初中北师大版（2024）第六章 平行四边形1 平行四边形的性质与判定第2课时教学设计

这是一份初中北师大版（2024）第六章 平行四边形1 平行四边形的性质与判定第2课时教学设计，共19页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.探索并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质，理解梯形的定义和等腰梯形的对称性.
2.能综合运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明.
3.通过观察、度量、猜想、证明等环节探索平行四边形的性质，在探索过程中进一步培养学生的逻辑推理能力和探索精神.
4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.

二、教学重难点
重点：探索并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质，理解两平行线间的距离.
难点：运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明.

三、教学过程
复习回顾
教师活动：教师提出问题，学生思考尝试回答.
问题：说一说，什么是平行四边形？
预设答案：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
如图，四边形ABCD是平行四边形，记作▱ABCD，读作“平行四边形ABCD”，线段BD就是▱ABCD的一条对角线.
设计意图：复习巩固平行四边形对边相等，对角相等的性质，为新课的学习做好知识储备.
探究新知
活动一：平行四边形的性质
上节课，我们学习了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质.
平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等.
追问：平行四边形除了边、角这两个基本要素的性质外，对角线有什么性质呢？
思考：将一个平行四边形ABCD绕点O旋转180°，通过旋转重合，你发现了哪些相等的线段？
预设答案：相等的线段：AD=BC，AB=CD，OA=OC，OB=OD.
提问：你能提到什么结论呢？
猜想：平行四边形的对角线互相平分.
追问：你能证明这个结论吗？
教师活动：教师引导学生先根据结论写出已知、求证.然后再仿照上一节课的思路，尝试通过证明三角形全等来证明结论.教师可先带领学生分析证明的思路，明确要证明的结论后，引导学生思考如何证明结论成立？待学生回答正确后，进一步引导，如何证明三角形全等？再从已知条件出发，找寻证明三角形全等的条件.分析完思路后，先让学生自己完成证明的过程，教师再PPT展示规范的书写过程.
已知：▱ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，
求证：OAOC，OBOD.
分析：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD(平行四边形的对边相等)，AB//CD(平行四边形的定义).
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO.∴△ABO≌△CDO.
∴OA=OC，OB=OD.
追问：还有其他证法吗？
预设答案：也可以证△ADO≌△CBO.
设计意图：让学生经历合作探究的过程，通过旋转图形得出平行四边形的特点；培养学生发现问题，解决问题和直观想象能力.最后通过证明环节得到平行四边形的性质定理，进一步渗透转化的思想，让学生体会图形性质探究的一般思路.
总结：平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分.
几何语言表示为：
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC，OB=OD.
设计意图：让学生熟悉平行四边形性质定理的文字语言、几何语言以及推理的基本模式，加深学生对数学语言与数学符号之间的转化.
活动二：梯形的定义及性质
尝试·思考：还记得小学学过的梯形的 “样子” 吗 ? 画一画，将它与平行四边形比较，并试着给出梯形的定义.
设计意图：通过类比平行四边形的定义得出梯形的定义，加深印象.
总结： 梯形的定义：
一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形.
如图，平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底.不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形.
尝试·交流：等腰梯形是轴对称图形吗? 将等腰梯形纸片折一折，你有哪些发现？与同伴进行交流.
结论：等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形在同一底上的两个角相等.
设计意图：通过动手操作，理解掌握等腰梯形的对称性.
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【教材例题】
例1：已知：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：OE=OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO(平行四边形的对角线互相平分)，
AD//BC(平行四边形的定义).
∴∠ODE=∠OBF，∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF(ASA)，∴OE=OF.
【经典例题】
例2：已知，▱ABCD，AB=8cm，BC=10cm，∠B=30°.求▱ABCD的面积.
分析：要求▱ABCD的面积，只需求▱ABCD的高，过点A作AE⊥BC，由含30°角的直角三角形的性质求AE的长.
证明：过点A作AE ⊥ BC，垂足为点E，如图.
在Rt△ABE中，∵∠B= 30°，AB = 8cm，
∴cm.
∴ S□ABCD = BC•AE = 10×4 = 40(cm2).
设计意图：用平行四边形的性质进行推理论证和有关线段长度的计算，培养学生的逻辑推理能力和运算能力.
课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【自选练习】
1.下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是轴对称图形；
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.
其中正确说法的序号是 .
答案：①③④.
2.已知▱ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OBOD，ABCD，ADBC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，
∴ABAD5cm，
又∵▱ABCD的周长为60cm,
∴ABAD30cm.
则ABCD17.5cm，ADBC12.5cm.
提示：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.
3.在▱ABCD中，AB=3，AD=22 ，∠B=135°，求▱ABCD的面积.
解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD于点E.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD=BC=22.
∴∠ABE=∠BED=90°，
又∵∠B=135°，∴∠CBE=45°.
在Rt△BCE中，BE=CE，BE2+CE2=BC2,
∴ 2BE2=8，BE=2.
∴S▱ABCD=AB·BE=6.
4.如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点，试判断线段BE，DF的关系并证明你的结论.
解：BEDF，BE//DF.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OAOC，OBOD.
∵点E，F分别是AO，CO的中点，∴ OEOF，
在△OFD和△OEB中，OEOF，∠DOF∠BOE，ODOB.
∴△OFD≌△OEB.∴BEDF，∠DFO∠BEO.
∴BE//DF.
【教材练习】
5.已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB的长分别为3，4，5，求其他各边及两条对角线的长度.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=3，OB=OD=4.
∴AC=OA+OC=3+3=6，BD=OB+OD=4+4=8.
在△AOB中，OA=3，OB=4，AB=5，∵3²+4²=9+16=25=5²，即OA²+OB²=AB²，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°.
∴∠BOC=90°，所以BC=AD=32+42=5.
∴其他各边的长度为5，两条对角线的长度分别为6和8.
6.如图，一块梯形玻璃损成三块，测量发现a∥b，∠1=110°，∠4=125°，求∠2和∠3的度数.
解：∠2=180°−∠1=180°−110°=70°，
∠3=180°−∠4=180°−125°=55°.
设计意图：培养学生的应用意识，对所学性质定理的巩固应用，鼓励学生充分表达自己证明思路，帮助学生不断完善知识结构，培养学生思维的发散性．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.