初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线优质ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线优质ppt课件，共27页。PPT课件主要包含了P到OA的距离PD，P到OB的距离PE，P是角平分线上的点，几何语言描述，∴PDPE，不必再证全等，复习引入，探究新知，角的平分线的判定定理，几何语言等内容，欢迎下载使用。
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
叙述角平分线的性质定理.
交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等” 这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？
猜想：到角两边距离相等的点一定在角的平分线上
已知：
角的内部的一个点到这个角两边的距离相等.
这个点在这个角的平分线上.
如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE.求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
可以通过添加辅助线，构造三角形来证明.
证明：如图，经过点 P 作射线 OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中，
OP = OP，PD = PE，
∴ △OPD ≌ △OPE（HL）∴∠AOC =∠BOC
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
如图，∵P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线
角的平分线的性质及判定的关系
角的内部，点到角两边距离相等
角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等；△ABC 的三条角平分线交于一点.
点 P 到边 AB，BC 的距离相等，点 P 到边AC，BC 的距离相等
要证△ABC 的三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上．
证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F.
∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 .
(2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等，∴点 P 在∠A 的平分线上 . ∴△ABC 的三条角平分线交于一点 .
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等.
三角形内部到三边距离相等的点是三条角平分线的交点.
到三角形三边所在直线距离相等的点一共有几个？
三角形三个内角的平分线的交点 P1；三角形一个内角与另外两个角的外角的平分线的交点 P2，P3，P4.
OP 平分∠AOBPD⊥OA于点 DPE⊥OB于点 E
PD⊥OA 于点DPE⊥OB 于点EPD = PE
知识点 角平分线的判定1.在正方形网格中，∠ACB的位置如图所示，则到∠ACB两边距离相等的点是(　　)A.点MB.点NC.点PD.点Q
2.如图，小明将两把完全相同的长方形直尺(单位：cm)放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，已知∠POB＝18°，则∠ACP的度数是(　　)A.36°　　B.30°　　C.54°　　D.72°
3. 如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有　　处.
【点拨】到三角形三边距离相等的点有1个，到三角形三边所在直线的距离相等的点有4个(三角形外角的平分线的交点到三角形三边所在直线的距离也相等).本题易因认为满足条件的点只有一处而导致漏解.
4.［2026泰安期中］如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠C＝60°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N.若OM＝ON，则∠BOM的度数是　　 .
5.如图，点O在△ABC的内部，且到三边的距离相等，OD⊥BC于点D，OD＝3，△ABC的周长是36，则△ABC的面积为　　　.
6. 如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，且B，O，C在一条直线上，∠AOB＝∠COD，连接AC，BD交于点M，连接OM.求证：点O在∠CMB的平分线上.
【解】∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠AOD＝∠COD＋∠AOD，即∠AOC＝∠BOD.
7. 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取点M，N，连接MN.MP平分∠AMN，NP平分∠MNB.(1)求证：OP平分∠AOB；
【证明】如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E.
∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，∴PC＝PD.∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，∴PD＝PE，∴PC＝PE，∴OP平分∠AOB.
(2)若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和.