北师大版（2024）八年级上册（2024）2 平方根与立方根精品第2课时同步测试题

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知识点01 平方根
（1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”,
（2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”,
（3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。
【即学即练1】用式子表示“9的平方根等于”正确的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练2】下列说法正确的是（ ）
A．是16的平方根B．0没有平方根
C．25的平方根是5D．
【即学即练3】求下列各数的平方根：
(1)81； (2)； (3)1.69； (4)； (5)； (6)
题型01 平方根概念理解
【典例1】下列哪个数没有平方根（ ）
A．B．C．0D．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是B．的平方根是
C．负数有个平方根D．正数只有个平方根
【变式2】下列说法中，正确的是（ ）
A．的平方根是B．的算术平方根是
C．0的平方根与算术平方根都是0D．带根号的数都是无理数
题型02 求一个数的平方根
【典例2】的平方根是 ．
【变式1】化简：＝ ．
【变式2】16的平方根是 ；2的算术平方根是 ．
题型03 已知一个数的平方根，求这个数
【典例3】已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ．
【变式1】一个数的两个平方根分别是与，则这个数是 ．
【变式2】若和是某正数m的两个平方根，则这个正数m为 ．
题型04 求代数式的平方根
【典例4】若a是的整数部分，b是的小数部分．则的平方根是 ．
【变式1】若|，则的平方根为 ．
【变式2】已知实数x，y满足，则的平方根为 ．
题型05 利用平方根解方程
【典例5】求下列各式中的值．
(1)；
(2)．
【变式1】求x的值：
【变式2】解方程：．
题型06 算术平方根与平方根综合问题
【典例6】已知的平方根是，的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【变式1】已知的平方根为，的算术平方根为．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【变式2】已知一个正数的两个平方根分别是和．
(1)求和的值；
(2)若，求的算术平方根．
题型07 平方根的实际应用
【典例7】如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形．
(1)大正方形的边长为 ；
(2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为？
【变式1】数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：
(1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________；
(2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm；
(3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由．
【变式2】观察正方形方格，每个小正方形的边长均是1．
(1)如图1，求阴影正方形的面积和边长；
(2)图2是的正方形方格，请在图2中画出长为的线段，并说明理由．

一、单选题
1．下列各数没有平方根的是（ ）
A．B．0C．7D．16
2．下列式子能正确表示并计算“4的平方根”的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列说法：
①是5的一个平方根；
②的算术平方根是－3；
③的平方根是；
④0的平方根是0．
其中错误说法的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（ ）
A．B．5C．D．25
5．已知，则的平方根是（ ）
A．B．1C．2025D．
二、填空题
6．的平方根是 ．
7．若m与是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为
8．小马同学在解方程时，等号左边的一个数字不小心被墨水污染了，如右式：．已知一个根，则另一个根 ．
9．若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ．
10．物体从静止状态自由下落的高度h（单位：m）与所需时间t（单位：s）满足公式：（g为重力加速度，取g的值为）．现有两个物体分别从离地面和处，同时由静止自由落到地面，则它们落到地面时间相差 s．
三、解答题
11．求下列各数的平方根及算术平方根：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
12．求下列x的值：
13．已知实数，，满足：，求：
(1)，，的值．
(2)的平方根．
14．已知．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
15．（1）已知一个正数的平方根分别是和，求这个正数．
（2）利用平方根求中的值：
16．已知的平方根是是最大的负整数．
(1)求与的值；
(2)求的算术平方根．
17．如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为．
(1)求的长；
(2)求出苗圃所用篱笆总长．
18．在学习了平方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确．
解：这个数的算术平方根为．平方根为．
或．①
（i）当时，解得，，，∴这个数为16；②
（ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③
综上所述，这个数为16或4．
(1)①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________；
(2)已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数．
教学目标
1. 理解概念：掌握平方根和算术平方根的概念，明确二者区别与联系，知道平方与开平方互为逆运算。
2. 运算能力：能够准确求出一个非负数的平方根及算术平方根 ，熟练运用相关知识进行开方运算。
3. 思想方法：通过探究平方根相关内容，渗透分类讨论、数形结合思想，提升数学探究和归纳表达能力。
教学重难点
1.重点
（1）概念理解：准确理解平方根的定义和性质，能清晰判断一个数是否存在平方根以及平方根的个数
（2）运算掌握：熟练掌握求正数和0的平方根的方法，能够快速、准确地进行平方根的运算。
2.难点
（1）性质理解：深入理解一个正数的两个平方根互为相反数这一性质，克服对其抽象性的理解困难。
（2）运算规律：掌握平方根的运算规律，包括加减乘除等运算，通过大量练习，让学生熟练运用，避免混淆出错。