高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的应用(一)导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的应用(一)导学案，共6页。学案主要包含了知识点梳理，题型归纳目录，典型例题，方法技巧与总结，同步练习等内容，欢迎下载使用。
知识点一：一次函数模型的应用
1．一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R．
知识点二：二次函数模型的应用
1．二次函数的一般形式是其定义域为R．
2．若，则二次函数在时有最小值；
若，则二次函数在时有最大值．
3．建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答．
知识点三：解决实际应用问题
1．解决实际应用问题的过程
2．解决实际应用问题的步骤：
第一步：阅读理解，认真审题
读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．
第二步：引进数学符号，建立数学模型
设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果．
第四步：再转译为具体问题作出解答．
3．函数模型的综合应用
函数的应用题是利用函数模型解决实际问题．
在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段：
第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的．
第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素．
第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述．
第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果．
第五阶段，解释数学模型的结果．
根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题．求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等．
【题型归纳目录】
题型一：一次函数模型
题型二：二次函数模型
题型三：分段函数模型
题型四：幂函数模型
题型五：耐克函数模型
【典型例题】
题型一：一次函数模型
例1．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
【答案】BD
【解析】在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；
由题中图象知，B正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；
当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确.
故选：BD
【方法技巧与总结】
关键是准确读取题中所给图象，从中提炼出一次函数模型以及一些关键点，并用待定系数法确定一次函数的解析式．
例2．（2022·全国·高一课时练习）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是yx+3和x，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点A的横坐标为 __．
【答案】6
【解析】设A的横坐标为m，则A的坐标为（m，0），∵屋顶所在直线方程分别是yx+3和
yx，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，∴，解得m＝6，故点A的横坐标为6．故答案为：6．
例3．（2022·全国·高一课时练习）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示：
未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）.
(1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；
(2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.
【解析】（1）若选择模型（1），将以及代入可得
解得，即，经验证，符合题意；
若选择模型（2），将以及代入可得，
解得，即，
当时，，故此函数模型不符题意，
因此选择函数模型（1），其解析式为（且为整数）
（2）记日销售利润为，
当且为整数时，，
对称轴，故当时，利润取得最大值，且最大值为392（百元）
当且为整数时，，
当时，利润单调递减，
故当时取得最大值，且最大值为（百元）
所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型.
题型二：二次函数模型
例4．（2022·全国·高一课时练习）如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.
(1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数；
(2)当水深为1.2m时，求横断面中水的面积.
【解析】（1）依题意，横断面中的水面是下底为2m，上底为m，高为h m的等腰梯形，
所以.
（2）由（1）知，，，
所以当水深为1.2m时，横断面水中的面积为3.84.
【方法技巧与总结】
建立目标函数及求最值的方法，配方法是求二次函数最值的常用方法．
例5．（2022·全国·高一课时练习）如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年月日，天气：阴；能见度：1.8千米；时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”.
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示.其中：“时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数：，是常数）刻画.
(1)求值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
(2)时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？
(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）
【解析】（1）到的时间是30分钟，则，即，
潮头从甲地到乙地的速度（千米分钟）.
（2）因潮头的速度为0.4千米分钟，则到时，潮头已前进（千米），
此时潮头离乙地（千米），设小红出发分钟与潮头相遇，
于是得，解得，
所以小红5分钟后与潮头相遇.
（3）把，代入，得，解得，，
因此，又，则，
当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米分，即时，，解得，
则当时，，
即从分钟时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米分的速度匀速追赶潮头，
设小红离乙地的距离为，则与时间的函数关系式为，
当时，，解得：，因此有，
最后潮头与小红相距1.8千米，即时，有，
解得，（舍去），
于是有，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时（分钟），
因此共需要时间为（分钟），
所以小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.
例6．（2022·全国·高一课时练习）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2.
(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
【解析】（1）依题意：可设，，
∵，，
∴，.
（2）设投资债券类产品万元，
则股票类投资为万元，年收益为万元，
依题意得：，
即，令，
则，，
则，，
所以当，即万元时，
收益最大，万元.
例7．（2022·全国·高一专题练习）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．
(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
【解析】（1）设篱笆的一面AB的长为 x 米，则，
由题意得，，
解得，
，
，
，
所以，的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）由题意得，
时， S 取得最大值，此时，，
所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．
例8．（2022·全国·高一专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
【解析】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；
当且仅当 ，即 时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.
（2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则 ，
因为，则，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
题型三：分段函数模型
例9．（2022·全国·高一课时练习）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当时，v的值为2；当时，v是关于x的一次函数.当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
【解析】（1）依题意，当时，；
当时，是关于x的一次函数，假设，
则，解得，
所以.
（2）当时，；
当时，，
当时，取得最大值.
因为，所以当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5.
【方法技巧与总结】
分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者．分段函数应用题是高考命题的热点．
例10．（2022·河南·范县第一中学高一阶段练习）某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？
(2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
(3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）
【解析】(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为元时，一次订购量为个，
则.
(2)当时，；
当时，；
当时，.
(3)设工厂获得的利润为元，则，
即销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是元.
例11．（2022·全国·高一专题练习）2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．
【解析】（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，
所以，解得；
（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，
故只能选②:
代入数据可得：，解得，，
所以，（，）
（3）由（2）可得，，
所以，，
所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，有最小值，且为121；
当，时，为单调递减函数，
所以当时，有最小值，且为124，
综上，当时，有最小值，且为121元，
所以该商品的日销售收入最小值为121元．
例12．（2022·全国·高一课时练习）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
【解析】（1）当产量小于或等于50万盒时，，
当产量大于50万盒时，，
故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为
（2）当时，；
当时，，
当时，取到最大值，为1200．
因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．
例13．（2022·全国·高一课时练习）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
(1)求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.
【解析】（1）由题意知，当时，，所以a=300.
当时，；
当时，.
所以，
（2）当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；
当时，，
当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.
因为，
所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.
例14．（2022·全国·高一课时练习）随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.
(1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；
(2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：）
【解析】（1）由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），
代入，解得，
所以.
当时，，符合题意；
当时，令，解得，所以.
所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.
（2）由题意得，
当时，为增函数，所以，当时等号成立；
当时，
.
当且仅当，即时等号成立.
所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.
例15．（2022·全国·高一课时练习）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品(百台)，其总成本为万元，其中固定成本为万元，并且每生产台的生产成本为万元(总成本固定成本生产成本)，销售收入满足，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：
(1)要使工厂有盈利，产品数量应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？
【解析】（1）依题意，，设利润函数为，则

要使工厂有盈利，即解不等式，当时，
解不等式．即．
．
当时，解不等式，得．
．
综上，要使工厂盈利，应满足，
即产品应控制在大于台，小于台的范围内．
（2）时，，
故当时，有最大值．
而当时，所以，当工厂生产万台产品时，盈利最多．
又时，(元台)，故此时每台产品售价为(元台)．
题型四：幂函数模型
例16．（2022·全国·高一课时练习）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】由题可知加密密钥为，
由已知可得，当时，，
所以，解得，
故，显然令，即，
解得，即．
故选：A.
【方法技巧与总结】
幂函数模型为(，为常数，)，
在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题.
例17．（2022·河南三门峡·高一期末）某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.
（1）求的值；
（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？
【解析】设今年碳排放量为.
（1）由题意得，
所以，得.
（2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的，
则，
将代入得，
即，得.
故至少再过年，碳排放量不超过今年碳排放量的.
例18．（2022·全国·高一课时练习）为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造.三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是________
【答案】
【解析】设污水排放量平均每年降低的百分率为，则由题意可得，
，，得，
所以污水排放量平均每年降低的百分率为，
故答案为：
例19．（2022·全国·高一课时练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为该公司年总收入为亿元，预计每年总收入比前一年增加 亿元，所以年的总收入为亿元，
因为要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，
所以年通过理财业务的收入为亿元，所以，解得.故的值至少为，
故选：A.
题型五：耐克函数模型
例20．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
【答案】BC
【解析】当时，，
故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
故选：BC.
【方法技巧与总结】
耐克函数模型为，利用基本不等式或者图像法解决.
例21．（2022·全国·高一课前预习）某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？
【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y元，其中购买成本费为固定投入，设为c元，
则
，
当且仅当，即n=4时，y取得最小值且ymin=4000+c．
所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．
例22．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米
(1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？
(2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；
【解析】（1）设的长为米（）
是矩形
由，得
，解得或
即的取值范围为
（2）令，（），则
当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米
例23．（2022·云南·曲靖市沾益区第四中学高一阶段练习）某公司一年需要一种计算机元件8000个，每个电子元件单价为a元，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，每次单价不变，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为件，每个元件的库存费是一年2元．
（1）将公司每年总费用F表示成x的函数；
（2）请你帮公司核算一下，每年进货几次花费最小．
【解析】（1）由题意可知，n＝，F＝8000a+500n+2•x＝x+500•+8000a，即：F＝x++8000a；
（2）由（1）可知，F＝x++8000a＝+500n+8000a＝4000+8000a．
当且仅当，即n＝4时，总费用最少，故每年进货4次花费最小．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·全国·高一专题练习）甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多
C．甲比乙先到达终点D．甲、乙两人的速度相同
【答案】C
【解析】结合已知条件可知，甲乙同时出发且跑的路程都为，故AB错误；
且当甲乙两人跑的路程为时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大，
故C正确，D错误.
故选：C.
2．（2022·全国·高一课时练习）向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当容器是圆柱时，容积V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D不满足条件；
由函数图象可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，
∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小，
∴A、C不满足条件，而B满足条件.
故选：B．
3．（2022·全国·高一单元测试）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位
【答案】D
【解析】设每生产单位试剂的成本为，
因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，
职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，
则，
当且仅当，即时取等号，
满足，
所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．
故选：D．
4．（2022·全国·高一课时练习）某产品的总成本y万元与产量x（台）之间的关系是， ，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（ ）
A．3台B．5台C．6台D．10台
【答案】A
【解析】依题意， ，即，
解得或 （舍去），∵，∴.
∴生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是3（台）．
故选：A．
5．（2022·全国·高一课时练习）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A．30件B．60件C．80件D．100件
【答案】B
【解析】根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当，即时，取得最小值，
时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：B
6．（2022·全国·高一课时练习）甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是（ ）
A．v甲＞v乙B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙D．大小关系不确定
【答案】B
【解析】设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，
由平均变化率的几何意义知，
s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，
s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.
因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．
故选：B
7．（2022·全国·高一课时练习）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发分钟.乙骑行分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．乙的速度为米/分钟B．分钟后甲的速度为米/分钟
C．乙比甲晚分钟到达地D．、两地之间的路程为米
【答案】C
【解析】因为乙比甲早出发分钟，由图知：乙的速度为米/分钟，故选项A正确；
设甲的原速度为，因为，解得：米/分钟，
所以分钟后甲的速度为米/分钟，故选项B正确；
当时，甲到达地，此时乙距离地还有米，所以还需要分钟，所以乙比甲晚分钟到达地，故选项C
不正确；
、两地之间的路程为米，故选项D正确；
所以说法错误的是选项C，
故选：C.
8．（2022·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，当时，，
所以当时，；
当时，；
当时，.
综上，函数，
在时的解析式等价于.
根据奇函数的图像关于原点对称作出函数在上的大致图像如图所示，
观察图像可知，要使，，则需满足，
解得.
故选：B.
二、多选题
9．（2022·广东·江门市广雅中学高一期中）函数s=f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ）
A．函数s=f（t）的定义城为[-3，+∞）
B．函数s=f（t）的值域为（0，5]
C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应
D．当时，
【答案】BD
【解析】对于A：由图象可知：函数s=f（t）在没有图象，故定义城不是[-3，+∞），故A错误；
对于B：由图象可知函数s=f（t）的值域为（0，5]，故B正确；
对于C：由图象可知，当时，有3个不同的t值与之对应，故C错误；
对于D：由图象可知函数s=f（t）在上单调递增，
又当时，，则在上单调递增，故D正确；
故选：BD
10．（2022·全国·高一课时练习）某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（ ）
A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产
D．第三年后，年产量保持不变
【答案】AC
【解析】由题中函数图像可知，在区间上，图像是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确，
由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误，
在上，图像是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为，因此C正确，D错误.
故选：AC
11．（2022·全国·高一课时练习）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)､乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所示，则（ ）
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为
C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为
【答案】ABCD
【解析】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；
设甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，
代入点，可得，解得，
所以甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，故B正确；
当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为元，故C正确；
设当时，设与之间的函数关系式为
代入点，可得，解得，
所以当时，与之间的函数关系式为，故D正确.
故选：ABCD.
12．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（ ）
A．方程有三个根B．的单调减区间为和
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】AC
【解析】由的含义可得图象如下图所示，
由图象可知：
对于A，与有且仅有三个不同交点，即有三个根，A正确；
对于B，的单调递减区间为和，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，无最小值，D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．（2022·全国·高一课时练习）设奇函数的定义域为[－5，5].若当x∈[0，5]时，的图象如图，则不等式＜0的解集是________.
【答案】
【解析】利用函数的图象关于原点对称.
的解集为.
故答案为：
14．（2022·全国·高一课时练习）某商人将每台彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多了270元，则每台彩电原价是___________元.
【答案】2250
【解析】设每台彩电原价是x元，
由题意得：，
解得，
故答案为：2250
15．（2022·全国·高一课时练习）现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩粒；第二轮，甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩粒.则红豆和白豆共有________粒.
【答案】
【解析】设红豆有粒，白豆有粒，
由第一轮结果可知：，整理可得：；
由第二轮结果可知：，整理可得：；
当时，由得：（舍）；
当时，由得：（舍）；
当时，由得：，，
即红豆和白豆共有粒.
故答案为：.
16．（2022·河南南阳·高一期末）已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由题意得，即或，
的图象如图所示，
关于的方程有5个不同的实数根，
则或，解得，
故答案为：
四、解答题
17．（2022·全国·高一课时练习）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）当时，；
当时，.
所以
（2）当时，.
当时，取得最大值，且最大值为950.
当时，当且仅当时，等号成立.
因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.
18．（2022·全国·高一课时练习）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒
【解析】(1)当时，；
当时，设，
由已知得解得，
故函数的表达式为；
(2)依题意并由(1)可得，
当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20＝1200；
当时，，
∴当时，在区间(20，200]上取得最大值，
∵3333＞1200，
∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
19．（2022·全国·高一课前预习）某公司生产一种产品的固定成本为0．5万元，但每生产100件需要增加投入0．25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R(x)＝5x－(0≤x≤5)万元，其中x是产品售出的数量(单位：百件)．
(1)把利润表示为年产量的函数f(x)；
(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？
【解析】(1)产量为x(百件)，
当0≤x≤5时，f(x)＝5x－－(0.5＋0.25x)；
当x＞5时，销售收入为万元，此时f(x)＝－(0.5＋0.25x)＝12－0.25x；
∴f(x)＝；
(2)当0≤x≤5时，f(x)＝＋10.78125；
当x＞5时，函数f(x)为单调递减函数．
∴当x＝4.75时，即年产量为475件时，公司所得利润最大．
20．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上.
（1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
（2）求矩形BNPM面积的最大值.
【解析】解 （1）如图所示，延长NP交AF于点Q，
所以PQ＝8－y，EQ＝x－4.
在中， ，所以.
所以，定义域为.
（2）设矩形BNPM的面积为S，
则，开口向下，且对称轴为，则在上单调递增，所以当x＝8时，S取最大值48，所以矩形BNPM面积的最大值为48.
21．（2022·全国·高一单元测试）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.
（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；
（2）现在公司准备投入0千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.
【解析】（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为，
对于生产芯片的，因为函数图像过点，所以
，解得，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为 ，
（2）设投入千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，则公司所获利用
，
所以当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元
22．（2022·全国·高一课时练习）参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数．
(1)①试解释与的实际意义；
②写出函数应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；
(2)现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．
【解析】(1)①表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；
表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上污渍的.
②函数的定义域为，值域为，在区间内单调递减.
(2)设清洗前衣服上的污渍为1，用单位的水，清洗一次后残留的污渍为，
则；
用单位的水清洗1次，则残留的污渍为，
然后再用单位的水清洗1次，则残留的污渍为，
因为，
所以当时，，此时两种清洗方法效果相同；
当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少；
当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少.
第天
1
3
10
30
日销售量（百件）
2
3
x
10
20
25
30
110
120
125
120