入法解方程组2x+4y=7，x-3y=8时，最好是先把 变形为 ，再代入方程 ，求出 的值，然后再求出 的值，最后写方程组的解．
题型二：代入法解二元一次方程组
6．用代入法解下列方程组：
（1）x=1-y2x=-1-3y
（2）2x+3y=4x+12y=0
7．用代入法解下列方程组：
（1）2x+4y=5①x=1-y②；
（2）2x-3y=3①x+2y=-2②．
8．用代入法解下列方程组：
（1）4x-2y=53x-4y=15；
（2）5(x+y)-2x=03x-10(x+y)=2．
9．用代入法解下列方程组：
（1）x-y=12x+3y=-8； （2）3x-4y=12x+y=8．
10．用代入法解下列方程组：
（1）3x-2y=6①2x+3y=17②； （2）4x-5y=3①3x-2y=1②．
题型三 用整体代入法解二元一次方程组
11．阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3，①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代换“的解法：
解：将方程②变形，得4x+10y+y＝5，
即2（2x+5y）+y＝5．③
把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1．
把y＝﹣1代入①，得x＝4．
∴原方程组的解为x=4，y=-1．
请你解决以下问题：模仿小军的“整体代换”法解方程组3x-2y=3，①9x-4y=19②
12．阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代入”的解法如下：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为x=4y=-1；
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组3x+2y-2=03x+2y+15-x=-25．
13．阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③
把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝4，
∴方程组的解为x=4y=-1．
请你根据以上方法解决下列问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组3x-2y=5①9x-4y=19②；
（2）已知x，y满足方程组4x2-2xy=7①2x2+xy=6②，求xy的值．
▲1．解二元一次方程组的基本思路：“ ”,把二元一次方程组转化 .
▲2．代入消元法：主要步骤是,将其中一个方程中的某个未知数用含有 的代数式表示出来，并代入另一个方程中,从而 一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法.简称 .