2026年小升初数学考点专项训练--考点54：余数问题

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2.a，b除以c，如果余数相同，那么a与b的差能被c整除。
3.a与b的和除以c所得的余数，等于a，b分别除以c所得的余数之和（或这个和除以c的余数）。【当余数这和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c所得的余数】
4.a与b的乘积除以c所得的余数，等于a，b分别除以c所得的余数之和（或这个积除以c的余数）。【当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c所得的余数】
【例1】一堆苹果，用统一样式的袋子装袋，3个3个的装，最后剩下2个，5个5个的装，剩下2个，7个7个的装，也剩下2个，请问这堆苹果至少有多少个?
【例2】一个数除以5余2，除以7余3，被11除余7，满足条件的最小自然数是多少？
【例3】—个三位数被37除余17 ， 被36除余3， 那么这个三位数是多少？
【例4】(22008+2008²)除以7的余数是多少？
【例5】从1到1000中最多可以选出多少个数，使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和？
1.【2017·广雅】一个不为1的数除以2、3、5的余数都是1，这个数最小是 。
2.【2018·白云华附】一个数除以6或8都余2，这个数最小是 ；一个数去除160余4，去除240余6，这个数最大是 。
3.【2024·黄埔广附入学测2】有一个自然数除以33余12，除以43余7。那么这个自然数最小是 。
4.【2023·广附入学测4】有一盘水果，3个3个数余2个，4个4个数余3个，5个5个数余4个，6个6个数余5个，这个盘子里最少有 个水果。
5.【2023·太和广附入学测1】某校六年级(共3个班)的100多名学生排队，每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人，这个学校六年级共有 名学生。
6.【2023·太和广附入学测4】若干同学上体育课，排成4行多2人，排成5行多3人，排成6行多4人，则上体育课的同学最少有 人。
7.【2024·金广实验入学测2】把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789…2005，这个多位数除以9的余数是多少？
8.【2024·增城执信入学测】一个千位数字是1的四位数，当它分别被四个不同的质数相除时，余数都是1，满足条件的最大偶数是多少？
9.【2023·金广实验入学测2】有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，三个余数的和是25，这3个余数中最大的一个是多少？
10.【2024·白云实验入学测3】的个位数字是多少？
11.【23广大附大奥入学3】(余数问题)A=(2+1)×(2²+1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)×…×(2+1)，A除以11的余数为多少？
考点54：余数问题参考答案
1.余数小于除数。
2.a，b除以c，如果余数相同，那么a与b的差能被c整除。
3.a与b的和除以c所得的余数，等于a，b分别除以c所得的余数之和（或这个和除以c的余数）。【当余数这和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c所得的余数】
4.a与b的乘积除以c所得的余数，等于a，b分别除以c所得的余数之和（或这个积除以c的余数）。【当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c所得的余数】
【例1】一堆苹果，用统一样式的袋子装袋，3个3个的装，最后剩下2个，5个5个的装，剩下2个，7个7个的装，也剩下2个，请问这堆苹果至少有多少个?
——2019·白广附2
【解析】3×5×7+2=107（个） 答：这堆苹果至少有107个。
【例2】一个数除以5余2，除以7余3，被11除余7，满足条件的最小自然数为（ 227 ）。 ——2019·白广附2
【例3】—个三位数被37除余17 ， 被36除余3， 那么这个三位数是 831 。
——2017·广大附
【解析】设一个三位数被37除余17的商为a，则这个三位数可以写成：37×a+17=（36+1）×a+17=36×a+（a+17），由“被36除余3”，得出（a+17）被36除要余3．商只能是22（如果商更大的话，与题目条件“三位数”不符合）．
因此，这个三位数是37×22+17=831．
解答：设一个三位数被37除余17的商为a，
则这个三位数可以写成：37×a+17=(36+1)×a+17=36×a+(a+17)
因为“被36除余3”，所以(a+17)被36除要余3，商只能是22.
因此，这个三位数是37×22+17=831.
【例4】(22008+2008²)除以7的余数是 。 ——2024·金广实验分班测
【解析】21，2²，2³，2⁴，2⁵，2⁶…除以7的余数依次是2，4，1，2，4，1…循环周期为3，2008÷3=669……1，所以2008÷7的余数是2；2008÷7的余数是6，那么2008²÷7的余数为6²÷7的余数，是1，所以(2008+2008²)除以7的余数是2+1=3。
【例5】从1到1000中最多可以选出 个数，使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和。 ——2022·白云实验入学测2
【解析】要使取的数最多，必须使除数尽量小显然，自然数被3除，得到的余数可以分为3类，即余数是：0，1，2被3除余1的所有数，任两个数相加的和被3除余2，差能被3整除被3除余2的所有数也如此，即2+2=4，4÷3还是余1在1到1000中，被3除余1的有334个，余0，余2的各有333个因此取被3除余1的334个，这些数符合题意。
1.【2017·广雅】一个不为1的数除以2、3、5的余数都是1，这个数最小是 31 。
2.【2018·白云华附】一个数除以6或8都余2，这个数最小是 26 ；一个数去除160余4，去除240余6，这个数最大是 78 。
3.【2024·黄埔广附入学测2】有一个自然数除以33余12，除以43余7。那么这个自然数最小是 738 。
4.【2023·广附入学测4】有一盘水果，3个3个数余2个，4个4个数余3个，5个5个数余4个，6个6个数余5个，这个盘子里最少有 59 个水果。
5.【2023·太和广附入学测1】某校六年级(共3个班)的100多名学生排队，每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人，这个学校六年级共有 107 名学生。
6.【2023·太和广附入学测4】若干同学上体育课，排成4行多2人，排成5行多3人，排成6行多4人，则上体育课的同学最少有 58 人。
7.【2024·金广实验入学测2】把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789…2005，这个多位数除以9的余数是_____。
【解析】任意相邻的9个自然数的和一定是9的倍数，而2005÷9=222…7，则12345…19971998是9的倍数，余下的数之和为14014，然后根据各位数字之和除以9的余数就等于这个数除以9的余数，则余数为1。
8.【2024·增城执信入学测】一个千位数字是1的四位数，当它分别被四个不同的质数相除时，余数都是1，满足条件的最大偶数是 1996 。
【解析】1995=3×5×7×19，1995+1=1996。
9.【2023·金广实验入学测2】有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，三个余数的和是25，这3个余数中最大的一个是 20 。
【解析】(63+90+130)-25=258，258=2×3×43，因为余数和为25，则除数是43;63÷43=1……20，90÷43=2……4，130÷43=3……1，故余数中最大为20。
10.【2024·白云实验入学测3】的个位数字是 5 。
11.【23广大附大奥入学3】(余数问题)A=(2+1)×(2²+1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)×…×(2+1)，A除以11的余数为_____。
【答案】3【解析】A=(2+1)×(2²+1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)×…×(2²⁵⁶+1)=(2-1)×(2+1)×(2²+1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)×…×(22⁶+1)=(2²-1)×(2²+1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)×…×(22⁵⁶+1)=2⁵¹²-1
(2'-1)÷11的余数为1，(2²-1)÷11的余数为3，
(2³-1)÷11的余数为7，(2⁴-1)÷11的余数为4，
(2⁵-1)÷11的余数为9，(2⁶-1)÷11的余数为8，
(2⁷-1)÷11的余数为6，(2⁸-1)÷11的余数为2，
(2⁹-1)÷11的余数为5，(2¹⁰-1)÷11的余数为0，
(211-1)÷11的余数为1，(2¹²-1)÷11的余数为3，
每10个数字为一个循环，512=10×51+2，所以A除以11的余数为3。