人教版（2024）八年级上册（2024）15.1.2 线段的垂直平分线精品课件ppt

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）15.1.2 线段的垂直平分线精品课件ppt，共29页。PPT课件主要包含了数学建模，先探究某点到一边，证明该点特殊位置，解决实际问题，都重合都分别相等，几何表达，有PAPB，∴PA＝PB，∴BDCD，AB+AC等内容，欢迎下载使用。
1. 探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. (重点)2. 能运用线段的垂直平分线的性质及判定解题. (难点)
某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
在△ABC 中，如何找到一点 P 使得它到三角形三个顶点距离相等？
操作探究：如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2， P3，···是 l 上的点，分别量一量点 P1，P2，P3，···到点 A 与点 B 的距离.
探究点一：线段的垂直平分线的性质
问题1：观察量得的数据，你有什么发现？
问题2：如果把问题 1 中的线段 AB 沿直线 l 对折，线段 P1A 与 P1B、线段 P2 A 与 P2 B、线段 P3 A 与P3B ······都重合吗？它们都分别相等吗？
P1 A＝P1 B，P2 A＝P2 B，P3 A＝P3 B.
【知识要点】线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_____.
如果 l⊥AB，AC = CB，
那么对 l 上任意一点 P，
问题3：上面的性质，可以利用判定两个三角形全等的方法进行证明．请你完成下面的证明.
证明： ∵ l ⊥ AB，
∴ ∠PCA ＝ ∠PCB.
又 AC ＝CB ，PC ＝PC ，
∴ △PCA≌△PCB(SAS).
如图，直线 l⊥AB ，垂足为 C ，AC ＝CB ，点 P 在 l 上．求证 PA ＝PB.
例1 如图，在△ABC 中，边 BC 的垂直平分线 DE交 AB 于点 D ，连接 DC ，若 AB = 3.7 ，AC = 2.3 ，则△ADC 的周长是______.
解 ∵ DE 是 BC 的垂直平分线，
而 C△ADC = AD + CD + AC，
∴C△ADC = AD + BD + AC
= 3.7 + 2.3
思考：在前面的探究中，我们得知线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．反过来，与线段两个端点距离相等的点，是否一定在这条线 段的垂直平分线上呢？
探究：如图，PA ＝PB. 点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
探究点二：线段的垂直平分线的判定
问题1：过点 P 的直线有无数条，如果我们要说明 点 P 在 AB 的垂直平分线上，我们可以先选定一条 怎样的直线进行说明？怎样说明？
可以先过点 P 作一条与 AB 垂直的直线，再说明这 条直线平分线段 AB.如图，先过点 P 作 PC⊥AB，垂 足为 C ，再说明 AC ＝BC.
问题2：如图，已知点 P 是线段 AB 外一点连接 PA、PB，PA = PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
证明：过点 P 作 AB 的垂线 PC，垂足为点 C．
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
∴ Rt△PCA≌Rt△PCB(HL)．
PA = PB，PC = PC，
在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中，
则∠PCA =∠PCB = 90°．
线段垂直平分线的判定：与线段两个端点的距离_____的点在这条线段的___________上.
直线 l 可看成与两点 A、B 的距离相等的所有点的集合.
∵ PA = PB，∴点 P 在 AB 的垂直平分线上.
例2 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？证一证.
解：连接 AB、BC、CA，食堂应该建在线段 AB、BC、CA 的垂直平分线的交点上，理由如下：
∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线 MN 上，∴ PA = PB.同理，PB = PC.∴ PA = PB = PC.
三角形任意两边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.
讨论：关于探究点一和探究点二中的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？回忆我们学过的知识，能说出其他具有类似关系的命题吗？
探究点三：原命题和逆命题
这两个命题的题设和结论正好相反，类似关系的命题有角平分线的性质和判定.
探究一：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
探究二：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
两个命题的题设和结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
思考：如果原命题成立，它的逆命题一定成立吗？
不一定，原命题和逆命题是否成立没有直接关系.
例2 判断下列命题及其逆命题是否成立.（1）对顶角相等.（2）内错角相等，两直线平行.（3）若 a > b ，则 | a | > | b |.
总结：一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理. 这两个定理叫作互逆定理.其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
原命题成立，逆命题成立
原命题成立，逆命题不成立
原命题不成立，逆命题不成立
1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，若EC＝2，则ED的长为(　　)A．1 B．1.5 C．2 D．无法确定
A.19B.20 C.21D.22
2．如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC＝8，CD＝5，则BD的长为(　　)A．5 B．4 C．3 D．2
4．合肥期中如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DM分别交BC，AB于点D，M，边AC的垂直平分线EN分别交BC，AC于点E，N，已知△ADE的周长为8 cm，则BC的长为________．
6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P，Q，R分别在AB，BC，AC上，且PB＝QC，QB＝RC.求证：点Q在线段PR的垂直平分线上．
7. 风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．小淇制作了一个风筝，风筝的骨架示意图如图所示，其中AB＝AC，∠BAD＝∠CAD.求证：AD垂直平分BC.
若a＋1>b＋1，则a>b
8．无锡中考请写出命题“若a＞b，则a＋1＞b＋1”的逆命题：________________________．
9.下列命题的逆命题是真命题的是( )
10.下列定理中，有逆定理的是( )
A.同角的余角相等B.互为相反数的两个数的绝对值相等C.直角三角形的两锐角互余D.全等三角形的对应角相等
A．AC，BC两边高线的交点处B．AC，BC两边中线的交点处C．AC，BC两边垂直平分线的交点处D．∠A，∠B的平分线的交点处