初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.1.2 线段的垂直平分线优秀第1课时练习题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.1.2 线段的垂直平分线优秀第1课时练习题

知识点01 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的定义：
过线段的 中点 且与线段 垂直 的直线是这条线段的垂直平分线。如图，若点C是AB的中点且MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质：
①线段垂直平分线 垂直且平分 线段。如图：∠PCA＝∠PCB＝ 90°， AC ＝ BC。
②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。即PA ＝ PB。所以△PAB是等腰三角形。
在Rt△PAC与Rt△PBC中

∴Rt△PAC≌Rt△PBC
∴∠A ＝ ∠B；∠APC ＝ ∠BPC。
【即学即练1】
1．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（ ）
A．13B．17C．18D．21
【答案】A
【解答】解：∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，AC＝8，BC＝5，
∴AE＝BE，
∴C△BCE＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝8+5＝13．
故选：A．
【即学即练2】
2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D，连接BD，若△ABC的周长为28cm，△BCD的周长为24cm，则AE的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．9cmD．10cm
【答案】A
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，AE＝BE，
∵△ABC的周长28cm，
∴AB+AC+BC＝28cm，
∵△BCD的周长24cm，
∴BD+BC+CD＝AD+BC+CD＝AC+BC＝24cm，
∴AB＝28﹣24＝4cm，
∴AE=12AB=2cm，
故选：A．
【即学即练3】
3．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝140°，则∠EAF的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝140°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝40°，
∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，
∴∠BAE+∠FAC＝40°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝100°，
故选：B．
知识点02 线段的垂直平分线的判定
线段垂直平分线的判定
方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。
方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的 垂直平分线 上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。
注意：证明线段的垂直的平分线必须证明两个点到线段的端点距离相等。若只证明一个点，则只能说明在个点在垂直平分线上，不能得到垂直平分线。
【即学即练1】
4．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：在△AOB与△COD中，
∠A=∠COA=OC∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
【即学即练2】
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝40°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【答案】（1）66°；
（2）见解析．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝40°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=12∠BAC＝20°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣20°＝70°．
（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
在△AED和△ACD中，
∠AED=∠ACB∠DAE=∠DACAD=AD，
∴△AED≌△ACD（AAS），
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，AD平分线段EC，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
知识点03 互逆命题与互逆定理
互逆命题的定义：
如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题。
互逆定理的定义：
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。
注意：命题有真有假，定理一定时真命题；每一个命题都有逆命题，但是不一定所有的定理都有逆定理；原命题的真假与逆命题的真假没有关系；互逆的两个定理一定都是真命题。
【即学即练1】
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等
C．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
D．两直线平行，同位角相等
【答案】D
【解答】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题为“三个角分别相等的三角形全等”，逆命题是假命题；
B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等的逆命题为“两个有理数的平方相等，这两个有理数也相等”，逆命题是假命题；
C、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等的逆命题是“两个角相等，这两个角是对顶角”，逆命题是假命题；
D、两直线平行，同位角相等的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，逆命题是真命题；
故选：D．
【即学即练2】
7．命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直．
（1）请写出该命题的逆命题；
（2）判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明；如果是假命题，请举反例画图说明．
【答案】（1）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线平行；
（2）已知、求证和证明见解析，
【解答】解：（1）逆命题：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线平行；
（2）（1）中的命题是真命题，
已知：如图，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，EG⊥FG，
求证：AB∥CD，
证明：∵EG⊥FG，
∴∠G＝90°，
∴∠EFG+∠FEG＝180°﹣90°＝90°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，
∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG，
∴∠BEF+∠EFD＝2（∠EFG+∠FEG）＝180°，
∴AB∥CD．
题型01 利用垂直平分线的性质求线段
【典例1】如图，在△ABC中，点D在BC边上，2∠B＝∠DAC，CE⊥AD，若AE＝DE＝2，AC＝6，则BC的长为（ ）
A．10B．53C．8D．82
【答案】A
【解答】解：∵AE＝DE＝2，CE⊥AD，
∴AD＝4，CE是AD的垂直平分线，
∴CD＝AC＝6，
∴∠CDA＝∠DAC，
∵2∠B＝∠DAC，
∴2∠B＝∠CDA，
∵∠CDA＝∠B+∠DAB，
∴∠B＝∠DAB，
∴DB＝DA＝4，
∴BC＝DB+DC＝4+6＝10，
故选：A．
【变式1】如图，直线DE是△BAC的边AB的垂直平分线，已知AC＝5cm，△ADC的周长为18cm，则BC的长为（ ）
A．4cmB．10cmC．12cmD．13cm
【答案】D
【解答】解：∵直线DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
由条件可知AC+CD+DA＝18cm，
∴AC+CD+DB＝18cm，
∵AC＝5cm，
∴BC＝13cm，
故选：D．
【变式2】如图．△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD．若CD：DB＝3：5，求CD的长（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【答案】B
【解答】解：∵CD：DB＝3：5，
∴设CD＝3x cm，DB＝5x cm，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝DB＝5x，
∵AC＝AD+DB＝16cm，
∴3x+5x＝16，
解得x＝2，
∴CD＝6cm，
故选：B．
【变式3】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝10cm，且△ABD的周长为45cm，则△ABC的周长为（ ）
A．55cmB．60cmC．65cmD．70cm
【答案】C
【解答】解：由条件可知DA＝DC，AE＝CE＝10cm，
∴AC＝2AE＝20cm，
∴AB+BD+DA＝AB+BC＝45cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝65cm，
故选：C．
【变式4】如图，已知△ABC的周长是37cm，且AB＝12cm，AC＝9cm，AB的垂直平分线与AB、BC分别交于点E、D，AC的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，且点D在点F的左侧，则△ADF的周长是（ ）
A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm
【答案】A
【解答】解：∵△ABC的周长是37cm，且AB＝12cm，AC＝9cm，
∴BC＝16cm，
∵DE，FG分别垂直平分AB，AC，
∴AD＝BD，AF＝CF，
∴△ADF的周长＝AD+DF+AF＝BD+DF+CF＝BC＝16cm，
故选：A．
题型02 利用垂直平分线的性质求角
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E．则∠CAD＝（ ）
A．45°B．30°C．20°D．25°
【答案】B
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，
∴∠BAC＝2∠CAD，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠CAD+2∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝30°．
故选：B．
【变式1】如图，在△ABC中，∠APC＝114°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为（ ）
A．48°B．52°C．62°D．66°
【答案】A
【解答】解：∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴AM＝PM，PN＝CN，
∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN，
∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，
∴∠BMN＝2∠MPA，∠BNM＝2∠CPN，
又∵∠APC＝114°，
∴∠BMN+∠BNM＝2（∠MPA+∠CPN）＝2（180°﹣∠APC）＝132°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝48°，
故选：A．
【变式2】如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（ ）
A．104°B．106°C．117°D．136°
【答案】C
【解答】解：由条件可知∠BMN+∠BNM＝180°﹣54°＝126°，
∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴MA＝MP，NP＝NC，
∴∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP，
∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA＝2∠MPA，∠BNM＝∠NCP+∠NPC＝2∠NPC，
∴∠MPA+∠NPC=12∠BMN+12∠BNM=12×126°＝63°，
∴∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC）＝180°﹣63°＝117°．
故选：C．
【变式3】如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N，且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
A．90°B．100°C．105°D．110°
【答案】B
【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，
∵∠DAE＝20°，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC＝180°﹣20°＝160°，
∴2∠BAD+2∠EAC＝160°，
∴∠BAD+∠CAE＝80°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝80°+20°＝100°．
故选：B．
题型03 线段垂直平分线的判定
【典例1】如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三边的垂直平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
【答案】C
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是△ABC三边的垂直平分线的交点，
故选：C．
【变式1】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵D是BC的中点
∴BD＝CD，
又∵BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE＝DF，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵BE＝CF，
∴AB﹣BE＝AC﹣CF，
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，
∴AD垂直平分EF．
【变式2】如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF．证明：AD垂直平分EF．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
DE=DFAD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，AE＝AF，
∴AD垂直平分EF．
【变式3】如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点P，连接PB，PC．
（1）判断点P是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）20°．
【解答】解：（1）点P在BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接AP，
∵l1是AB边的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴PA＝PC，
∴PB＝PC，
∴点P在BC的垂直平分线上；
（2）∵∠BAC＝100°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣100°＝80°，
∵l1是AB边的垂直平分线，l2是AC边的垂直平分线，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠BAD+∠EAC＝80°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝100°﹣80°＝20°，
∴∠DAE的度数为20°．
题型04 判断逆命题及其真假
【典例1】下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．如果两个角都是直角，那么这两个角相等
C．对顶角相等
D．相等的角是内错角
【答案】A
【解答】解：A、命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题为“如果a＝b，那么a2＝b2”，是真命题；
B、“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么两个角都是直角”，是假命题；
C、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，是假命题；
D、“相等的角是内错角”的逆命题为“如果两个角是内错角，那么它们相等”，是假命题；
故选：A．
【变式1】下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果a＞b，那么ac＞bcB．如果a＝b＝0，那么ab＝0
C．如果a＞b，那么a2＞b2D．如果|a|＝|b|，那么a＝b
【答案】D
【解答】解：A．逆命题为：如果ac＞bc，那么a＞b是假命题，不符合题意；
B．逆命题为：如果ab＝0，那么a＝b＝0是假命题，不符合题意；
C．逆命题为：如果a2＞b2，那么a＞b是假命题，不符合题意；
D．逆命题为：如果a＝b，那么|a|＝|b|是真命题，符合题意．
故选：D．
【变式2】下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果两个角是直角，那么它们相等
B．若a2＞b2，则a＞b
C．两直线平行，内错角相等
D．对顶角相等
【答案】C
【解答】解：如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，
故命题的逆命题为假命题，不符合题意；
若a2＞b2，则a＞b的逆命题为：若a＞b，则a2＞b2；﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，
故命题的逆命题为假命题，不符合题意；
两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；
故命题的逆命题为真命题，符合题意；
对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，
故命题的逆命题为假命题，不符合题意；
故选：C．
【变式3】下面四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等，其中逆命题是真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：利用平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质逐项分析判断如下：
①对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
②同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，正确，为真命题，符合题意；
③全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意；
④如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等的逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误，为假命题，不符合题意；
真命题有1个，
故选：A．
题型05 命题的证明
【典例1】“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形 ，请证明这个逆命题是真命题．
已知： ∠A+∠B＝90° ；
求证： △ABC是直角三角形 ．
【答案】如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；∠A+∠B＝90°；△ABC是直角三角形．
【解答】解：“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形．
已知：∠A+∠B＝90°，
求证：△ABC是直角三角形；
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
∵∠A+∠B＝90°，
∴90°+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
故答案为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；∠A+∠B＝90°；△ABC是直角三角形．
【变式1】【问题提出】
如图，通过拼摆两个含30°角的全等的三角尺，发现两个三角尺恰好可以拼成一个等边三角形，从而得出猜想：在直角三角形中，若一个锐角为30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．
通过实验提出猜想后，如何通过几何推理严格证明该性质？
【思路启迪】
从逻辑推理的角度思考：如何通过添加辅助线将含30°的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，从而将边角关系转化为已知定理？
已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：BC=12AB．
请在图中添加辅助线，将含30°的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，要求：用两种不同的方法（后续论证方法不同）在图中添加辅助线，并用简短、专业的数学语言描述如何添加辅助线的．
【逻辑论证】在上述图形中，选择其中一种方法，完成证明．
【触类旁通】
以上完成了命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30”，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．反过来思考：它的逆命题是否成立呢？
（1）请补充完整它的逆命题：“在直角三角形中，如果 锐角所对的直角边等于斜边的一半 ，那么 这个锐角等于30° ．”
（2）请判断该逆命题是否成立，并说明你的理由．
【答案】【逻辑论证】：见解析；【触类旁通】：（1）锐角所对的直角边等于斜边的一半，这个锐角等于30°；（2）成立，理由见解析．
【解答】逻辑论证：证明：方法一：延长BC至点D，使得CD＝BC，连接AD，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝BC，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝60°，
∴在Rt△ABC中与Rt△ADC中，
CD=BC∠BCA=∠DCAAC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（SAS），
∴∠B＝∠D＝60°，∠BAC＝∠DAC＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，AB＝BD，
∵BC=12BD，
∴BC=12AB，即在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
方法二：如图所示，分别过点A，B作AE∥BC，BE∥AC，交点为E，连接AB，CE交于点D，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∵CE＝AB，DA＝DC＝DB＝DE，
∴△ACD，△DBC是等腰三角形，则∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°且∠DBC＝60°，
∴△DBC是等边三角形，即BC＝CD＝BD，
∵BD=12AB，
∴.BC=12AB，即在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
触类旁通：解：（1）在直角三角形中，如果锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个锐角等于30°，
故答案为：锐角所对的直角边等于斜边的一半，这个锐角等于30°；
解：（2）该命题成立．理由如下：
设直角三角形ABC，∠C＝90°，BC=12AB，
延长BC至点D，使得CD＝BC，连接AD，
∵AC垂直平分BD，
∴AD＝AB，
∵BC=12ABBC=12BD，
∴AB＝BD＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BAC=12∠BAD=30°，
∴在直角三角形中，如果锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个锐角等于30°．
1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若a＞0，b＞0，则ab＞0
B．三边长为3，4，5的三角形为直角三角形
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．若a＝b，则|a|＝|b|
【答案】C
【解答】解：A、若a＞0，b＞0，则ab＞0的逆命题是若ab＞0，则a＞0，b＞0，是假命题，不符合题意；
B、三边长为3，4，5的三角形为直角三角形的逆命题是直角三角形的三边长为3，4，5，是假命题，不符合题意；
C、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题是角的平分线上的点到角的两边距离相等，是真命题，符合题意；
D、若a＝b，则|a|＝|b|的逆命题是若|a|＝|b|，则a＝b，是假命题，不符合题意；
故选：C．
2．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（ ）
A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥AB
C．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分AB
【答案】C
【解答】解：∵MA＝MB，NA＝NB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线；
∵MA＝MB，MN⊥AB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线；
当MA＝NA，MB＝NB时，直线MN不一定是线段AB的垂直平分线；
∵MA＝MB，MN平分AB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线，
故选：C．
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E是AC的中点，过点E作AC的垂线交BC于F，BD＝DF，连接AF，则有（ ）
A．AB＝BFB．AF＝BFC．BF＝CFD．AB＝CF
【答案】D
【解答】解：∵过点E作AC的垂线交BC于F，点E是AC的中点，
∴FE是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，
∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝DF，
∴AD是BF的垂直平分线，
∴FA＝BA，
∴FA＝BA＝FC，
∴选项A、选项B、选项C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
4．如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（ ）
A．小明说得对
B．小亮说得对，可添条件为“∠A＝∠B”
C．小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D．两人说得都不对
【答案】C
【解答】解：可添条件为PO⊥AB才能说：直线l是AB的垂直平分线，
证明如下：
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA＝PB，PO＝PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴AO＝BO，
∴直线l是AB的垂直平分线，
故选：C．
5．元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点
D．三边上高的交点
【答案】A
【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：A．
6．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（ ）
A．15°B．20°C．10°D．25°
【答案】C
【解答】解：如图所示，连接OA，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴OB＝OA，OC＝OA，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣（∠OBA+∠OCA）＝100°﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，
∴∠OCB＝∠OBC＝10°，
所以∠OBC的度数为10°，
故选：C．
7．如图，△ABC中，作AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AB＝AE，若△ABC周长为16，AC＝6，BD＝1，则AB为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解答】解：∵△ABC周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∵AC＝6，
∴AB+BC＝10，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∵AB＝AE，AD⊥BC，
∴BD＝DE＝1，AB＝CE，
∵AB+2+CE＝10，
∴AB＝4，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，EG，FH分别是边AB，AC的垂直平分线，若AB＝4，AC＝6，△EAF的周长为9，则△ABC的周长为（ ）
A．13B．15C．19D．20
【答案】C
【解答】解：∵EG是边AB的垂直平分线，FH是边AC的垂直平分线，∴BE＝AE，CF＝AF，
∵△EAF的周长为9，
∴BE+EF+CF＝9
∴BC＝AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝9，
∵AB＝4，AC＝6，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝4+6+9＝19，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，下列结论：①∠FDE＝90°；②DF∥AC；③∠B＝∠CAE；④∠EAD＝∠EDA，其中正确的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④
【答案】D
【解答】解：∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，FA＝FD，
∴∠EAD＝∠EDA，④结论正确；
∵FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠CAD，
∴DF∥AC，②结论正确；
∵∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠CAD，∠EDA＝∠B+∠FAD，∠EAD＝∠CAD+∠CAE，
∴∠B＝∠CAE，③结论正确；
∵FD与BE不一定互相垂直，
∴∠FDE＝90°不成立，①结论不正确；
故选：D．
10．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（ ）
A．10B．12C．14D．15
【答案】C
【解答】解：连接DC，如图，
∵AD，CD，AC是△ACD的三条边，
∴AD+DC≥AC，
∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝10，AC＝9，
∴DC＝BD，
∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14，
故选：C．
11．如图，DE是AB的垂直平分线，连结AD，已知△ABC的周长为19，△ADC的周长为13，则BE的长为 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，BE=12AB，
∵△ABC的周长为19，
∴AC+BC+AB＝19，
∵△ADC的周长为13，
∴AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝13，
∴AB＝19﹣13＝6，
∴BE=12AB＝3．
故答案为：3．
12．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠APB的度数为 100° ．
【答案】100°．
【解答】解：∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA＝PC＝PB，
∴∠PAC＝∠PCA＝20°，∠PCB＝∠PBC＝30°，
∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠PCA+∠PCB+∠PAC+∠PBC+∠PAB+∠PBA＝180°，
∴∠PAB+∠PBA＝80°，
∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝100°，
故答案为：100°．
13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A＝75°，∠ACP＝12°，则∠ABP的度数为 31° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵PE是线段BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠PCB，
∴∠ABP+∠ABP+∠ABP+12°+75°＝180°，
解得，∠ABP＝31°，
故答案为：31°．
14．如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝ 44 °．
【答案】44．
【解答】解：如图，连接OA、OC，
∵OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
在△AOB和△COD中，
OA=OCAB=CDOB=OD，
∴△AOB≌△COD（SSS），
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，
∴∠ABO+∠OBD＝116°，∠CDO﹣∠ODB＝28°，
∴∠ABO＝72°，∠OBD＝44°，
故答案为：44．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．若点P恰好运动到AB的垂直平分线上时，t的值为 254或19 ．
【答案】254或19
【解答】解：如图，AB的垂直平分线交AC和AB于P1、P2，
∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC=AB2−BC2=8（cm），
当P运动到P1时，
∵AP1＝t cm，
∴P1C＝（8﹣t）cm，
∵P1P2垂直平分AB，
∴AP1＝BP1，
由勾股定理可得：P1C2+BC2=P1B2，
∴（8﹣t）2+62＝t2，
∴t=254；
当P运动到P2时，
∵P2A＝P2B，
∴t﹣14=102，
∴t＝19，
综上所述：t的值为254或19，
故答案为：254或19．
16．写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个命题是真命题．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：逆命题是：如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是直角三角形．
已知，如图，△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，交AC于E，AD是∠CAB的角平分线，交BC于D，BE和AD相交于O点，且∠EOA＝45°．
求证：△ABC是直角三角形
证明：∵BE是∠ABC的角平分线，AD是∠CAB的角平分线，
∴∠OAB=12∠CAB，∠OBA=12∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA=12（∠CAB+∠CBA），
∴180°﹣∠AOB=12（180°﹣∠C），
∴∠AOB＝90°+12∠C
又∵∠EOA＝45°，
∴∠AOB＝135°＝90°+12∠C，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
17．如图所示，在△ABC中，D是边AB上一点，AD＝AC，过点D作DE∥BC交AC于点E，点F是BC上一点，连接DF，CD，AF，且DC平分∠EDF，求证：AF垂直平分CD．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵DE∥BC（已知），
∴∠CDE＝∠DCF（两直线平行，内错角相等），
∵DC平分∠EDF，
∴∠CDF＝∠CDE=12∠EDF，
∴∠CDF＝∠DCF（等量代换），
∴DF＝CF（等角对等边），
∴点F在线段CD的垂直平分线上，
∵AD＝AC，
∴点A在线段CD的垂直平分线上，
∴AF垂直平分CD．
18．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB长为16cm，求△CMN的周长；
（2）若∠F＝70°，求∠MCN的度数．
【答案】（1）16cm；
（2）40°．
【解答】解：（1）∵DM是线段AC的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∵EN是线段BC的垂直平分线，
∴NC＝NB，
∴△CMN的周长＝MC+MN+NC＝MA+MN+NB＝AB＝16cm；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠FMN+∠FNM＝180°﹣70°＝110°，
∴∠AMD+∠BNE＝180°﹣70°＝110°，
∵MD⊥AC，NE⊥AB，
∴∠A+∠B＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣70°＝110°，
∵MA＝MC，NC＝NB，
∴∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B，
∴∠MCA+∠NCB＝70°，
∴∠MCN＝110°﹣70°＝40°．
19．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点E、D、M分别在AB、BC、AC上，连接ED、DM、EM，点F、N分别在BD、CD上，连接EF、MN．
（1）若EF、MN分别是△BED和△DMC的中线，DF＝2，NC＝8，求BC的长度；
（2）若EF、MN分别垂直平分BD、DC，判断ED与MD是否垂直，并说明理由．
【答案】（1）20；
（2）ED⊥MD，由线段垂直平分线的性质可知，EB＝ED，MD＝MC，
∴∠B＝∠EDB，∠MDC＝∠C，
∴∠A＝90°，
∴∠EDB+∠MDC＝90°，
∴∠EDM＝90°，
∴ED⊥MD．
【解答】解：（1）∵EF、MN分别是△BED和△DMC的中线，
∴BF＝DF，DN＝NC，
∴BC＝BF+DF+DN+NC＝2+2+8+8＝20．
（2）ED⊥MD，理由如下：
由线段垂直平分线的性质可知，EB＝ED，MD＝MC，
∴∠B＝∠EDB，∠MDC＝∠C，
∴∠A＝90°，
∴∠EDB+∠MDC＝90°，
∴∠EDM＝90°，
∴ED⊥MD．
20．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1分别交BC、AB于点D、M，AC的垂直平分线l2分别交BC、AC于点E、N，l1与l2相交于点O．
（1）AD与BD的数量关系为 AD＝BD ；
（2）若△ADE的周长为7，且DE＝1．
①求BC的长；
②连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为11，求OA的长；
③若∠BAC＝α，直接写出∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】（1）AD＝BD；
（2）①BC＝5；②OA＝3；③若0°＜α≤90°时，∠DAE＝180°﹣2α；若90°＜α＜180°时，∠DAE＝2α﹣180°．
【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线l1交BC于点D，
∴AD＝BD，
故答案为：AD＝BD；
（2）①l1，l2是△ABC边AB，AC的垂直平分线，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∵C△ADE＝AD+DE+AE＝7，
∴BD+DE+CE＝7，
∵DE＝1，
∴BD+CE＝6，
∴BC＝BD+CE﹣DE＝6﹣1＝5；
②连接OA，OB，OC，如图所示：
∵l1，l2是△ABC边AB，AC的垂直平分线，l1与l2相交于Sd点O，
∴OA＝OB＝OC，
∵C△OBC＝OB+BC+OC＝11，BC＝5，
∴OB+OC+BC＝2OA+5＝11，
∴OA＝3；
③∵AD＝BD，AE＝EC，
∴∠ABD＝∠BAD，∠ACE＝∠CAE，
∴∠ABD+∠ACE＝∠BAD+∠CAE，
∵∠BAC＝α，
∴∠ABD+∠ACE＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
若0°＜α≤90°时，如图，
则∠DAE＝（∠BAD+∠CAE）﹣∠BAC＝180°﹣2α．
若90°＜α＜180°时，如图，
则∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°，
综上，若0°＜α≤90°时，∠DAE＝180°﹣2α；若90°＜α＜180°时，∠DAE＝2α﹣180°．
教学目标
掌握线段垂直平分线的定义与性质并能够运用其性质解决相关题目。
掌握线段垂直平分线的判定，并能熟练进行相关证明。
掌握逆命题的定义，并能够熟练写出一个命题的逆命题并判断它的真假。
能熟练说出逆定理的题设与结论并给与证明。
教学重难点
重点
线段垂直平分线的性质；
线段垂直平分线的判定；
逆命题真假的判断与逆定理的证明。
2. 难点
（1）线段垂直平分线的性质的应用与判断；
（2）逆定理的证明。
分类
方法一
方法二
画图及描述