数学北师大版（2024）第五章 二元一次方程组1 认识二元一次方程组精品随堂练习题

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知识点01 二元一次方程的概念
二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程.
【即学即练1】下列各式是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
知识点02 二元一次方程组的概念
1.将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组.
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个.
2.判断二元一次方程组的方法： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①方程组中是否一共有两个未知数; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②含未知数的项的次数是否都是1; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③是否含有多个方程组成.
【即学即练2】下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
知识点03 二元一次方程的解
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）
【即学即练3】下列哪组数是方程的解（ ）
A．B．C．D．
知识点04 二元一次方程组的解
1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解.
2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解.
注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解.
【即学即练4】已知下面三对数值：；；．
(1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？
(2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？
(3)二元一次方程组的解是什么？
题型01 判断是否是二元一次方程
【典例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（24-25八年级上·江西抚州·期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C．D．
【变式2】（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）下列等式中是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，二元一次方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型02 根据二元一次方程的定义求字母的值
【典例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值是（ ）
A．1B．2C．D．
【变式1】（25-26八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ．
【变式2】若方程是关于x，y的二元一次方程，则 ．
【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程是二元一次方程，则 ．
题型03 判断是否是二元一次方程的解
【典例3】下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列各对数是二元一次方程的解的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】方程的解不可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】下列二元一次方程组的解是的是（ ）
A．B．
C．D．
题型04 二元一次方程的解代入求值
【典例3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于的方程的一个解，则的值为 ．
【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知是二元一次方程的一个解，则 ．
【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若是方程的一个解，求的值．
题型05 二元一次方程的整数解
【典例5】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）写出二元一次方程的一个整数解 ．
【变式1】（24-25七年级下·四川宜宾·期中）二元一次方程的正整数解共有（ ）组．
A．4B．3C．2D．1
【变式2】（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3】（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知二元一次方程．
(1)直接写出它所有的正整数解；
(2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为．
题型06 判断是否是二元一次方程组
【典例6】下列方程组，其中是二元一次方程组的有 （填序号）
①② ③ ④．
【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（25-26八年级上·四川内江·开学考试）下列方程组为二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（ ）
① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型07 判断是否是二元一次方程组的解
【典例7】下列方程中，解为的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】解为 的方程组可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
题型08 根据二元一次方程组的解求字母的值
【典例8】（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（ ）
A．3B．C．5D．
【变式1】已知与都是方程的解，则 ， ．
【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
【变式3】小亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和■，则●是 ．
题型09 根据实际问题列二元一次方程
【典例9】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）“方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是 ．
【变式1】某果园计划种植梨树和苹果树共1000株，实际上梨树种植量比计划增长10%，而苹果树种植量比计划减少5%．若设实际种植梨树x株，苹果树y株，列二元一次方程为 ．
【变式2】在“幻方拓晨课程”探索中，小明在如图方格中填入了一表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线的上的三个数之和都相等，用含x的代数式表示y为 ．
【变式3】（2024·贵州黔南·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为人，玉石价格为钱，则可列关于，的方程为（ ）
A．B．C．D．

一、单选题
1．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）下列四个方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）下列各对数值中是方程的解的是（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（ ）
A．B．3C．9D．11
4．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）有下列方程组：①②③④其中二元一次方程组有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）南宁至北海全长206千米，一辆小汽车和一辆客车同时从南宁、北海两地相向开出，经过1小时10分钟相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶30千米．设小汽车和客车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时，则下列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）已知方程是二元一次方程，则的值为（ ）
A．B．2C．D．3
7．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．是二元一次方程组
B．方程的解只有
C．方程的解必是方程组的解
D．由方程组可得出与之间关系是
二、填空题
8．（24-25七年级下·全国·期中）如果是二元一次方程，则＝ ．
9．（25-26七年级上·全国·课后作业）在①②③中， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程组的解．（填序号）
10．（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：个和尚分个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组：
．
11．（24-25八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，若第一象限的点满足，且均为整数，则满足条件的点有 个．
12．（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为 ．
13．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知是方程的解，则代数式的值为 ．
14．（25-26八年级上·全国·课后作业）方程组的解是，其中的值被墨渍盖住了，则的值为 ．
三、解答题
15．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程组：
(1)将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼中放4只，则有1只鸡无笼可放；若每个笼中放5只，则有1个笼无鸡可放．有多少只鸡？有多少个笼？
(2)某企业去年国内、国外销售总收入为1000万元，因金融风暴，今年的总收入比去年的总收入降低了10%，其国内销售收入降低了5%，国外销售收入降低了15%．去年国内和国外销售收入分别为多少元？
16．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由．
17．（25-26七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由．
18．（2025八年级上·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（ ）
A． B．
C． D．
下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由．
解：因为2025是关于的二元一次方程，
所以．
解得．故选A．
19．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程（k为常数）．
(1)当，时，求k的值；
(2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解．
20．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知都是实数，设点，且满足，我们称点为“梦之点”．
(1)判断点是否为“梦之点”；
(2)若点是“梦之点”，请判断点在第几象限，并说明理由．
21．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为．
(1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______．
(2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值．
22．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为．
(1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________．
(2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程；
(3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值．
23．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习） “格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”． 例如：如图1，计算 ，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用46的每位数字乘71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加， 得3266．
(1)如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，写出：_____
(2)如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，试推算m，n满足的数量关系；
(3)如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，求出k的值．
教学目标
1. 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，能判断一组数是否为方程组的解。
2. 能从简单实际问题中提取两个等量关系，列出二元一次方程组，体会其建模作用。
3. 感知“消元”的基本思想，为后续求解方程组奠定基础，培养数学应用意识。
教学重难点
1.重点
（1）掌握二元一次方程和二元一次方程组的核心概念，明确方程组的解需同时满足所有方程。
（2）能根据实际问题中的数量关系，准确列出二元一次方程组。
2.难点
（1）区分二元一次方程“无数组解”与方程组“公共解”的差异，理解解的本质特性。
（2）从实际问题中精准抽象出两个独立的等量关系，并转化为对应的二元一次方程。
3
x
y
4
y-1
y-x+4
3
x-y+4
x
x+y-4
y
x-1
4