人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量基本定理导学案及答案

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（1）了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象的核心素养.
（2）掌握空间向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养.
（3）掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法，提升逻辑推理的核心素养.
（4）能根据问题背景恰当选择基底表示相关向量，能运用空间向量基本定理解决一些立体几何问题，并在此过程中，感悟联系的观点和类比的方法，体会转化与化归、数形结合等数学思想.
第一环节 情境引入
复兴哥非常热爱天文学，通过他自制的天文望远镜发现了银河系中一个新的星系，并新星系给他反馈了一段位置代码：新星系位置=3A+2B−4C
现在复兴哥需要破解这串位置代码，以便进一步研究该星系.
复兴哥将该信星系命名为：复兴星.
思考：复兴哥将如何破解复兴星的位置代码？
第二环节 合作探究
回顾：由平面向量基本定理可知：平面内的任意一个向量 a 都可以用两个不共线的向量e1，e2来表示.
思考：那么任意一个空间向量量能否用任意三个不共面的向量来表示吗？
研究1：对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
如图：设是空间中三个两两垂直的向量，对于任意一个空间向量, 能否用这三个向量来表示，如何表示?
预设：根据向量的自由性，如图1.2-1，设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点．对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则．又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而，而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得，从而
因此，如果，，是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在有序实数组，使得．我们称，，分别为向量在，，上的分向量．
思考：如果用任意三个不共面的向量，，代替两两垂直的向量，，你能得出类似结论吗?
探究2：在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，用不共面向量a，b，c表示任一空间向量.
预设：
要求：请类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理.
预设：
思考：请你结合以上内容的探究过程，给出空间向量基本定理的证明.
由此可知，如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectrs)．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
探究：由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，我们对比共线定理、平面向量基本定理和空间向量基本定理共同完成下表.
牛刀小试：
练1：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若AB＝3i，AD＝2j，AA1 ＝5k，则AC1＝( )
A．i＋j＋kB．13 i＋12j＋15k
C．3i＋2j＋5kD．3i＋2j－5k
解析：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，有AB=3i,BC=AD=2j，CC1=AA1=5k
所以AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=3i+2j+5k，
答案选C．
练2：（多选）设a，b，c是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（ ）
A．则a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面
B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．对空间任一向量p，总存在有序实数组(x,y,z)，使p=xa+yb+zc
D．a+b，b+c，c+a不一定能构成空间的一个基底
解析：对于A，显然a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面，否则不能构成空间的一个基底，故A正确；
对于B，由空间向量基底的定义可知，当a⊥b，b⊥c时，所以a与c所成角不一定为π2，故B错误；
对于C，根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组(x,y,z)，使p=xa+yb+zc，故C正确；
对于D，假设向量a+b，b+c，c+a共面，则a+b=x(b+c)+y(c+a)，化简得−(x+y)c+(1−x)b+(1−y)a=0，因为a，b，c不共面，所以1−x=01−y=0x+y=0，显然该方程组无解，所以a+b，b+c，c+a不共面，一定能构成空间的一个基底，故D错误．
练3：（多选）若a,b,c是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A．a，2b，3cB．a+b，b+c，c+a
C．a+2b，2b+3c，3a−9cD．a+b+c，b，c
解析：由已知a，b，c不共面，则a，2b，3c不共面，A选项正确；
设a+b=xb+c+yc+a=ya+xb+x+yc，即y=1x=1x+y=0方程无解，所以不共面，B选项正确；
设a+2b=m2b+3c+n3a−9c=3na+2mb+3m−9nc，即3n=12m=23m−9n=0，解得： m=1n=13，
即a+2b=2b+3c+133a−9c，所以a+2b，2b+3c，3a−9c共面，C选项错误；
设a+b+c=λb+μc，显然三个向量不共面，D选项正确；
练4：若e1,e2,e3是空间的一个基底，且向量a=e1+e2, b=e2+e3，c=e1+te3不能构成空间的一个基底，则实数t= ．
解析：由a,b,c不能构成空间的一个基底，则存在x,y∈R，使得c=xa+yb，
即e1+te3=xe1+e2+ye2+e3=xe1+x+ye2+ye3，
所以x=1x+y=0t=y，解得t=−1. 故答案为：−1.
练5：（多选）如图，在四面体OABC中，点M在棱OA上，且满足OM=2MA，点N，G分别是线段BC，MN的中点，则用向量OA，OB，OC表示向量中正确的为（ ）
A．GN=−13OA+14OB+14OC B．OG=13OA−14OB+14OC
C．GM=12OA+13OB+32OC D．GM=13OA−14OB−14OC
解析：连接ON，因为点N，G分别是线段BC，MN的中点，所以OG=12OM+12ON=12×23OA+12×12(OB+OC)，化简可得OG=13OA+14OB+14OC，故B错误；
所以GN=ON−OG=12(OB+OC)−(13OA+14OB+14OC)=−13OA+14OB+14OC，故A正确；
GM=GO+OM=−13OA−14OB−14OC+23OA=13OA−14OB−14OC，故C错误，D正确；
例1：如图1.2-2，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量，，表示．
解析：
．
方法总结：用基底表示向量
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律；
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
变式训练：
在平行六面体中，设，，，分别是的中点.
(1)用向量表示；
(2)若，求实数x，y，z的值.
解析：（1）在平行六面体中，
，
由分别是的中点，
得.
.
（2），
而，且不共面，
所以.
例2：如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点．
求证： ．
证明：设，，这三个向量不共面，
构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则
，
所以
所以．
例3 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点．
（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值．
（1）证明：设，则构成空间的一个单位正交基底．所以
，
．
所以．所以．
（2）解：因为，，
所以
所以与所成角的余弦值为．

题型一：空间向量基底的概念辨析
1．设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：如图所示，令，，，
则，，，，
由于四点不共面，可知向量也不共面，
同理四点不共面，可知向量不共面，
又四点不共面，可知向量也不共面，
而四点共面，所以向量共面，
又三个不共面的向量可作为空间向量的一组基底，故有3个向量组可以作为空间的一个基底.
故选：C.
小结：基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设，运用空间向量基本定理，建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
变式训练：
已知{}是空间的一个基底，且=，=，=，试判断{}能否作为空间的一个基底?若能，试以此基底表示向量；若不能，请说明理由.
解析：能作为空间的一组基底.
假设共面，由向量共面的充要条件知存在实数使成立
又因为{}是空间的一个基底，所以不共面.
因此，此方程组无解，即不存在实数使，
所以不共面.故{}能作为空间的一个基底.
设，则有
因为{}为空间的一个基底，所以，解得，
故
题型二：利用空间向量解决立体几何问题
2.如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，．
(1)求的长；
(2)证明：平面；
(3)求直线与AC所成角的余弦值．
解析：（1）解：由空间向量的运算法则，可得，
所以
，
所以，即的长为.
（2）解：由向量的运算法则，可得，，
则
，
所以，所以.
因为底面是边长为的正方形，所以，
因为平面，
所以平面.
（3）因为，
所以，
，
且
，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为.
小结：基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤
(1)设出基向量．
(2)用基向量表示出直线的方向向量．
(3)用求长度，用，用求夹角．
(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题．
变式训练：
1．已知四面体，，．求证：．
证明：如图，，，
，
，．
2．如图，在平行六面体中，，，，
．求与所成角的余弦值．
解析：设，，
．
又，
．
．
．所以与所成角的余弦值为0．
1.（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）
下列可使非零向量a,b,c构成空间的一组基底的条件是（ ）
A．a,b,c两两垂直B．b=λc
C．a=mb+ncD．a+b+c=0
解析：对于A，因为非零向量a,b,c两两垂直，所以非零向量a,b,c不共面，可构成空间的一组基底，故A正确；
对于B，b=λc，则b,c共线，又空间中任意两个向量是共面的，所以a与b,c共面，故B错误；
对于C，由共面定理可知非零向量a,b,c共面，故C错误；
对于D，a+b+c=0即a=−b−c，故由共面定理可知非零向量a,b,c共面，故D错误.
2．（24-25高二上·山西·阶段练习）
已知{a,b,c}为空间的一组基底，对下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A．a+b，b+c，a−cB．a⃗+2b→，b，a+c
C．2a+b，b+2c，a+b+cD．a+c，b+2a，b−2c
解析：对于A：a+b= b+c+a−c，不能构成基底，故A错误；
对于C：a+b+c=122a+b+b+2c，不能构成基底，故C错误；
对于D：a+c=12b+2a−12b−2c，不能构成基底，故D错误；
对于B：令a⃗+2b→=xb⃗+ya⃗+c⃗，可得a⃗+2b→=xb⃗+ya⃗+yc⃗， 因为{a,b,c}为空间的一组基底，所以不存在x,y使得等式成立，故B正确
3．（24-25高二上·河北邢台·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．若非零空间向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
B．若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c必定共面
C．若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线
D．已知a,b,c是空间向量的一个基底，则c,a+b,a−b也是空间向量的一个基底
解析：易知正方体ABCD−A1B1C1C1中，AB⊥AD，AA1⊥AD，但AB⊥AA1，AB不平行于AA1，故A错误；
三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确；
a，b与任何一个向量都不能构成一个基底，即a，b与任何一个向量均共面，则a，b必共线，C正确；
若c，a+b，a−b共面，则c=λa+b+μa−b=λ+μa+λ−μb，可知a，b，c共面，与a,b,c为基底矛盾，故c,a+b,a−b可以构成空间向量的一个基底，D正确，
4．（24-25高二上·河北保定·期末）在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=a，AC=b，AA1=c，BC的中点为O，则OB1=（ ）
A．−12a+12b+cB．12a−12b+c
C．−12a+12b−cD．12a+12b−c
解析： 易知OB1=OB+BB1=12CB+BB1=12AB−AC+AA1=12a−b+c=12a−12b+c.
故选：B
5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）
已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量p=a−2b−4c，a+b,a−b,c是空间的另一个基底，用基底a+b,a−b,c表示向量p= .
解析： 设p=x(a+b)+y(a−b)+zc，
依题意，p=x+ya+x−yb+zc=a−2b−4c，而a,b,c空间的基底，
则x+y=1x−y=−2z=−4，解得x=−12,y=32,z=−4，
所以p=−12(a+b)+32(a−b)−4c．
如果空间中的三个向量a,b,c ，那么对空间中的 向量p，存在 有序实数组(x,y,z)，使得 .
表达式xa+yb+zc一般称为向量a,b,c的 或 .
答案：不共面 任意一个 唯一的 新型组合 线性表达式
2．基与基向量
如果三个向量e1,e2,e3 ，那么空间的每一个向量都可由向量e1,e2,e3线性表示．我们把{e1,e2,e3}称为空间的一组 ，e1,e2,e3叫作 ．向量e1,e2,e3都叫做 ．
答案： 不共面 基 基底 基向量
3．空间向量的正交分解
（1）单位正交基底: 如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫作单位正交基底，常用 表示.
（2）正交分解: 把一个空间向量分解为 的向量，叫作把空间向量进行正交分解.
答案： 不共面 1 三个两两垂直
平面向量的基本定理
空间向量的基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得．
分类 定理
向量共线定理
平面向量基本定理
空间向量基本定理
表述形式
基向量个数
1
2
3
基向量要求
，不共线
，，不共面
对于实数（对、组）