初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十五章 轴对称15.1 图形的轴对称15.1.1 轴对称及其性质精品课堂检测

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十五章 轴对称15.1 图形的轴对称15.1.1 轴对称及其性质精品课堂检测

知识点01 轴对称图形
轴对称图形的概念：
若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够 完全重合 ，则这个图形是一个轴对称图形。这条直线叫做轴对称图形的 对称轴 。一个轴对称图形可以有多条对称轴。
常见的几种轴对称图形以及他们的对称轴数量：
角：对称轴所在位置是 角平分线 所在直线，一共有 1 条对称轴。
底和要不相等的等腰三角形：对称轴所在直线是 底边中线 所在的直线，一共有 1 条对称轴。
等边三角形：对称轴所在直线是 任意边中线 所在的直线，一共有 3 条对称轴。
矩形：对称轴所在直线是 经过对边中点 所在的直线，一共有 2 条对称轴。
正方形：对称轴所在直线是 经过对边中点以及对角线 所在的直线，一共有 4 条对称轴。
圆形：对称轴所在直线是 直径 所在的直线，一共有 无数 条对称轴。
【即学即练1】
1．在下列图形：线段，角，等腰三角形，平行四边形，圆中，是轴对称图形的有几个（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解答】解：线段，角，等腰三角形和圆都是轴对称图形，平行四边形不一定是轴对称图形，
故选：C．
【即学即练2】
2．下列四种物理实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：A中的图形是轴对称图形，符合题意；
B、C、D选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：A．
知识点02 轴对称
轴对称的概念：
一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够 完全重合 ，则这两个图形的位置关系成轴对称。这条直线是轴对称的 对称轴 。轴对称只有一条对称轴。
重合的边叫做 对应边 ，重合的角叫做 对应角 。重合的点叫做 对应点 。
注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。
【即学即练1】
观察下图中各组图形，其中成轴对称的为 ①②④ （只写序号1，2等）．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：3中的伞把不对称，故填①②④
故填①②④
知识点03 轴对称与轴对称图形的性质
轴对称与轴对称图形的性质：
①轴对称图形对称轴两旁的部分 全等 ，成轴对称的两个图形 全等 。
②对应边 相等 ，对应角 相等 。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对称轴上。
③对称轴经过任何一组对应点连线的 中点 且与线段 垂直 。我们把对称轴叫做对应点连线的 垂直平分线 。
④对应点的连线之间相互 平行 。
【即学即练1】
4．如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对应点分别是点C，D．下列结论不一定正确的是（ ）
A．AC⊥PQB．AC∥BDC．CO＝CDD．△ABO≌△CDO
【答案】C
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称，
∴△ABO≌△CDO，AC⊥PQ，PQ⊥BD，
∴AC∥BD，
故A、B、D选项正确，
CO不一定等于CD，故C选项不一定正确，
故选：C．
【即学即练2】
5．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，连接AC，点B1在CD边上，连接AB1，△ABC 与△AB1C关于直线AC对称，若∠ABC＝115°，则∠DAB1的度数为（ ）
A．25°B．35°C．30°D．45°
【答案】A
【解答】∵△ABC 与△AB1C关于直线AC对称，
∴∠AB1C＝∠ABC＝115°，
∵∠AB1C是△AB1D的外角，
∴∠DAB1＝∠AB1C﹣∠D＝25°．
故选：A．
【即学即练3】
6．如图，D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝7，AC＝3，BC＝6，则△BDE的周长是（ ）
A．16B．14C．12D．10
【答案】D
【解答】解：由题知，
因为点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，
所以AD＝ED，EC＝AC＝3．
因为BC＝6，
所以BE＝6﹣3＝3，
所以△BDE的周长为：BD+DE+BE＝BD+AD+BE＝AB+BE＝7+3＝10．
故选：D．
【即学即练4】
7．如图是一个经过改造的台球桌面示意图（该图由相同的小正方形组成，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入 1 号球袋．
【答案】1．
【解答】解：如图，
该球最后将落入1号球袋．
故答案为：1．
题型01 轴对称及其轴对称图形的判断
【典例1】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：B，C，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而A选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合．
故选：A．
【变式1】将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：由题意可得，
展开后的图形呈轴对称，
故选：C．
【变式2】把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
（1）F，R，P，J，L，G，（ ）
（2）H，I，O，（ ）
（3）N，S，（ ）
（4）B，C，K，E，（ ）
（5）V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，DB．D，M，Q，Z，XC．Z，X，M，D，QD．Q，X，Z，D，M
【答案】D
【解答】解：（1）不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q，Z；
（2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；
（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；
（4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；
（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．
故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．
故选：D．
【典例2】下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：A、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意；
B、选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，符合题意；
C、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意；
D、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【变式1】中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：
A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【变式2】下列体育运动图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意，
选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
题型02 轴对称及其轴对称图形性质熟悉
【典例1】如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D、下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BCB．PQ⊥ACC．△ABO≌△CDOD．AB＝CD
【答案】A
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称，
∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD，
∴AC∥BD，
故B、C、D选项正确，
AD不一定垂直BC，故A选项不一定正确，
故选：A．
【变式1】如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝A′C′B．BO＝B′OC．AA′⊥MND．AB∥B′C′
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故A、B、C选项正确，
AB∥B′C′不一定成立，故D选项错误，
所以，不一定正确的是D．
故选：D．
【变式2】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（ ）
A．△AA′P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA′，CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等
D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确；
当AB∥A'B'∥MN时，AB与A'B'没有交点．D错误；
故选：D．
【变式3】小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断正确的是（ ）
①OB⊥OD；
②∠BOC≠∠AOB；
③OE＝OF；
④∠BOC+∠AOD＝180°
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【解答】解：∵OE⊥OF，
∴∠BOE+∠BOF＝90°，
由对称得∠AOB＝∠DOC，
∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，△OAB与△ODC都是等腰三角形，OE⊥OF，
∴∠BOC=12∠AOB，∠DOF=12∠DOC，
∴∠BOF+∠DOF＝90°，
∴OB⊥OD，结论①正确；
∠BOC不一定等于∠AOB，结论②错误；
由对称得△OAB≌△ODC，
∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴OE＝OF，结论③正确；
过O作GM⊥OH，
∴∠GOD+∠DOH＝90°，
∵∠BOH+∠DOH＝90°，
∴∠GOD＝∠BOH，
根据对称得∠BOH＝∠COH，
∴∠GOD＝∠COH，
同理可证∠AOM＝∠BOH，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠AOM+∠DOG＝180°，结论④正确，
所以推断正确的是①③④．
故选：C．
题型03 利用性质求角度
【典例1】如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（ ）
A．90°B．85°C．95°D．105°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°．
故选：C．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点C与点B关于DE成轴对称，连接BE，已知∠ABE＝3∠EBD，则∠C的度数是（ ）
A．30°B．20°C．18°D．16°
【答案】C
【解答】解：∵点C与点B关于DE成轴对称，
∴∠EBD＝∠C，
又∵∠A＝90°，∠ABE＝3∠EBD，
∴∠ABC+∠C＝90°，∠ABC＝∠ABE+∠EBD＝4∠EBD＝4∠C，
∴4∠C+∠C＝90°，
解得∠C＝18°，
故选：C．
【变式2】如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平使A与A'重合，若∠A＝35°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．70°B．75°C．105°D．35°
【答案】A
【解答】解：由折叠可知，
∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE．
∵∠1+∠A′DA＝180°，∠2+∠A′EA＝180°，
∴∠ADE=180°−∠12，∠AED=180°−∠22．
又∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，
∴180°−∠12+180°−∠22+∠A＝180°，
则∠1+∠2＝2∠A＝70°．
故选：A．
【变式3】小明在数学课堂折纸活动中，将一张长方形纸片ABCD沿着EF翻折，点A，D的对应点分别为A′，D′，A′D′与CD交于点G，再将△ED′G沿着CD边翻折，点D′的对应点落在长方形ABCD的内部点H处，若EH平分∠CEF，则∠A′FB的度数为（ ）
A．36°B．40°C．42°D．44°
【答案】A
【解答】解：由题知，
令∠GEH的度数为x，
因为EH平分∠CEF，
所以∠GEF＝2∠GEH＝2x．
由翻折可知，∠D′EG＝∠GEH＝x，
所以∠D′EF＝3x，
则∠DEF＝∠D′EF＝3x．
由∠DEF+∠GEF＝180°得，
3x+2x＝180°，
解得x＝36°，
所以∠GEF＝2x＝72°．
因为AB∥CD，
所以∠AFE＝∠GEF＝72°．
由翻折可知，∠AFA′＝2∠AFE＝144°，
所以∠A′FB＝180°﹣∠AFA′＝36°．
故选：A．
题型04 利用性质求线段
【典例1】△ABC经过轴对称变换得到△A′B′C′，若△ABC的周长为20cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则A′C′的长为（ ）
A．5cmB．8cmC．7cmD．20cm
【答案】C
【解答】解：若△ABC的周长为20cm，AB＝5cm，BC＝8cm，易得AC＝7cm；
△ABC经过轴对称变换得到△A′B′C′，即△ABC≌△A′B′C′，
故A′C′＝AC＝7cm．
故选：C．
【变式1】如图，点D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD的对称点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝9，AC＝4，BC＝10，则△BDE的周长是（ ）
A．13B．15C．17D．18
【答案】B
【解答】解：∵点A关于直线CD的对称点E恰好在线段BC上，连接DE，AC＝4，
∴AD＝DE，CE＝AC＝4，
∵BC＝10，
∴BE＝BC﹣CE＝6，
∵AB＝9，
∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝AB+BE＝9+6＝15．
故选：B．
【变式2】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7cm，AC＝9cm，BC＝12cm，则△DBE的周长为 10 cm．
【答案】10．
【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，
∴AD＝DE，AC＝CE＝9cm，
∵AB＝7cm，AC＝9cm，BC＝12cm，
∴△DBE的周长＝BD+DE+BE
＝BD+AD+BC﹣AC
＝AB+BC﹣AC
＝7+12﹣9
＝10（cm）．
故答案为：10．
【变式3】如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【答案】C
【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，
∵△PMN的周长是5cm，
∴P1P2＝5cm．
故选：C．
题型05 轴对称的性质—桌球反弹规律
【典例1】如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
【答案】A
【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
所以球最后将落入的球袋是1号袋，
故选：A．
【变式1】如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】D
【解答】解：
可以瞄准点D击球．
故选：D．
【变式2】如图，在长方形ABCD中，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与长方形的边碰撞次数为2025次时，则它与AB边的碰撞次数是 675 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图建立平面直角坐标系，
每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2025÷6＝337…3，
当点P第2025次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（6，4），
∴碰撞次数是：337×2+1＝675（次），
故答案为：675．
【变式3】一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是 3 次．
【答案】3．
【解答】解：利用轴对称画出图形可知球的运动路线如图：
∴经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是3次；
故答案为：3．
【变式4】如图，台球运动中母球P击中桌边上的点A，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点B，再次反弹后击中球C．（提示：∠1＝∠2，∠3＝∠4）
（1）若∠1＝32°，求∠PAB的度数；
（2）已知∠2+∠3＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由．
【答案】（1）∠PAB＝116°；
（2）PA∥BC．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝32°，∠1+∠PAB+∠2＝180°，
∴∠PAB＝180°﹣32°×2＝116°；
（2）PA∥BC，理由：
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝90°，而∠1+∠2+∠PAB＝180°＝∠3+∠4+∠ABC，
∴∠1+∠2+∠PAB+∠3+∠4+∠ABC＝180°×2＝360°，
∴∠PAB+∠ABC＝360°﹣90°×2＝180°，
∴PA∥BC．
1．下列字母中，属于轴对称图形的有（ ）
①A；②C；③G；④N．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：①字母A：沿竖直中线对折，左右部分完全重合，是轴对称图形．
②字母C：沿水平中线对折，上下部分完全重合，是轴对称图形．
③字母G：其右侧有横向延伸结构，上下不对称，不是轴对称图形．
④字母N：由斜线连接两竖线，沿任何直线对折均无法重合，不是轴对称图形．
故选：B．
2．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合．
故选：C．
3．如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论中不一定正确的是（ ）
A．AD∥BEB．∠ABC＝∠DEFC．AB＝DFD．AD⊥MN
【答案】C
【解答】解：A．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得AD⊥MN，BE⊥MN，所以AD∥BE，故本选项正确；
B．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得△ABC≌△DEF，所以∠ABC＝∠DEF，故本选项正确；
C．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得AB＝DE，AB与DF不相等，故本选项不一定正确；
D．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得AD⊥MN，故本选项正确；
故选：C．
4．如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．15B．7.5C．6D．4.5
【答案】B
【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称，
∴B、C关于直线AD对称，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵△ABC的面积是：12×BC×AD=12×6×5＝15，
∴图中阴影部分的面积是12S△ABC＝7.5．
故选：B．
5．如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，l交CC′于点D，若AB＝4，B′C′＝2，CD＝0.5，则五边形ABCC′B′的周长为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【解答】解：由条件可知AB＝AB′，BC＝B′C′，DC＝DC′，
∵AB＝4，B′C′＝2，CD＝0.5，
∴AB′＝4，BC＝2，DC′＝0.5，
∴五边形ABCC′B′的周长为：4+2+0.5+0.5+2+4＝13．
故选：C．
6．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（ ）
A．∠1与∠3互余B．∠2＝90°
C．AE平分∠BEFD．∠1与∠AEC互补
【答案】C
【解答】解：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠3＝∠FEC，
∵∠1+∠AEB+∠3+∠FEC＝180°，
∴2（∠1+∠3）＝180°，
即∠1+∠3＝90°，故A不符合题意；
∴∠2＝90°，故B不符合题意，C符合题意；
∵∠1+∠AEC＝180°，
∴∠1与∠AEC互补，
故D不符合题意．
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线DE是△ABD的对称轴，点D到点B的距离为25cm，点D到直线AC的距离是8cm，△ACD的周长为53cm，则点A到直线BC的距离是（ ）
A．25cmB．21cmC．20cmD．8cm
【答案】C
【解答】解：由题知，
因为直线DE是△ABD的对称轴，且点D到点B的距离为25cm，
所以AD＝DB＝25cm．
又因为∠ACB＝90°，点D到直线AC的距离是8cm，
所以CD＝8cm．
因为△ACD的周长为53cm，
所以AC＝53﹣25﹣8＝20（cm），
即点A到直线BC的距离是20cm．
故选：C．
8．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以45°角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（ ）次．
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解答】解：根据图形可得总共反射了7次．
故选：B．
9．如图，∠AOB＝40°，点M在∠AOB内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，连接OM1，OM2，则∠M1OM2＝（ ）
A．80°B．70°C．60°D．无法确定
【答案】A
【解答】解：连接OM，如图所示，
∵点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，
∴∠MOA＝∠M1OA，∠MOB＝∠M2OB，
∴∠M1OA+∠M2OB＝∠MOA+∠MOB＝∠AOB＝40°，
∴∠M1OM2＝∠M1OA+∠M2OB+∠AOB＝40°+40°＝80°，
故选：A．
10．折纸起源于中国，不仅是一种手工技艺，更是承载历史记忆与文化密码的载体．如图，四边形ABCD为一张长方形纸片，点E、F分别为AB、CD边上一点，小南将这张纸片ABCD沿EF折叠，使点B、C分别落在点M、N的位置，BC的对应边MN与CD交于点G，若∠BEF＝α，则∠FGN的度数为（ ）
A．12αB．90°−12αC．12α−90°D．2α﹣90°
【答案】D
【解答】解：延长NM，交AB于点P，如图所示：
由题意得，DC∥AB，∠MEF＝α，∠NME＝90°，
∴∠PEM＝180°﹣2α，
∴∠EPM＝90°﹣∠PEM＝90°﹣（180°﹣2α）＝2α﹣90°，
∴∠FGN＝∠EPM＝2α﹣90°，
故选：D．
11．正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有 4 种．
【答案】4．
【解答】解：如图所示：
，
共4种，
故答案为：4．
12．如图，在△ABC中，BC＝8cm，E是边AB上的一点，△ACE是轴对称图形，ED所在直线是它的对称轴．若△BCE的周长为18cm，则AB＝ 10 cm．
【答案】10．
【解答】解：∵△ACE是轴对称图形，直线ED是它的对称轴，
∴AE＝CE
∴AE+BE＝CE+BE，
∵△BCE的周长等于18cm，BC＝8cm，
∴AE+BE＝CE+BE＝10（cm），
∴AB＝10cm．
故答案为：10．
13．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，若A′D∥BC，且∠B﹣∠A＝20°，则∠AED的度数为 100° ．
【答案】100°．
【解答】解：将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，则∠ADE=12∠ADF，
∵A′D∥BC，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠B﹣∠A＝20°，
∴∠B＝∠A+20°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣（∠A+20°）﹣∠A＝160°﹣2∠A，
∴∠ADE=12∠ADF=12∠C＝80°﹣∠A，
∴∠DEF＝∠A+∠ADE＝∠A+80°﹣∠A＝80°，
∴∠AED＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100°．
14．如图，在△ABC中，将∠B和∠C按如图所示方式折叠，点B，C均落于边BC上一点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝100°，则∠MGE＝ 100° ．
【答案】100°．
【解答】解：∵∠A＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝80°，
由折叠的性质得：∠MGN＝∠B，∠EGF＝∠C，
∴∠MGN+∠EGF＝∠B+∠C＝80°，
∴∠MGE＝180°﹣（∠MGN+∠EGF）＝100°．
故答案为：100°．
15．如图，在直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝4，AC＝5，动点M在线段AC上运动（不与端点重合），点M关于边AD，DC的对称点分别为E、F，连接EF，点D在EF上，则在点M的运动过程中，线段EF长度的最小值是 245 ．
【答案】245．
【解答】解：如图：过D作DM1⊥AC于M1，连接DM，
∴S△ADC=12AD⋅CD=12AC⋅DM1
∴DM1=AD⋅CDAC=125，
由对称性质可知DE＝DM＝DF，
∴EF＝2DM，
线段EF长度最小即是DM长度最小，此时DM⊥AC，即M与M1重合，EF最小值为2DM1=245．
故答案为：245．
16．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝78°，∠F＝48°．
（1）若点B到直线l的距离为4，则B，E两点间的距离为 8 ；
（2）求∠E的度数．
【答案】（1）8；
（2）54°．
【解答】解：（1）如图，连接BE，BE与l交于G，
∵△ABC与△DEF关于直线l对称，点B到直线l的距离为4，
∴BG＝EG＝4．
∴B，E两点间的距离＝4+4＝8，
故答案为：8；
（2）∵△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝78°，∠F＝48°，
∴∠D＝∠A＝78°，
∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠F＝180°﹣78°﹣48°＝54°．
17．一个台球桌的桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向点D．如果PQ∥RS，AB，BC，CD都是直线，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于RS．
（1）求证BN平行CM？
（2）球经过两次反弹后所滚的路径CD是否平行于原来的路径AB？
【答案】（1）见解答；
（2）球经过两次反弹后所滚的路径CD平行于原来的路径AB．
【解答】解：（1）延长BN交RS于点K，
∵BN⊥PQ，
∴∠PBK＝90°，
∵PQ∥RS，
∴∠BNK＝∠PBK＝90°，
∵CM⊥RS，
∴∠MCR＝90°，
∴∠BNK＝∠MCR＝90，
∴BN∥CM；
（2）球经过两次反弹后所滚的路径CD平行于原来的路径AB，理由如下：
由（1）可知BN∥CM，
∴∠CBN＝∠BCM，
∵BN平分∠ABC，CM的平分∠BCD，
∴∠ABC＝2∠CBN，∠BCD＝2∠BCM，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴CD∥AB．
18．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝6cm．
（1）求△OEF的周长；
（2）连接PM，PN．若∠APB＝α，求∠MPN．（用含α的代数式表示）
【答案】（1）6cm；
（2）2α．
【解答】解：（1）∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，
∴EM＝EO，FN＝FO，
∴C△OEF＝OE+OF+EF＝EM+FN+EF＝MN．
又∵MN＝6cm，
∴C△OEF＝6cm．
（2）连接OP，
∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，
∴PA垂直平分MO，PB垂直平分ON，
∴∠MPA＝∠OPA，∠NPF＝∠OPB，
∴∠MPN＝2∠OPA+2∠OPB＝2∠APB＝2α．
19．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°．
（1）求出BF的长度；
（2）求∠CAD的度数；
（3）连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm，
∴BC＝ED＝4cm，
∴BF＝BC﹣FC＝3cm．
（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，
∴∠EAD＝∠BAC＝76°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°．
（3）结论：直线MN垂直平分线段EC．理由如下：如图，
∵E，C关于直线MN对称，
∴直线MN垂直平分线段EC．
20．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连接AD、BC．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）如图2，若∠ABC＝68°，点G是线段BC上一点，点C与点C′关于DG对称，连接DC′并延长，与直线BC交于E点．
①如图3，在射线EB上存在点F，连接DF，使∠EFD＝∠EDF，则∠FDG＝ 34° ；
②如图4，在射线EC上存在点F，连接DF，使∠CFD＝∠EDF，则∠FDG＝ 56° ．
（3）如图5，若∠ABC＝α（0＜α＜90），点G在BC延长线上，点C与点C′关于直线DG对称，连接DC′并延长，与直线BC交于E点．若在直线BC上存在点F，连接DF，使∠EFD＝∠EDF，请直接写出∠FDG的度数（用α表示）．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）①34°；②56°；
（3）α2或90°−α2．
【解答】（1）证明：连接AC，如图1所示：
由平移的性质得：AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
在△BAC和△DCA中，
AB=CD∠BAC=∠DCAAC=CA，
∴△BAC≌△DCA（SAS），
∴∠B＝∠D；
（2）∵∠ABC＝68°，
由（1）可知：∠ABC＝∠ADC＝68°，
∵△BAC≌△DCA，
∴∠BCA＝∠DAC，
∴AD∥BC，
∵点C与点C'关于DG对称，
∴设∠CDG＝∠C'DG＝θ，
∴∠CDE＝∠CDG+∠C'DG＝2θ，
①解：设∠EFD＝∠EDF＝β，
∴∠FDG＝∠C'DG+∠EDF＝θ+β，
∴AD∥BC，
∴∠ADF＝∠EFD＝β，
∴∠ADE＝∠ADF+∠EDF＝2β，
∴∠ADC＝∠CDE+∠ADE＝2θ+2β＝68°，
∴θ+β＝34°，
∴∠FDG＝θ+β＝34°，
故答案为：34°；
②设∠CDF＝β，
∴∠EDF＝∠CDE+∠CDF＝2θ+β，
∠ADF＝∠ADC+∠CDF＝68°+β，
∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝θ+β，
∵∠CFD＝∠EDF，
∴∠CFD＝2θ+β，
∵AD∥BC，
∴∠ADF+∠CFD＝180°，
∴68°+β+2θ+β＝180°，
∴θ+β＝56°，
∴∠FDG＝θ+β＝56°，
故答案为：56°；
（3）∵∠ABC＝α（0＜α＜90），
∴∠ABC＝∠ADC＝α，
∵点C与点C'关于直线DG对称，
∴设∠CDG＝∠C'DG＝θ，
∴∠CDE＝∠CDG+∠C'DG＝2θ，
依题意有以下三种情况：
①当点F在点G的左侧时，如图5①所示：
设∠CDF＝β，
∴∠ADF＝∠ADC﹣∠CDF＝α﹣β，
∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝θ+β，
∠EDF＝∠CDE+∠CDF＝2θ+β，
∵AD∥BC，
∴∠EFD＝∠ADF＝α﹣β，
∵∠EFD＝∠EDF，
∴α﹣β＝2θ+β，
∴θ+β=α2，
∴∠FDG＝θ+β=α2；
②当点F在点C右侧且在点G左侧时，如图5②所示：
设∠CDF＝β，
∴∠ADF＝∠ADC+∠CDF＝α+β，
∠FDG＝∠CDG﹣∠CDF＝θ﹣β，
∠EDF＝∠CDE﹣∠CDF＝2θ﹣β，
∵AD∥BC，
∴∠EFD＝∠ADF＝α+β，
∵∠EFD＝∠EDF，
∴α+β＝2θ﹣β，
∴θ﹣β=α2，
∴∠FDG＝θ﹣β=α2；
③当点F在点G右侧时，如图5③所示：
设∠EFD＝∠EDF＝β，
∴∠ADF＝ADC+∠CDE+∠EDF＝α+2θ+β，
∠FDG＝∠C'DG+∠EDF＝θ+β，
∵AD∥BC，
∴∠ADF+∠EFD＝180°，
∴α+2θ+β+β＝180°，
∴θ+β=90°−α2，
∴∠FDG＝θ+β=90°−α2，
综上所述：∠FDG的度数为α2或90°−α2．
教学目标
1. 掌握轴对称与轴对称图形的概念，并能够熟练的判断两种图形。
2. 掌握轴对称图形与轴对称的性质，并能够熟练的应用其解决相关问题。
教学重难点
重点
（1）轴对称及其轴对称图形的概念；
（2）轴对称及其轴对称图形的性质。
2. 难点
（1）利用轴对称及其轴对称图形的性质求角的度数；
（2）利用轴对称及其轴对称图形的性质求线段的长；
（3）桌球反弹规律题。