人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）学案

【新教材】3.4 函数的应用（一）（人教A版）

1、能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题；

2、感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性．

重点：运用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的处理实际问题；

难点：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．

一、 预习导入

阅读课本93-94页，填写。

1．常见的数学模型有哪些?

(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);

 (2 )反比例函数模型:f(x)=+b(k,b为常数,k≠0);

(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);

(4)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);

(5)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.

2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?

提示:第一步:分析、联想、转化、抽象;

第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题;

第三步:解答数学问题,求得结果;

第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.

而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质.        （     ）                                   

(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．   （     ）                      

2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为              (　　)                           

A．y＝0.2x(0≤x≤4 000) 

B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)

C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)

 D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)

3．某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)＝－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃.

题型一    一次函数与二次函数模型的应用

例1 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒(　　)

A.2 000套 B.3 000套     C.4 000套 D.5 000套

(2)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.

①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;

②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;

③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

跟踪训练一

1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:

①买一个茶壶赠一个茶杯;

②按总价的92%付款.

某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?

2、某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120 吨(0≤t≤24).

①从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨?

②若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.

题型二   分段函数模型的应用

例2　一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．

(1)求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；

(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象．

跟踪训练二

1.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t- t2(万元).

(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;

(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?

1．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：

要使收入每天达到最高，则每间应定价为(  )

A．20元          B．18元

C．16元           D．14元

2．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(  )

A．y＝20－2x(x≤10)   B．y＝20－2x(x＜10)

C．y＝20－2x(5≤x≤10)   D．y＝20－2x(5＜x＜10)

3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝,其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(  )

A．15         B．40           C．25         D．130

4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本(单位：万元)为C(x)＝x2＋2x＋20.已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(  )

A．36万件   B．22万件

C．18万件   D．9万件

5．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．

6．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元．

(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？

答案

小试牛刀

1．（1）√  （2）√ 

2．C    

3．8

自主探究

例1 【答案】（1）D    （2）见解析

【解析】(1)因利润z=12x-(6x+30 000), 所以z=6x-30 000,

由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.

 (2)①根据题意,得y=90-3(x-50),

化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).

②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.

所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).

③因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.

又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.

所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.

跟踪训练一

【答案】见解析

【解析】　1. 解:由优惠办法①可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).

由优惠办法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).

y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),

令y1-y2=0,得x=34.

所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;

当4≤x<34时,y1<y2,即优惠办法①更省钱;

当x>34时,y1>y2,优惠办法②更省钱.

 2. 解:①设t小时后蓄水池中的存水量为y吨,

则 ,

令则即

所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,

∴当x=6,即t=6时,ymin=40,

即从供水开始到第6小时时,蓄水池存水量最少,只有40吨.

②令400+10x2-120x<80,

即x2-12x+32<0,

解得4<x<8,即4<<8,

因为所以每天约有8小时出现供水紧张现象.

例2　【答案】见解析

【解析】解：（1）

阴影部分的面积为

阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km.

（2）获得路程关于时间变化的函数解析式： 

图像如图

跟踪训练二

【答案】  见解析

【解析】解:(1)当0<x≤5时,产品全部售出,

当x>5时,产品只能售出500件.

所以,

所以当x=4.75(百件)时,f(x)有最大值,

f(x)max=10.781 25(万元).

当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).

故当年产量为475件时,当年所得利润最大.

当堂检测 

1-4．CDCC　

5. 6

6．【答案】(1) 一共租出了85辆；

(2) 最大月收益为324 560元．此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元).

【解析】解：(1)租金增加了900元，900÷60＝15，

所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．

(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100－x)辆．

租赁公司的月收益为y元，

y＝(3 000＋60x)(100－x)－160(100－x)－40x，

其中x∈[0,100]，x∈N，

整理，得y＝－60x2＋3 120x＋284 000

＝－60(x－26)2＋324 560，

当x＝26时，y＝324 560，

即最大月收益为324 560元．

此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元).