初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 平行四边形的性质与判定优质第2课时学案

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 平行四边形的性质与判定优质第2课时学案，共7页。学案主要包含了素养目标，情境导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第 2 课时 平行四边形对角线的性质
【素养目标】
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质，锻炼学生的观察能力、图形处理能力，学会用数学思维理解与解释世界．
2.通过利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题，培养数学应用意识，发展数学语言表达能力．
3.掌握梯形、等腰梯形的定义及等腰梯形的轴对称性与角的性质．
重点：掌握平行四边形对角线互相平分的性质和等腰梯形的性质．
难点：利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题．
【情境导入】
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗?为什么?
[知识要点]
平行四边形的性质
边： .
角： .
上节课我们研究了平行四边形的边和角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢?
【合作探究】
探究点：平行四边形的对角线的性质
[合作探究]
如图，在□ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O.
猜一猜：OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关
提问：这个结论正确吗？证明看看！
证一证：已知：如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O.
求证：OA = OC，OB = OD.
[知识要点]
平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.
几何语言：
∵□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
∴ OA = OC，OB = OD.
[练一练]
1. 在 □ ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，OA = 12 cm，OB = 19 cm，
则 AC = cm，BD = cm.
2.如图，□ ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，∠ADB＝90°，OA = 6，
OB = 3，求 AD 和 AC 的长.
[典例精析]
例1 已知：如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 交于点O. 过点 O 作直线 EF，分别交 AB，CD 于点 E，F.
求证：OE = OF.
思考：改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗?
1. 请判断下列图中，OE = OF 还成立么？
总结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
[回顾导入]
你能利用平行四边形的性质判定老人这样分地合理吗?

总结：平行四边形的两条对角线把平行四边形分成 4 个面积相等的小三角形.
2. 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？
思考：如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？
总结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
[尝试·思考]
还记得小学学过的梯形的 “样子” 吗 ? 画一画，将它与平行四边形比较，并试着给出梯形的定义。
[知识要点]
一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。
如图，平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，
较长的底通常称为下底。不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形.
[尝试·交流]
等腰梯形是轴对称图形吗? 将等腰梯形纸片折一折，你有哪些发现? 与同伴进行交流。
归纳：等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形在同一底上的两个角相等。
当堂反馈
1.如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，则图中与△OBC面积相等的三角形(不包括自身)有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
第1题图
2.如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，则下列结论中不正确的是( )
A.∠ABC＝∠ADCB.OA＝OC
C.AB＝CDD.AC＝BD
第2题图
3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＋BD＝10，BC＝4，则△BOC的周长为( )
A.8B.9C.10D.14
第3题图
4.在▱ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，则：
(1)△BCO与△ABO的周长之差为 ；
(2)对角线BD的取值范围是 .
5.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过O作直线交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的面积为30，则阴影部分的面积是 .
第5题图
6.如图，在▱ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O的直线交AD的延长线于点E，交CB的延长线于点F，求证：DE＝BF.
参考答案
【合作探究】
探究点：平行四边形的对角线的性质
[合作探究]猜一猜：OA = OC，OB = OD
提问：这个结论正确吗？证明看看！
证一证：证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD = BC，AD∥BC.
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
∴△AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA = OC，OB = OD.
[练一练]
1. 24 38
2.解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD = 3， AC = 12OA = 12．
∵ ∠ADB＝90°，
∴ 在 Rt△ADO 中，
[典例精析]
例1 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ DO = OB，AD∥BC.
∴∠ODE = ∠OBF，∠DOE = ∠BOF.
∴△DOE≌△BOF(AAS).
∴ OE = OF.
思考：1. 同例1 易证明 OE = OF 还成立.
[回顾导入]△AOD≌△COB → S1 = S3
△AOB≌△DOC → S2 = S4
△AOB与△AOD → S1 = S2
等底同高
∴ S1 = S2 = S3 = S4
2. 解：设直线 EF 交 AD，BC 于点 N，M.
∵AD∥BC，∴∠NAO =∠MCO，∠ANO =∠CMO.
又∵ AO = CO，∴△NAO≌△MCO.
∴S四边形ANMB = S△NAO + S△AOB + S△MOB = S△MCO + S△AOB + S△MOB
=S△AOB + S△COB = 12 S□ABCD .
∴ S四边形ANMB = S四边形CMND.
即平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等.
思考：易求得平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等.
当堂反馈
1.C
2.D
3.B
4.(1) 2 cm ；(2) 2 cm＜BD＜14 cm
5. 15 .
6.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC.在△AOE和△COF中，∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴AE＝CF.
∴AE－AD＝CF－BC，即DE＝BF.