人教A版高二数学选修第一册 第11讲 第一章 空间向量与立体几何 章末题型大总结讲义（学生版+教师版）

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模块三 核心考点梳理
题型01空间向量的概念及运算
【典例1】（多选）（高一下·山东淄博·期中）已知，，是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．在正方体中，
【典例2】（高一下·吉林长春·期中）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（高二上·云南临沧·阶段练习）如图，平行六面体中，分别为的中点.若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（高二下·北京·开学考试）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（高二·全国·专题练习）如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
题型02四点共面问题
【典例1】（高二下·四川成都·期中）已知为空间任意一点，若，则四点（ ）
A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断
【典例2】（高二上·广东深圳·阶段练习）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则 .
【典例3】（高二上·河南洛阳·期中）已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
【变式1】（高二上·四川遂宁·阶段练习）已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【变式2】（高二上·广东深圳·阶段练习）已知，，，是平面内不共线的四点，为平面外一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（高二上·上海·期中）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足且”类比此命题，给出点在平面上的充要条件是： .
题型03平面法向量的求解
【典例1】（高二上·湖北荆州·期末）已知正方体的棱长为1，以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二上·河南漯河·阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
【变式1】（高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（高三·全国·专题练习）已知是平面内的两个不共线的向量，，求平面的一个法向量．
题型04利用空间向量证明平行、垂直关系
【典例1】（高二下·甘肃白银·期中）在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点．
(1)求；
(2)求；
(3)若点在棱BC上，且平面，求的长．
【典例2】（高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．

(1)求证：；
(2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【典例3】（高二上·广东珠海·期末）已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点.
(1)求证：；
(2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【变式1】（高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明：
(1)平面；
(2)平面平面．
【变式2】（高二上·江苏·专题练习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，.
(1)求证：；
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【变式3】（高二上·四川成都·阶段练习）如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点.
(1)证明：当为棱的中点时，平面；
(2)是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
题型05异面直线所成角
【典例1】（高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，则异面直线与所成角的正切值为 ．
【典例2】（·全国·模拟预测）如图，长方体中，，点在线段上，且为线段的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【典例3】（高二上·浙江·期中）已知三棱锥与是两个同底面的正三棱锥，且是的中点，记异面直线所成的角为，则的最大值为 ．
【变式1】（·辽宁·一模）如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为 .
【变式2】（高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，在三棱锥中，，点在线段上，且，则直线与直线所成角的余弦值为 ．
【变式3】（高二上·浙江嘉兴·期中）在正方体中，动点在线段上，，分别为，的中点．若异面直线与所成角为，则的取值范围为 ．
题型06利用向量法求直线与平面所成角
【典例1】（高二上·上海徐汇·期中）正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为 .
【典例2】（高三上·浙江·期末）如图，已知菱形，，沿直线将翻折成，分别为的中点，与平面所成角的正弦值为，为线段上一点（含端点），则与平面所成角的正弦值的最大值为 .
【典例3】（·北京西城·三模）如图.在四棱锥P-ABCD中.平面.底面ABCD为菱形.E.F分别为AB.PD的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，，，求直线CD与平面EFC所成角的正弦值.
【变式1】（高二上·河北·期中）如图1，已知为直角三角形，于点，现沿将折成的二面角如图2，则与平面所成角为 .

图1 图2
【变式2】（高二上·广东肇庆·期末）如图，在长方体中，，，E，F分别为棱AB，BC上一点，且，P是线段上一动点，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 ．
【变式3】（高三下·上海松江·阶段练习）如图，在圆锥中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)设线段与交于点，求直线与平面所成角的正弦值.
题型07利用向量法解决直线与平面所成角的探索性问题
【典例1】（高三下·上海·阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，底面分别是线段的中点，是线段上的一点.
(1)证明直线平面;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置.
【典例2】（·河北秦皇岛·二模）如图，在四棱锥中，，，，，E是棱的中点，且平面，点F是棱上的一点.
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长
【典例3】（高二下·江苏盐城·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，且，，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【变式1】（高三下·贵州·阶段练习）如图，已知正方体，为的中点.
(1)过作出正方体的截面，使得截面平行于平面，并说明理由；
(2)为线段上一点，且直线与截面所成角的正弦值为，求.
【变式2】（·广东汕头·一模）如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点.
(1)若为的中点，求证：；
(2)若三棱台的体积为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
【变式3】（·广东广州·二模）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且与平面垂直，，.
(1)证明：平面；
(2)棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
题型08利用向量法求二面角
【典例1】（高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，O为中点．线段上存在一点Q，使得二面角的余弦值为，则
【典例2】（高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．设D为的中点，，平面平面，则二面角的正弦值为 ．
【典例3】（高二下·湖北武汉·阶段练习）四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点．
(1)求证：上存在一点，使得与总垂直；
(2)当平面时，求的值；
(3)当时，求平面与平面所成角的大小．
【变式1】（高三上·江苏苏州·阶段练习）如图，在正方体中，和分别为底面和侧面的中心，则二面角的余弦值为 .
【变式2】（高二上·福建泉州·期中）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种被称为“羡除”的几何体，该几何体是三个面均为梯形，其他两个面为三角形的五面体.如图，现有一羡除，平面平面，，，四边形，均为等腰梯形，，M，N，P分别为，，的中点，则二面角的平面角的余弦值为
【变式3】（高二下·江西·阶段练习）如图，在中，分别为边的中点，将沿折起到处，为线段的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.
题型09利用向量法解决二面角中的探索性问题
【典例1】（·安徽·三模）如图，已知四棱锥中，点在平面内的投影为点，，.

(1)求证：平面平面；
(2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值.
【典例2】（·江苏泰州·模拟预测）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，N分别是BC，的中点．
(1)若M是的中点，证明：平面平面；
(2)若M是线段上的一动点，当二面角的余弦值为时，求BM长度．
【典例3】（高二下·江苏连云港·期中）在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点．
(1)点到平面的距离；
(2)若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由．
【变式1】（·四川绵阳·模拟预测）在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)是侧棱上一点，记，是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式2】（·河南周口·模拟预测）在矩形中，，为边上的中点．将沿翻折，使得点到点的位置，且满足平面平面，连接，，．
(1)求证：平面平面．
(2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点位置；若不存在，说明理由．
【变式3】（·江西·二模）如图所示的五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后的几何体，，，D为的中点，E，F分别为，的中点.

(1)判断BF和CE是否垂直，并说明理由；
(2)设（），是否存在，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
题型10利用向量法求点到直线的距离
【典例1】（高二上·天津·期末）已知空间三点，，，则点到直线的距离为 .
【典例2】（高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为 .
【变式1】（高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若空间三点，则点到直线的距离为 ．
【变式2】（高二上·福建莆田·期中）如图，在平行六面体中，，，E为的中点，则点E到直线的距离为 ．
【变式3】（高二上·全国·课后作业）如图①，在中，，，，、分别是、上的点，且，，将沿折起到的位置，使平面，如图②.若点是线段的靠近点的三等分点，点是线段上的点，直线过点且垂直于平面，则点到直线的距离的最小值为 .
题型11利用向量法求点到平面的距离
【典例1】（高二上·新疆伊犁·期末）如图，直三棱柱中，，，、分别是棱、的中点.点到平面的距离是 .
【典例2】（高二上·河南商丘·期中）已知是圆柱下底面圆的直径，是下底面圆上一点，是圆柱的母线，且，则点到平面的距离为 ．
【典例3】（高二上·广东东莞·期中）如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，是等腰三角形，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 ．

【变式1】（高二上·河南驻马店·期末）如图，正方体的棱长为1，、分别为与的中点，则点到平面的距离为 .

【变式2】（高二下·江苏徐州·期末）如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点.则点到平面ABN的距离为 .

【变式3】（高二上·山东潍坊·期中）已知正方体的棱长为2，点M是棱BC的中点，点N是棱上的一个动点，设点A，M，N确定的平面为，当点N为的中点时，平面截正方体的截面的面积为 ．点到平面的距离的最小值为 ．
题型12利用向量法解决点到平面的距离的探索性问题
【典例1】（高三上·广东深圳·开学考试）正方体的棱长为2，底面内（含边界）的动点到直线的距离与到平面的距离相等，则三棱锥体积的取值范围为 .
【典例2】（·四川广安·）如图，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点．
（1）证明：平面；
（2）若点M是AB中点，求二面角的余弦值；
（3）判断点M到平面的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【变式1】（高二上·四川宜宾·期末）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，分别是的中点，平面，.
(1)证明：
(2)若，点到平面的距离为.求直线与平面所成角的正弦值．