初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.1.2 线段的垂直平分线完美版课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.1.2 线段的垂直平分线完美版课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了探究新知，都重合都分别相等，······，＜AB＜5等内容，欢迎下载使用。
轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质. 我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系.
如图，直线 l 垂直平分线段 AB，点 P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点 P1，P2，P3，… 与点 A 的距离和这些点与点 B 的距离，你有什么发现？
【点击打开几何画板文件】
1.线段的垂直平分线的性质
P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······
如果把线段 AB 沿直线 l 对折，线段 P1A 与 P1B，P2A 与 P2B，P3A 与 P3B··· 都重合吗？它们都分别相等吗？
猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
已知：
一个点在一条线段的垂直平分线上.
这个点到这条线段两个端点的距离相等.
如图，直线 l ⊥ AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上. 求证：PA = PB.
证明：当点 P 与点 C 不重合时，∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB . 又 AC = BC，PC = PC，∴△PCA ≌△PCB (SAS). ∴ PA = PB.
当点 P 与点 C 重合时，显然成立
几何语言：∵直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上，∴PA = PB.
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
线段的垂直平分线的性质
2.线段垂直平分线的判定
把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
证明：过点 P 作线段 AB 的垂线 PC，垂足为 C．则∠PCA =∠PCB = 90°．在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中，∵PA = PB，PC = PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB (HL)．∴AC = BC．又 PC⊥AB，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：∵ PA = PB，∴点 P 在 AB 的垂直平分线上.
角的平分线与线段的垂直平分线
角平分线上的点到角两边的距离相等
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
3. 互逆命题与互逆定理
分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
线段的垂直平分线的性质与判定
“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
角的平分线的性质与判定
“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”
知识点1 线段的垂直平分线的性质1.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　)A.AB＝AD　　B.CA平分∠BCD C.AB＝BD　　D.△BEC≌△DEC
2.如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为(　　)A.104°　　B.116°　　C.128°　　D.142°
【点拨】∵∠ABC＝52°，∴∠BMN＋∠BNM＝180°－∠ABC＝180°－52°＝128°.∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，∴MA＝MP，NP＝NC，∴∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP，
3. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，若△BCD的周长为5，BC＝2，则边AB的长的取值范围为　　　　　　.
【点拨】∵△BCD的周长为5，BC＝2，∴BC＋BD＋CD＝2＋BD＋CD＝5，∴BD＋CD＝3.∵AB的垂直平分线交AC于点D，∴AD＝BD，∴AC＝AD＋CD＝BD＋CD＝3.由三角形的三边关系得AC－BC＜AB＜AC＋BC，∴3－2＜AB＜3＋2，即边AB的长的取值范围为1＜AB＜5.
知识点2 线段的垂直平分线的判定4.如图，AC＝AD，BC＝BD，则(　　)A.CD垂直平分AB　　B.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACB　　D.以上结论均不对
5.［2026无锡期中］有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的(　　)A.三边中线的交点处B.三边垂直平分线的交点处C.三条角平分线的交点处D.三边上高的交点处
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(5，5)，点B(1，1)，点C(7，1)，若点P到点A，B，C的距离相等，则点P的坐标为　　　　.
【点拨】∵点P到点A，B，C的距离相等，∴点P是线段AB，BC垂直平分线的交点，如图，故点P的坐标为(4，2).
知识点3 互逆命题(定理)7.下列说法中错误的个数是(　　)①任何一个命题都有逆命题；②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题；③任何一个定理都有逆定理；④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题.A.4　　B.3　　C.2　　D.1
8. 按要求解答下列各小题.(1)请写出以下命题的逆命题：①相等的角是同位角；
【解】“相等的角是同位角”的逆命题：如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
②如果a＋b＜0，那么ab＜0；
【解】“如果a＋b＜0，那么ab＜0”的逆命题：如果ab＜0，那么a＋b＜0.
(2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否互为逆定理.
【解】因为定理首先是真命题，而(1)中①的原命题与逆命题都是假命题，故(1)中①的原命题和逆命题不是互为逆定理.
9. 如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN外，且与A点在MN的同一侧，连接BC交MN于点P，连接AP，则(　　)A.BC＞PC＋AP　　B.BC＝PC＋APC.BC＜PC＋AP　　D.BC≤PC＋AP
10.如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠OEB＝46°，则∠AOC＝(　　)A.92°　　B.88°　　C.46°　　D.86°