必修 第一册3.4 函数的应用（一）学案设计

3.4函数的应用（一）

【学习目标】

1.初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题的过程和方法；

2.在实际问题与数学问题的转化过程中，提升数形结合的能力，发展数学抽象的素养；

3.在建立数学模型解决实际问题的过程中，提升数学运算和数学建模的素养.

【自主学习】

函数实际应用--一般步骤

第一步：审题

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.

第二步：        

然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.注意函数自变量取值范围.

第三步：求解

运用相关数学方法进行推理、运算，得出结果.

第四步：        

对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.

【小试牛刀】

1．稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额.每次收入不超过4000元的，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：

①每次收入不超过4 000元的：应纳税额=(每次收入额-800)×20%×(1-30%)；

②每次收入在4 000元以上的：应纳税额=每次收入额×(1-20%)×20%×(1-30%).

已知某人出版一份书稿，共纳税280元,则这个人应得稿费(扣税前)为多少元？

2．某桶装水经销部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.

请根据以上数据作出分析，这个经销部怎样定价才能获得最大利润？

3．牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只与实际蓄养量x只和空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．

(1)写出y关于x的函数关系式；

(2)求羊群年增长量的最大值；

(3)当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.

【答案】

1．解：设这个人应得稿费(扣税前)为x元.

当x≤4 000时,纳税额=(x-800)×20%×(1-30%)=280,解得x=2 800.

当x>4 000时,纳税额=x(1-20%)×(1-30%)×20%=280,解得x=2 500(舍去).

综上，x=2 800.

故这个人应得稿费(扣税前)为2 800元.

2. 解：根据表中信息，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶。设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为

480-40（x-1）=520-40x（桶）

由于x>0，且520-40x>0，即0<x<13，

于是可得y=(520-40x)x-200= -40x2+520x-200,0<x<13

易知，当x=6.5时，y有最大值

所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.

3. 解： (1)根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为,

故空闲率为1-,由此可得y=kx(1-) (0<x<m).

(2)对原二次函数配方,

得y= - (x2-mx)=

故当x=时,y取得最大值.

(3)由题意知,为给羊群留有一定的生长空间，

则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，

所以0<x+y<m.

因为当x=时，ymax= ,

所以0<+<m,解得 -2<k<2

又因为k>0，所以0<k<2.