初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）3 二次根式精品第1课时课后测评

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知识点01 二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数.
【即学即练1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了二次根式的识别，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案．
【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意；
B、是二次根式，符合题意；
C、当时，不是二次根式，不符合题意；
D、不是二次根式，不符合题意；
故选：B．
【即学即练2】下列各式一定属于二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求二次根式的值
【分析】本题考查二次根式的识别，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【详解】解：A、因为，则不是二次根式，不符合题意；
B、当时，不是二次根式，不符合题意；
C、因为，故是二次根式，符合题意；
D、当时，则，不是二次根式，不符合题意；
故选：C．
知识点02 二次根式有无意义的条件
1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即；
2.二次根式无意义：被开方数为负数，即；
【即学即练1】要使二次根式有意义，则的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】：8（答案不唯一）
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
∴的值可以是8．
故答案为：8（答案不唯一）．
【即学即练2】若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握列不等式、解不等式．
根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故答案为： ．
【即学即练3】如果，那么 ．
【答案】2
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，解题的关键是掌握这些知识点．
根据二次根式有意义的条件得，解得，则把代入进行计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为2．
知识点03 二次根式的性质
1.二次根式（）的非负性
（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．
2.二次根式的性质：（）
3.二次根式的性质：
【即学即练】已知，化简 ．
【答案】
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
知识点04 二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广:
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：
【即学即练】设，计算下列各式：
(1) (2) (3) (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法
【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可；
（2）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可；
（3）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可；
（4）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：，
；
（4）解：，
．
知识点05 二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广：.
【即学即练】计算：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【知识点】二次根式的除法
【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键；
（1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（3）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（4）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
（6）解：
题型01 判断二次根式
【典例1】下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，若被开方数为负数，则不属于二次根式，据此依次判断即可.
【详解】解：选项A：，被开方数，不符合题意；
选项B：，无论取何值，，故， 不符合题意；
选项C：，被开方数为（，故），符合题意；
选项D：，被开方数， 不符合题意.
故选：C.
【变式1】给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可．
【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义．
②：被开方数为，无意义，不是二次根式．
③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式．
④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式．
⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式．
故选B．
【变式2】下列各式中，是二次根式有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可．
【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式．
②：被开方数，无意义，不是二次根式．
③：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式．
④：被开方数为，当，即时才有意义．但题目未限定的范围，无法保证被开方数非负，故不是二次根式．
⑤：无论取何值，，被开方数恒正，是二次根式．
⑥：分母，被开方数恒正，是二次根式．
综上，符合条件的有①⑤⑥，共3个，
故选B．
题型02 根据二次根式有意义条件求范围
【典例2】使二次根式有意义的的值为 （写出一个符合题意的值即可）．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零是解此题的关键．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：要使二次根式有意义，
则，
∴使二次根式有意义的的值可以为1（答案不唯一），
故答案为：1（答案不唯一）．
【变式1】若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．
直接根据二次根式有意义的条件作答即可．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，
即，
故答案为：．
【变式2】已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的加减法，结合已知条件求得的值是解题的关键．利用二次根式有意义的条件求得的值，然后求得的值，将其代入原式计算即可．
【详解】解：已知，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
题型03 二次根式的乘法
【典例3】计算：
(1)；
(2)；
(3)4；
(4)3．
【答案】(1)
(2)64
(3)
(4)
【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可；
（2）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可；
（3）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可；
（4）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【变式1】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)7
(4)30
【分析】本题主要考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式即可．
（1）二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式；
（2）二次根式的乘法则计算即可；
（3）二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式；
（4）二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式；
【详解】（1）

；
（2）

；
（3）



＝；
（4）
＝6
＝6
＝6
＝30．
【变式2】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)（，）．
【答案】(1)5
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的乘法运算法则计算即可；
（2）利用二次根式的乘法运算法则计算即可；
（3）利用二次根式的乘法运算法则计算即可；
（4）利用二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
题型04 二次根式的除法
【典例4】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的除法法则可解决问题．
（2）根据二次根式的除法法则可解决问题．
【详解】（1）
（2）
【变式1】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
【变式2】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)2
(3)
(4)
【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关键．
题型05 二次根式的乘除混合运算
【典例5】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，
（1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解；
（2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【变式1】计算：
(1)．
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式2】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)3y
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算．
（1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解；
（2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解；
（3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解；
（4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解．
【详解】（1）解：



；
（2）解：
；
（3）解：

；
（4）解：
•
•

．
题型06 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
【典例6】当时，化简 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质即可得出答案．
【详解】解：当时，，
故答案为：．
【变式1】已知，化简 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式性质和绝对值化简．根据二次根式性质和绝对值意义化简计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：1．
【变式2】当时， ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了化简二次根式和化简绝对值，把原式变形为，再根据化简绝对值和二次根式即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：2．
题型07 含隐含条件的参数范围化简二次根式
【典例7】化简结果为（ ）
A．B．C．2abD．
【答案】A
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键；利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：；
故选：A．
【变式1】化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件确定，再根据二次根式的性质进行化简即可．掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是正确化简的前提．
【详解】解：由于二次根式有意义，
所以，
所以，
故选：B．
【变式2】化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再运用二次根式的性质进行化简．
先根据被开方数非负确定的正负，再利用二次根式的性质对原式进行化简．
【详解】因为二次根式有意义，则，
所以．
则．
答案选B．
题型08 复杂的复合二次根式化简
【典例8】形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有．
例如：化简．
解：，这里，，由于，
∴．
请仿照上例解下列问题：
(1)填空：________，________，________；
(2)化简：（请写出计算过程）；
(3)化简：
【答案】(1)；；
(2)
(3)
【知识点】复合二次根式的化简、二次根式的加减运算、分母有理化
【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键：
（1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可；
（2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可；
（3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可．
【详解】（1）解：；
；
；
（2）解：，
∴，，，
∴；
（3）原式
．
【变式1】有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以．
尝试化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简
【分析】（1）根据完全平方公式得出进而求出即可；
（2）根据完全平方公式得出进而求出即可．
此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键．
【详解】（1）；
（2）解：．
【变式2】阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简．
例如：化简：．
解：，
．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)化简：．
(2)化简：．
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简、二次根式的乘法、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
（1）仿照例题即可求解；
（2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算；
（3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
而，则
∴
（3）解：
．

一、单选题
1．下列各式是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可．
【详解】解：A、 ，被开方数为负数，无意义，不符合条件；
B、 ，根指数为2且被开方数，符合二次根式定义；
C、，，则，被开方数为负数，不符合条件；
D、，根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式条件；
故选：B．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即大于或等于0，解不等式即可确定m的取值范围．
【详解】解：要使二次根式在实数范围内有意义，则，
解得，
故选：C．
3．当时，二次根式的值是（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的求值，将代入所求二次根式，再求解即可．
【详解】解：当时，二次根式，
故选：A．
4．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算．
【详解】解：
故选：B
5．将化简后的结果正确的答案是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，
根据二次根式的性质，被开方数必须非负，确定a的取值范围，再对原式进行化简．
【详解】解：∵有意义，
∴，故．
∴
故选A．
6．已知a、b为有理数，且满足，则等于（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为．
先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：D．
二、填空题
7．在二次根式中，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的意义，只有被开方数是非负数时才有意义，根据这个列出不等式，解出即可．
【详解】解：是二次根式，
，
解得，
故答案为：．
8．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
9．若是一个整数，则正整数m的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键．得出是一个平方数，进而求解即可．
【详解】解：∵是一个整数，
∴是一个平方数，
∴的最小值是3．
故答案为：3．
10．已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
11．已知和是实数，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和代数式求值，掌握二次根式有意义的条件是做题的关键．根据二次根式的定义，得到且，解不等式得到x的值；把代入求得y的值；然后将x、y的值代入计算得到答案．
【详解】解：根据题意，得且，
∴．
把代入
∴．
∴．
故答案为：．
12．若，则化简的结果是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键．
根据二次根式的乘法法则成立的条件得出且，即可求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：若，
则且，
解得，
∴


，
故答案为：5．
三、解答题
13．计算：；
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：
．
14．计算：．
【答案】．
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可．
【详解】解：
．
15．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质进行化简，然后再根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：

；
（2）解：
．
16．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；
．
【类比归纳】
(1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________．
(2)请运用小明的方法化简．
【答案】(1)3；
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意．
（1）将4看成是，则，由此求解即可；
（2）将7看成是，则，由此求解即可．
【详解】（1）解：
，
∴；
∴；
（2）解：
．
17．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），
则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
(2)若，且、、均为正整数，求的值；
(3)化简：．
【答案】(1)，
(2)的值为或
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键．
（1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、；
（2）在（1）的基础上，求出，，根据，，均为整数，分两种情况求出，；
（3）设，两边平方并结合题意计算得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，(，，，均为整数），
，，
故答案为：，；
（2）解：，
，(，，均为整数），
，，
，
①，，，
②，，，
综上所述：或；
（3）解：设，
则
，
∴原式．
18．阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；．解答下列问题：
(1)与______互为有理化因式，将分母有理化得______；
(2)①比较大小：______（填，，，或中的一种）
②计算下列式子的值：
③已知正整数a、b满足，求a，b的值．
【答案】(1)，；
(2)①；②；③，
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，以及分母有理化，理解有理化因式，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
（1）根据有理化因式的额定义和分母有理化求解即可；
（2）①根据有理化因式得到，，即可比较大小；
②仿照题意根据分母有理化的方法得到，再把所求式子裂项求解即可；
③先分母有理化，再合并同类二次根式，得到，，即可求解．
【详解】（1）解：与互为有理化因式，
，
故答案为：，；
（2）解：①，，
，，
，
，
，
故答案为：；
②
，
；
③
，
，
，
，
，，
．
教学目标
1. 了解二次根式的概念及性质，明晰二次根式根号下数的取值范围 。
2. 掌握二次根式乘除运算法则（根号下仅限于数），并能运用法则进行简单乘除运算。
3. 学会将二次根式化简为最简二次根式，体会从特殊到一般的数学研究方法。
教学重难点
1.重点
（1）理解并掌握二次根式的乘法法则（a×b=ab，a≥0，b≥0）和除法法则（ab=ab ，a≥0 ，b>0 ）。
（2）能够熟练运用二次根式乘除法则，对简单的二次根式进行乘除运算 。
2.难点
（1）理解二次根式乘除与积、商的算术平方根之间的关系，准确进行公式的正向、反向运用 。
（2） 在复杂运算中，灵活运用二次根式乘除运算法则及运算律，正确进行计算并化简结果 。