人教版（2024）八年级上册（2024）第十四章 全等三角形14.3 角的平分线优秀课件ppt

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下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？
探究 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系.研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？
在△OPM和△OPN中，OP=OP，∠POM=∠PON，如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN (SAS)，就有PM=PN.
探究 反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON.点P在∠AOB的内部，PM=PN，你能证明出点P在∠AOB的平分线上吗？
∴△OPM≌△OPN (SSS)，
证明：连接OP，在△OPM和△OPN中
证明：∴∠POM=∠PON，∴点P在∠AOB的平分线上.
思考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点；再在角的内部作出与这两点距离相等的点；以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.
已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
知识点1 作已知角的平分线
思考 作图依据是什么？
利用“SSS”证明全等
两个三角形全等，则对应角相等
例1已知：∠AOB，如图所示.求作：∠AOB的补角的平分线.（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图所示，射线OD就是∠AOB的补角的平分线.
跟踪训练 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的平分线.
由此，我们可以猜想角平分线有什么性质？
探究 如图，OC是∠AOB的平分线.点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…，分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…，分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3…，你有什么发现？
P1D1=P1E1、P2D2=P2E2、P3D3=P3E3.
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
知识点2 角的平分线的性质
我们证明这个性质.首先，要分清其中的“已知”和“求证”.已知：一个点在一个角的平分线上；求证：这个点到这个角两边的距离相等.为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证.
如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.
分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE. 由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件.
证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.
证明：在△OPD 和△OPE 中，
∴△OPD≌△OPE（AAS），∴PD=PE .
符号语言：∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.
例2把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图(1)所示方式叠合放置，得到如图(2)的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由.
解：如图，过点M作MH⊥AB于点H.∵∠BAD=30°，∠CAB=60°，∴∠MAC=∠BAC-∠MAB=30°=∠MAB,∴AM平分∠CAB.
解：∵MH⊥AB，MC⊥AC,∴MH=MC，即MC的长度等于点M到AB的距离.
证明一个几何命题时的步骤：
已知：一个点在一个角的平分线上求证：这个点到角两边的距离相等；
第一步：明确命题中的已知和求证.
第二步：根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
第三步：经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
知识点3 证明几何命题的一般步骤
例3 求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线的距离相等.
解：已知：如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：BE=CF.证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD,
解：∴∠BED=∠CFD=90°.在△BED 和△CFD 中，
∴△BED≌△CFD（AAS）. ∴BE=CF.
知识点1 角的平分线的作法1.在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是(　　) A.①②　　B.①③　　C.②③　　D.只有①
2.［2025陕西］如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB.(保留作图痕迹，不写作法)
【解】如图，点P即为所求.
知识点2 角平分线的性质3.如图，OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，且AC＝3，已知点A到y轴的距离是4，那么点A的坐标为(　　)A.(－4，3)　　B.(4，－3)C.(3，－4)　　D.(－3，4)
【点拨】过点P作PE⊥BC于E，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA＝PE，PD＝PE，∴PE＝PA＝PD.∵PA＋PD＝AD＝8，∴PA＝PD＝4，∴PE＝4.∴点P到BC的距离为4.
4. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD＝8，求点P到BC的距离是(　　)A.3　　　B.4　 　　C.5　　D.6
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6 cm，则△DEB的周长为　　　　.
∴△DEB的周长为6 cm.
6. 如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O.若点O到BC的距离为3.5，AB＝4，则△ABO的面积为　　　.
7.［2026厦门期中］如图，在△ABC中，∠C＝90°.(1)作∠ABC的平分线交AC于点D(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
【解】如图，BD即为∠ABC的平分线.
(2)在(1)的条件下，若CD＝3，AB＋BC＝16，求△ABC的面积.
8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是10，CD∶BD＝2∶3，DE＝2，则AC的长是(　　)A.2 　　B.3　　C.4　　D.5
9. ［宣城自主招生］如图，四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线恰好相交于一点P(A，P，C三点不共线)，记△APD，△APB，△BPC，△DPC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则有(　　)A.S1＋S3＝S2＋S4　　B.S1＋S2＝S3＋S4C.S1＋S4＝S2＋S3　　D.S1＝S3
10. 如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点.已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为　　　　.