初中人教版（2024）14.3 角的平分线同步测试题

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姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．如图，，B、C、D三点在同一条直线上，且，，则的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】此题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
故选：C．
2．如图，平分，P是上一点，于点H，若，则点P与射线上某一点连线的长度可以是（ ）
A．2B．5C．8D．11
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质可知点P到的距离为10，进而得出答案．
【详解】解：∵平分，，，
∴点P到的距离为10，
∴点P与射线上某点连线的长度大于等于10，可以是11．
故选：D．
3．如图，，点A、F、C、E在一条直线上，连接．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：，
，
，
，
平分，，
设，则
在中，根据三角形内角和定理，得
，
解得：，
；
故选：B
4．在中，C为的中点， ，延长至点E，使，连接，则的长的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，根据题意，画出图形，证明，得到，再根据三角形的三边关系求出的长的范围即可．
【详解】解：如图：
∵C为的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
故选D
5．如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键．根据已知条件，，得出，然后分别结合每个选项给出的条件，依据全等三角形的判定定理（、、）来判断能否判定．
【详解】解：∵
∴ ，即
又∵
选项A：∵ ，，
∴ ，故A项不符合题意．
选项B：虽然，，，但这是“边边角”的情况，不能判定两个三角形全等，故B项符合题意．
选项C：∵ ，，
∴ ，故C项不符合题意．
选项D：∵ ，，
∴ ，故D项不符合题意．
故选：B．
6．如图，，且，于点，于点．若，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余得出，，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
故选：A．
7．如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查作图——基本作图、角平分线的定义，由作图过程可知，，由角平分线的定义可得．根据，，可得，进而可得，即可得出答案．
【详解】解：由作图过程可知，．
∵是角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
故D选项一定正确．
故选：D．
8．如图，中，，的角平分线，相交于点，延长至，使，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据角平分线的定义以及三角形内角和定理可，可判断①；证明，可得，从而得到，可判断②；根据，可得，再结合角平分线的定义可得，可得到，可判断③；根据，可得，从而得到，可判断④．
【详解】解：∵，
∴，
∵，为的角平分线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，故②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：A
9．如图，在中，，平分交于点，平分 交于点，交于点．①；②若，则；③；④．则上列说法一定正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【答案】C
【详解】解：①，
，
平分，平分 ，
，
，
；
②，
，
平分 ，
，
，
，
，
；
③不一定等于，，
不一定和相等；
④在上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，正确；
故选：C．
10．如图，中，点E、F分别在的延长线上，的角平分线交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分； ②；③； ④．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【详解】①：过点作于点，
平分，，，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
，
平分，，，
同理可得，
，
又，，
平分，故①正确；
②：设，，
在中，
，
，
在中，
，
而，
由三角形内角和，
即，
解得，
那么，
所以，
而，故②错误；
③：在上截取，
平分，
，
又，，根据边角边可得，
，，
由①知，
，
平分，，，
，
又，，
，
，
，故③正确；
④：是的外角，
，
又平分，
，
，故④正确．
综上，①③④正确，正确的结论有个，
故选：B．
二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．如图，，，，则 ．
【答案】/96度
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
12．如图，在中，，平分，交于点D，，，则点D到的距离为 ．
【答案】3
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，且，
∴点到的距离等于点到的距离，
∴点到的距离为．
故答案为：3．
13．如图，四边形中，，，，则的面积为 ．
【答案】18
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
如图：过点D作，交的延长线于点H，再证明，根据全等三角形的性质得到，再运用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：过点D作，交的延长线于点H，
，
∴，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：18．
14．中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则 ．
【答案】
【详解】解：平分，平分，
， ，
，，
，
同理可得，
，
以此类推，．
故答案为： ．
15．如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当 s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
【答案】1或或12
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类．
由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分：当在上，在上时；当在上，在上时；当到达，在上时，分别讨论．
【详解】解：当E在上，D在上时，即，
则，，
以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
，，，
当在上，在上时，即，
则，，，
当到达，在上时，即，
则，，，，
故答案为：或或12．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分）
16．已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、分别作、，垂足为、，求证：．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
17．已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分．
【详解】证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分．
18．如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点，如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动，设运动的时间为t秒．
(1)的长为 厘米(用含t的代数式表示)；
(2)若以 D、B、P 为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值；
(3)若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动．则点P与点Q会不会相遇？若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在的何处相遇？
【答案】(1)
(2)4或6
(3)经过24秒时间点P与点Q第一次在的边上离C点16厘米相遇
【详解】（1）解：根据题意得：厘米，
∵厘米，
∴厘米；
故答案为：
（2）解：根据题意得：厘米，
∵点D为的中点，厘米，
∴厘米，，
∴点B，C为对应顶点，
当时，厘米，，
∴厘米，
∴秒，
∴；
当时，厘米，厘米，
∴秒，
∴；
综上所述，a的值为4或6；
（3）解：当时，两点的速度相同，此时两点不会相遇；
∴，
根据题意得：，
解得：，
此时厘米，
即经过24秒时间点P与点Q第一次在的边上离C点16厘米相遇．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．和按如图方式摆放，，，．
(1)试判断与的数量关系，并说明理由．
(2)已知，当三点共线时，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析；(2)．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（）知，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴．
20．如图，是的角平分线，点在延长线上，点在边上，，，交于点，
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，求证：平分；
(3)如图3，过点作，垂足为，若，，，求的长．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即平分；
（3）解：作于点，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，即．
21．如图，已知，，连接，，相交于点H．
(1)求证：；
(2)求的大小；
(3)连接，求证：平分．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，即
∴
∴；
（2）设与交于点B，
∵
∴
又∵
∴，即；
（3）如图所示，连接，过点作，，
∵，，，，
∴∴平分．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
(1)如图① ， 在 中，，直线 l 经过点 A，直线 l，直线 l，垂足分别为 D、E．求证：
(2)在（1）的条件下直接写出的数量关系为 ；
(3)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图② ， 将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线 l上，并且有， 其中 α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【详解】（1）解：直线l，直线l，垂足分别为D、E，
，
，
在中，，
，
，
在和中，
，
；
（2），理由见解析，
由（1）可知，
，
，
即，
故答案为：；
（3）成立，证明如下：
在中，，
根据邻补角定义得：，
，
，
在和中，
，
，
，
即．
23．如图，，，，延长交直线于．
(1)如图，求的度数（用含的代数式表示）；
(2)如图，连接，若，求的度数；
(3)如图，在（2）的条件下，连、，取中点，连交于点，若，，求的长．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：如图所示，设与的交点为，
，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
，即；
（2）解：，
，即，
在和中，，
，
，
如图，设交于，过作，交的延长线于，于，则，
，，
，
，，
，即，
，
在和中， ，
，
，
，，
，
，
．
（3）解：如图，延长至，使，连接，设与的交点为，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，即，
是的中点，
，
，
又，
．