2026年小升初数学考点专项训练--考点65：勾股定理及其它问题

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(2)内弦图证明勾股定理：
①赵爽的“弦图”(外弦图)：
对比观察右边两幅图可以看出：从两个相等的大正方形(边长都为(a+b))中减去4块一样的直角三角形后，剩下的面积是相等的，所以c=a²+b².赵爽的证明中只用到了一个人所共知的数学规律：等量减等量差相等.
a
b
c
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(3)常见勾股(整)数：
注：勾股定理计算的常用技巧：
①倍缩倍变常见勾股数；
②巧用平方差公式，常见于求直角边长.
【例1】直角三角形ABC的两直角边AC=8cm，BC=6cm，以AC，BC为边向外分别作正方形ACDE与BCFG，再以AB为边向上作正方形ABMN，其中N点落在DE上，BM交CF于点T。图中阴影部分(三角形ANE、三角形NPD与梯形BTFG)的总面积等于多少?
【例2】如图，阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，大正六角星形面积是多少平方厘米?
【例3】将图1中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为55的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 。

1.【24广大附入学5】如图，两个长方形大小相同，长和宽分别为12和8，则阴影部分面积为______。
2.【24广大附入学2】在一个正方形中，有两个带阴影的小正方形，那么较小的一个带阴影的小正方形的面积与较大的一个带阴影的小正方形的面积的比是 .

3.【23广附大奥入学1】如图，梯形ABCD的两底BC=2AD，O为其内部一点，使得△AOD的面积与△BOE的面积之和是4，E是OC的中点，则梯形ABCD的面积是__________。
4.【23广附黄埔入学2】如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10平方厘米和12平方厘米，已知梯形上、下底长的比是2:3，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?
5.【24广大附入学4】(勾股定理)科技小组演示自制机器人，若机器人从点A向南行走1.2米，再向东行走1米，接着又向南行走1.8米，再向东行走2米，最后又向南行走1米到达B点，则B点与A点的距离是_米。
考点65：勾股定理及其它问题
(一)勾股定理
(1)在直角三角形ABC中，两直角边长为a、b，斜边长为c，则有c=a²+b2.
(2)内弦图证明勾股定理：
①赵爽的“弦图”(外弦图)：
对比观察右边两幅图可以看出：从两个相等的大正方形(边长都为(a+b))中减去4块一样的直角三角形后，剩下的面积是相等的，所以c=a²+b².赵爽的证明中只用到了一个人所共知的数学规律：等量减等量差相等.
(3)常见勾股(整)数：a
b
c
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注：勾股定理计算的常用技巧：
①倍缩倍变常见勾股数；
②巧用平方差公式，常见于求直角边长.
【例1】直角三角形ABC的两直角边AC=8cm，BC=6cm，以AC，BC为边向外分别作正方形ACDE与BCFG，再以AB为边向上作正方形ABMN，其中N点落在DE上，BM交CF于点T。图中阴影部分(三角形ANE、三角形NPD与梯形BTFG)的总面积等于多少?
【解析】如图所示，
根据勾股定理可得，
AC²+BC²=AB²，
即S正方形ACDE+S正方形BCFG=S正方形ABMN，
即S阴影+S①+S②=S①+S②+S③+S④，
所以S阴影=S③+S④，
因为∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3，
在△ABT和△BMP中，∠3=∠1，∠ABM =∠BMP，则两个三角形的三个内角度数相同，而AB=BM，即两个三角形较长直角边相等，
则S△ABT=S△BMP，即S①+S③=S①+S④，则S③=S④
S阴影=2S③=2×6×8÷2=48(cm²)。
【例2】如图，阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，大正六角星形面积是多少平方厘米?
【解析】阴影部分小正六角星可分成12个面积相等的小三角形。
每个小三角形的面积是16÷12=(cm²)
大正六角星面积是×(6+12)×2=×18×2=48(cm²)
【例3】将图1中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为55的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 。

【答案】46【解析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y－x;
由图1中长方形的周长为36，可得，y+2(x+y)+(2x+y)=18，解得：x+y=，
图2中长方形的周长为55，所以AB+2(x+y)+2x+y+y－x=，所以AB=－3x－4y，
根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
所以2(AB+CD)=2=2
1.【24广大附入学5】如图，两个长方形大小相同，长和宽分别为12和8，则阴影部分面积为______。
【解析】
所以EH=9
所以S阴影=S长方形ABCD－S△AEH－S△ADH
=12×8－×8×9－×12×1
=96－36－6
=54
2.【24广大附入学2】在一个正方形中，有两个带阴影的小正方形，那么较小的一个带阴影的小正方形的面积与较大的一个带阴影的小正方形的面积的比是 .

【解析】较小正方形的面积：
较大正方形的面积：
3.【23广附大奥入学1】如图，梯形ABCD的两底BC=2AD，O为其内部一点，使得△AOD的面积与△BOE的面积之和是4，E是OC的中点，则梯形ABCD的面积是__________。
【点拨】连接BD，设O点到AD的距离为h₁，
到BC的距离为h₂，梯形高为h，则h₁+h₂=h。
【解析】4+4×2=12
则S△AOD =AD×h₁× S△BOC =BC×h₂×
E是OC的中点，OE=OC×
S△BOE=S△BOC×=BC×h₂××=(BC×)×h₂×=AD×h₂×
S△AOD+S△BOE =AD×h，×+AD×h₂×=AD×(h₁+h₂)×=AD×h×=4
即S△ABD=4
S△BCD=S△ABD×2=4×2=8
S梯形ABCD=4+8=12
4.【23广附黄埔入学2】如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10平方厘米和12平方厘米，已知梯形上、下底长的比是2:3，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?
【解析】如图，设AD为2x cm，BC为3x cm
△AOD，△OBC的高分别为h₁，h₂。
由①得：xh1，=10，
由②得：xh₂=12 xh₂=8，
即xh1+xh₂=10+8=18， x(h₁+h₂)=18，
又因为h₁+h₂=h(h为梯形的高)，所以xh=18，
S梯形ABCD=(2x+3x)h=x×h=×18=45(cm²)，
S阴=45－10－12=23(cm²)。
6.【24广大附入学4】(勾股定理)科技小组演示自制机器人，若机器人从点A向南行走1.2米，再向东行走1米，接着又向南行走1.8米，再向东行走2米，最后又向南行走1米到达B点，则B点与A点的距离是_米。
【答案】5
【解析】如图所示，
AC²+BC²=AB²，AC=1.2+1.8+1=4(m)，
BC=1+2=3(m)，AB²=4²+3²=25=5²，
则A，B距离是5m。