人教A版高二数学选修第一册 第01讲 2.1.1倾斜角与斜率讲义（学生版+解析版）

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模块一 思维导图

模块二 基础知识梳理
知识点01：直线倾斜角的定义
以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
（1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；
特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.
（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.
知识点02：直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率通常用字母表示，即
（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；
（2）倾斜角时，直线的斜率不存在。
【即学即练1】（高二上·江西赣州·期末）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
知识点03：斜率与倾斜角的联系
【即学即练2】（高二下·上海宝山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 .
知识点04：直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。
【即学即练3】（高二上·北京·期中）过和两点的直线的斜率是（ ）
A．1B．C．D．
模块三 核心考点梳理
题型01求直线的倾斜角
【典例1】（高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角等于（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二上·湖北武汉·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（高二下·上海·期中）直线的倾斜角为 .
【变式2】（高二上·安徽合肥·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 ．
题型02直线斜率的定义
【典例1】（高二上·湖北·期末）直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ）
B．C．D．
【变式1】（高二下·河南·开学考试）已知直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．0
【变式2】（高二上·河南濮阳·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．不确定
【变式3】（高二下·上海·阶段练习）已知直线的倾斜角为，则的值是 ．
题型03斜率与倾斜角变化关系
【典例1】（高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二上·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ．
【变式1】（高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线过点，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（高二上·广东·阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ．
【变式3】（高二·全国·专题练习）已知直线经过点，且与线段MN相交，又，，求直线的斜率k的取值范围．
题型04已知两点求斜率
【典例1】（高二上·浙江绍兴·期末）直线经过两点，则的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ．
【变式1】（高二下·上海宝山·阶段练习）已知直线过点，则直线的斜率为 ．
【变式2】（高二上·浙江·期末）过、两点的直线的斜率为 ．
题型05已知斜率求参数
【典例1】（高二上·江苏无锡·期末）已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【典例2】（高二上·天津武清·阶段练习）若经过，两点的直线的倾斜角是，则（ ）
A．B．0C．1D．3
【变式1】（高二上·河南郑州·期末）经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．-2B．1C．3D．4
【变式2】（高二上·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则 .
题型06利用直线斜率处理共线问题
【典例1】（高二下·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则 .
【典例2】（高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 .
【变式1】（高二上·江苏·开学考试）已知三点共线，则实数m的值为 ．
【变式2】（高二·全国·专题练习）已知 ，，三点在同一条直线上，求的值．
题型07求斜率或倾斜角的取值范围
【典例1】（高二上·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是( )
A．
B．
C．
D．或
【典例2】（高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（高二上·湖南张家界·阶段练习）已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ．
【变式1】（高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【变式2】（高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l的倾斜角为，斜率为k，直线的斜率取值范围为，则倾斜角的范围为
题型08斜率公式的几何意义的应用
【典例1】（高二上·全国·专题练习）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（·湖南衡阳·模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为 .
【变式1】（高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ．
【变式2】（高三上·陕西西安·阶段练习）已知点在直线上，且满足，则的取值范围为 ．
题型09直线与线段的相交关系求斜率范围
【典例1】（高二上·吉林延边·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
【典例2】（高二上·广东潮州·期中）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
【典例3】（高二上·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ．
【变式1】（高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
【变式2】（高三·全国·专题练习）设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（高二上·江苏·专题练习）若点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
模块四 强化训练
1．（高二上·四川成都·期末）直线的一个方向向量为（ ）
A．B．C．D．
2．（高二上·贵州安顺·期末）直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
3．（高二上·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（ ）
A．或B．或C．或D．或
4．（高二上·陕西西安·阶段练习）图中能表示直线的倾斜角的是（ ）
A．①④B．①②C．①③D．②④
5．（高三下·山东菏泽·阶段练习）“直线经过第一、二、四象限”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（高二·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（高二上·重庆黔江·阶段练习）已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
8．（高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．[－2，0)∪(0，]B．(－∞，－]∪[2，＋∞)
C．[－2，]D．(－∞，－2]∪[，＋∞)
二、多选题
9．（高二上·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（ ）
A．任意一条直线都有唯一的倾斜角
B．一条直线的倾斜角可以为
C．倾斜角为的直线有无数条
D．若直线的倾斜角为，则
10．（高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（高三·上海·专题练习）过点和点的直线的倾斜角为，则的值是 .
12．（高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是
四、解答题
13．（高二上·上海·课后作业）已知坐标平面内三点，，.
(1)求直线，，的斜率和倾斜角；
(2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.
14．（高二上·浙江·期中）已知，，．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
倾斜角
（范围）
斜率
（范围）
不存在