第十四章 全等三角形 - 初中数学八年级上册 单元测试卷（人教版2024）

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第十四章 全等三角形（单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（　　）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、组成图形的四个圆形全等，故本选项不符合题意；B、组成图形的三个图形不全等，故本选项符合题意；C、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意；D、组成图形的三个图形全等，故本选项不符合题意．故选：B．2．如图，△DBC≌△ECB，且BE与CD相交于点A，下列结论错误的是（　　）A．BE＝CDB．AB＝ACC．∠D＝∠ED．BD＝AE【答案】D【解答】解：∵△DBC≌△ECB，∴BE＝CD，∠D＝∠E，BD＝CE，∠DCB＝∠EBC，∴AB＝AC．可知BD＝AE不一定成立，故选：D．3．如图，在△ABC和△DEC和中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC和≌△DEC和，不能添加的一组条件是（　　）A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝EC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠ACD＝∠BCE【答案】C【解答】解：A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝CE，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；B．AB＝DE，AC＝DC，BC＝CE，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；C．AB＝DE，BC＝EC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；D．∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，即∠ACB＝∠DCE，∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠E，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；故选：C．4．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G．若∠AED＝105°，∠CAD＝16°，∠B＝30°，则∠1的度数为（　　）A．66°B．63°C．61°D．56°【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D＝30°，∠ACB＝∠AED＝105°，∵∠ACB＝∠CAD+∠CFA，∴∠CFA＝105°﹣16°＝89°，∴∠DFG＝∠CFA＝89°，∵∠1+∠D+∠DFG＝180°，∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠DFG＝180°﹣30°﹣89°＝61°．故选：C．5．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，AC与DE相交于点F，BC＝6，BE＝3．则△EBC的周长为（　　）A．15B．16C．17D．12【答案】A【解答】解：∵△ABC≌△DEC，BC＝6，BE＝3，∴EC＝BC＝6，∴EC+BC+BE＝6+6+3＝15，故选：A．6．如图，在三角形ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，∠BEC＝90°，过点E作DE∥BC 交AB于点D，延长AC至点F，连接BF，若∠BCF＝115°，则∠ADE的度数为（　　）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】B【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠BEC＝90°，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEC＝∠BEA＝90°，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴∠A＝∠BCA，∵∠BCF＝115°，∴∠BCA＝180°﹣∠BCF＝180°﹣115°＝65°，∴∠ABC＝180°﹣2×65°＝50°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝50°，故选：B．7．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，交OB于点F，分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P，点T在射线OP上，过点T作TM⊥OA，TN⊥OB，垂足分别为M，N，点G，H分别在OA，OB边上，∠OGT+∠THN＝180°．若OM＝5，则OG+OH的值为（　　）A．12B．8C．152D．10【答案】D【解答】解：根据尺规作图的操作可得，OP为∠AOB的角平分线，且TM⊥OA，TN⊥OB，∴TM＝TN，∠TMG＝∠TNH＝90°，由条件可知∠TGM＝∠THN，∴△TGM≌△THN（AAS），∴GM＝HN，∵TM＝TN，OT＝OT，∴Rt△TOM≌Rt△TON（HL），∴OM＝ON，∴OG+OH＝OM﹣GM+ON+HN＝2OM＝10，故选：D．8．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D．若OD＝3，△ABC的面积是50，则△ABC的周长为（　　）A．503B．25C．1003D．50【答案】C【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图所示： ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD＝3，∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，∵△ABC的面积是50，∴S△OAB+S△OBC+S△OAC＝50，∴12AB•OE+12BC•OD+12AC•OF＝50，∴3AB+3BC+3AC＝100，∴AB+BC+AC=1003，∴△ABC的周长为1003．故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是射线BC上的动点，连接AE，∠BAE的平分线与BD交于点P，若∠CAE＝20°，则∠APB的度数为（　　）A．120°B．145°C．125°或145°D．120°或145°【答案】C【解答】解：当E在线段BC上时，∵∠ABC＝30°，BD平分∠ABC，∴∠ABP=12∠ABC＝15°，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝40°，∵AP平分∠BAE，∴∠BAP=12∠BAE＝20°，∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝145°；当E在BC的延长线上时，∵∠ABC＝30°，BD平分∠ABC，∴∠ABP=12∠ABC＝15°，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝80°，∵AP平分∠BAE，∴∠BAP=12∠BAE＝40°，∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝125°，综上所述，∠APB＝125°或145°．故选：C．10．如图，李师傅在四边形木板ABCD中裁下3个三角形，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥EF、AE＝EF，∠CGD＝∠EGF，AB＝30cm，BE＝CD＝10cm，CG＝20cm，则剩余木板（阴影部分）的面积为（　　）A．1600cm2B．1100cm2C．900cm2D．500cm2【答案】B【解答】解：过点F作FH⊥BC，则：∠FHE＝∠FHG＝90°＝∠B＝∠C，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠BAE＝∠FEH＝90°﹣∠AEB，在△ABE和△EHF中，∠B=∠FHE∠BAE=∠FEHAE=EF，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴EH＝AB，FH＝BE，∵BE＝CD，∴FH＝CD，在△FHG和△DCG中，∠FHG=∠C=90°∠FGH=∠DGCFH=DC，∴△FHG≌△DCG（AAS），∴HG＝CG，∴EG＝EH+GH＝AB+CG＝50cm，BC＝BE+EG+CG＝80cm，∴剩余木板（阴影部分）的面积为S梯形ABCD﹣S△ABE﹣S△EFG﹣S△CDG=12(30+10)×80−12×30×10−12×50×10−12×20×10 ＝1100（cm2），故选：B．11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝6cm，BC＝9cm，CD＝12cm，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D匀速运动，若△BAP与△PCQ在某一时刻全等，则点Q运动速度为（　　）A．4cm/sB．3cm/sC．4cm/s或5cm/sD．3cm/s或4cm/s【答案】D【解答】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为v cm/s，则BP＝3t cm，CQ＝vt cm，∵BC＝9cm，∴CP＝BC﹣BP＝（9﹣3t）cm，∵∠B＝∠C＝120°，∴△BAP≌△CQP或△BAP≌△CPQ，①当△BAP≌△CQP时，CQ＝AB＝6cm，BP=CP=12BC=92cm，∴3t=92，∴t=92÷3=32（s），∴32v=6，解得：v＝4；②当△BAP≌△CPQ时，CP＝BA，BP＝CQ＝vt cm，∴3t＝vt，解得：v＝3；综上所述，点Q运动速度为4cm/s或3cm/s．故选：D．12．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MB平分∠ABO．其中正确的个数为（　　）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，故①正确，符合题意；由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，故②正确，符合题意；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示，则∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，∠OGC=∠OHD=90°∠OCG=∠ODHOC=OD，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，∵∠AOB＝∠COD，∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，∵∠AOB＝∠COD，∴∠COM＝∠BOM，∵MO平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，在△COM和△BOM中，∠COM=∠BOM∠CMO=∠BMOOM=OM，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，∵OA＝OB，∴OA＝OC，与OA＞OC矛盾，∴③错误；∵没有条件可以证明MB平分∠ABO，∴④错误；正确的个数有2个；故选：C．二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）13．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1的度数为 　70°　 ．【答案】70°．【解答】解：如图，根据三角形内角和可得∠2＝180°﹣50°﹣60°＝70°，因为两个全等三角形，所以∠1＝∠2＝70°，故答案为：70°．14．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ 　135°　 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：由题意可得：∠1＝∠3，则∠1+∠2＝∠2+∠3＝135°．故答案为：135°．15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE交于点F．若BF＝AC，CD＝3，BD＝5，则线段AF的长为 　2　 ．【答案】2．【解答】解：在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE交于点F，∴∠ADC＝∠BDF＝∠AEB＝90°，∴∠DAC+∠C＝90°，∠C+∠DBF＝90°，∴∠DAC＝∠DBF，在△ADC和△BDF中，∠ADC=∠BDF∠DAC=∠DBFAC=BF，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴CD＝FD，AD＝BD，∵CD＝3，BD＝5，∴FD＝3，AD＝5，∴AF＝AD﹣FD＝5﹣3＝2．故答案为：2．16．小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.7m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为　1.8　 米．【答案】1.8．【解答】解：∵点B距离地面的高度为1.5m，点C距离地面的高度是1.6m，∴点D距离地面的高度为1.5m，点E距离地面的高度是1.6m，∴DE＝1.6﹣1.5＝0.1（m），∵∠BDO＝∠BOC＝90°，∴∠OBD+∠BOE＝∠BOE+COD＝90°，∴∠OBD＝∠COD，在△OBD≌△COE中，∠OBD=∠COD∠BDO=∠BOCOB=OC，∴△OBD≌△COE（AAS），∴OE＝BD＝1.7m，CE＝OD，∴CE＝OD＝OE+DE＝1.7+0.1＝1.8（m），∴点C到OA的距离CE为1.8m，故答案为：1.8．17．如图，在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为2，4，6，正放置的四个正方形的面积依次为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为 　8　 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：在△ABC和△CDE中，∠ECD=∠CABEC=AC∠ACB=∠CED，∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AB＝CD，BC＝DE，∴AB2+DE2＝DE2+CD2＝CE2＝6，同理可证FG2+LK2＝HL2＝2，∴S1+S2+S3+S4＝CE2+HL2＝6+2＝8．故答案为：8．18．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　4：3　 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵BF＝2EF．S△DEF＝2，∴S△BDE＝3S△DEF＝3×2＝6，∵点E为AD的中点，∴S△ABD＝2S△BDE＝2×6＝12，∵S△ABC＝21，∴S△ACD＝21﹣12＝9，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵AD是∠BAC的角平分线，∴DM＝DN，∴S△ABDS△ACD=12AB⋅DM12AC⋅DN=ABAC=129=43，则AB：AC＝4：3，故答案为：4：3．三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：△ABC≌△DEF．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AF＝DC，∴AF+FC＝DC+FC，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠A=∠DAC=DF ∴△ABC≌△DEF（SAS）．20．（8分）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高．（1）求证：∠ABE＝∠ACF；（2）当△ABD≌△GCA时，AD与AG的位置关系如何，请说明理由．【答案】（1）证明过程见解答；（2）AD⊥AG，理由见解答．【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠ABE＝∠ACF；（2）解：AD⊥AG，理由：∵△ABD≌△GCA，∴∠ADB＝∠GAC，∵∠ADB是△ADE的一个外角，∴∠ADB＝∠DAE+∠AEB，∵∠GAC＝∠GAD+∠DAE，∴∠AEB＝∠GAD＝90°，∴AD⊥AG．21．（8分）已知：如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，（1）求∠EAC的度数；（2）求∠DFB的度数．【答案】（1）∠EAC＝20°；（2）∠DFB＝20°．【解答】解：（1）∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD，即：∠CAD+∠BAG＝∠CAD+∠EAC，∴∠BAG＝∠EAC，∵∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，∴∠BAG+∠EAC＝∠BAE﹣∠DAC＝100°﹣60°＝40°，∴∠EAC＝∠BAG＝20°．所以∠EAC的度数为20°；（2）在△DFG中：∠D+∠DGF+∠DFB＝180°，在△BGA中：∠B+∠BGA+∠BAG＝180°，∵∠D＝∠B，∠DGF＝∠BGA，∴∠DFB＝∠BAG＝20°．所以∠DFB的度数为20°．22．（8分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB点F，G．（1）试说明：∠A＝∠D；（2）若∠B＝50°，∠D＝25°，求∠AFG的度数．【答案】（1）说明理由见解答；（2）∠AFG的度数是80°．【解答】解：（1）∵D是BC延长线上一点，CE∥AB，∴∠DCE＝∠B，在△ABC和△DCE中，AB=DC∠B=∠DCECE=BC，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D．（2）解：∵∠B＝50°，∠D＝25°，∴∠A＝∠D＝25°，∠AGF＝∠B+∠D＝75°，∴∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGF＝80°，∴∠AFG的度数是80°．23．（10分）如图，CA＝CB，E在BC上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于F，连接CF．（1）求证：AE＝BD； （2）求证：CF平分∠AFD．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：在△ACE与△BCD中，∵CA=CB∠ACB=∠DCECE=CD，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD；（2）证明：过点C作CG⊥AF，CH⊥BD，垂足分别为G、H，∵由（1）知，△ACE≌△BCD，∴∠CAG＝∠CBH，AC＝BC．在△ACG与△BCH中，∵∠CAG=∠CBH∠AGC=∠BHC=90°AC=BC，∴△ACG≌△BCH（AAS），∴CG＝CH，∴CF平分∠AFD．24．（10分）如图，在五边形ABCDE中，BC＝4，AE＝3．（1）若△BCD≌△BAE，DE＝2，求五边形的周长．（五边形的周长为五条边长的和）（2）若∠BDC＝70°，∠CBD＝∠ABE≠70°，∠BAE=(32x−20)°，∠AEB＝（x+18）°，当△BCD与△BAE全等时，求x的值．【答案】（1）五边形ABCDE的周长为16；（2）x的值为52或60．【解答】解：（1）∵△BCD≌△BAE，BC＝4，AE＝3，∴BC＝BA＝4，CD＝AE＝3，∵DE＝2，∴五边形ABCDE的周长为AB+BC+CD+AE+DE＝4+4+3+3+2＝16；（2）∵∠CBD＝∠ABE≠70°，∴当△BCD≌△BAE时，而∠BDC＝70°，∠AEB＝（x+18）°，∴∠AEB＝∠BDC＝70°，∴x+18＝70，解得：x＝52，∴x的值为52；当△BCD≌△BEA时，而∠BDC＝70°，∠BAE=(32x−20)°，∴∠BAE=∠BDC=(32x−20)°，∴32x−20=70，解得：x＝60，∴x的值为60；综上：x的值为52或60．25．（10分）【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．（1）求证：△ADC≌△EDB．证明：延长AD到点E，使DE＝AD，∵D是BC的中点（已知），∴CD＝BD（中点定义），在△ADC和△EDB中，∵AD=ED(已作)∠ADC=∠EDB(#160;#160;#160;#160;)CD=BD(已证)，∴△ADC≌△EDB（ 　SAS　 ）．（2）探究得出AD的取值范围是 　1＜AD＜7　 ；【问题解决】如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝6，且∠ADE＝90°，求AE的长．【答案】见试题解答内容【解答】证明：延长AD到点E，使DE＝AD，∵D是BC的中点（已知），∴CD＝BD（中点定义），在△ADC和△EDB中，∵AD=ED(已作)∠ADC=∠EDB(对顶角相等)CD=BD(已证)，∴△ADC≌△EDB（SAS）；（2）由题意可得：AC＝BE＝6，∴8﹣6＜AE＜8+6，∴2＜2AD＜14，∴1＜AD＜7．（3）延长AD交EC于点F，如图：∵∠B＝90°，CE⊥BC，∴∠ABC＝∠DCF在△ABD和△FCD中．∠ABC=∠FCDBD=DC∠ADB=∠FDC ∴△ABD≌△FCD（ASA），∴CF＝BA＝3，AD＝DF，∴AE＝FE，∴AE＝CE+CF＝9．26．（10分）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE 　＝　 CF；EF 　＝　 |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 　∠α+∠BCA＝180°　 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，∠CBE=∠ACF∠BED=∠CFAAC=CB，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．∵∠BCA＝180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，∴∠CBE＝∠ACF，又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE＝CF，CE＝AF，又∵EF＝CF﹣CE，∴EF＝|BE﹣AF|．（2）猜想：EF＝BE+AF．证明过程：∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，∴∠BCE＝∠CAF，又∵BC＝CA，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE＝CF，EC＝FA，∴EF＝EC+CF＝BE+AF．