2026年小升初数学考点专项训练--考点67：长方体与正方体

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长方体也属于棱柱的一种，所以棱柱的体积计算公式它也同样适用.即：长方体体积=底面积×高，即V=Sh.
立体几何里的欧拉公式：顶点数+面数一棱数=2.
【例1】一个长方体的长、宽、高之比为3:2:1若长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和，则长方体的表面积与正方体的表面积之比为 ，长方体的体积与正方体的体积之比为 。

【例2】一个长方体木块，锯掉5厘米后，得到一个正方体木块，表面积比原来减少100平方厘米，求原来长方体木块的表面积。

【例3】一个棱长是3厘米的正方体木块，各面中心凿出一孔面边长是1厘米的正方形柱孔，它余下的体积是多少立方厘米?表面积是多少平方厘米?

【例4】把若干个棱长为1厘米的小正方体木块搭成一个立体图形，从上面和前面看到的都是如图所示的图形，搭这个立体图形最多需要( )个这样的小正方体，最少需要( )个这样的小正方体。
A.9 B.8 C.7 D.5
1.【2018·华附黄华路】将1立方米的大正方体锯成体积是1立方厘米的小正方体，然后将它们一个一个连成一排，其总长度是 千米。
2. 【2019年·白广附3】一个正方体木块，棱长4 厘米，把它的外表涂成绿色，然后切割成棱长为1 厘米的小正方体。小正方体中，只有一面是绿色的有( )块，没有一面是绿色的有( )块。
3.【2019年·中大附4】已知一个正方体的体积是729立方厘米，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得截去后余下的体积是665立方厘米，则截去的每个小正方体的棱长是 。
4.【22天省实验入学3】如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积。
5.【23广大附大奥入学2】用8个相同的小正方体搭成一个几何体，从上面看它得到的平面图形如图所示，那么从左面看它得到的平面图形一定不是( )。
A. B. C. D.
6.【24广大附增城入学1】开开和心心面对面坐在桌子旁投一枚正方体的骰子(骰子的每组对面点数之和均为7)。每人都能看到骰子的三个面，开开看到的三个面上点数之和加上心心看到的三个面点数之和是20，已知开开和心心看到的面中只有一个面是相同的，那么骰子底面上的点数是_______。
考点67：长方体与正方体
注：长方体中共顶点的两个棱相互垂直；
长方体也属于棱柱的一种，所以棱柱的体积计算公式它也同样适用.即：长方体体积=底面积×高，即V=Sh.
立体几何里的欧拉公式：顶点数+面数一棱数=2.
【例1】一个长方体的长、宽、高之比为3:2:1若长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和，则长方体的表面积与正方体的表面积之比为 ，长方体的体积与正方体的体积之比为 。
【答案】11:12 3:4 【解析】设长方体的长、宽、高分别为3，2，1。则棱长和=(3+2+1)×4=24，而长方体棱长和等于正方体棱长和，则正方体棱长为24÷12=2。
S长方体=(3×2+3×1+2×1)×2=22，S正方体=2×2×6=24，S长方体:S正方体=22:24=11:12。
V长方体=3×2×1=6，V正方体=2×2×2=8，V长方体:V正方体=6:8=3:4。
【例2】一个长方体木块，锯掉5厘米后，得到一个正方体木块，表面积比原来减少100平方厘米，求原来长方体木块的表面积。
【解析】原长方体的宽与高是：100÷4÷5=5(厘米)
原长方体的长是：5+5=10(厘米)，
5×5×2+5×10×4=250(平方厘米)；
答：原来长方体木块的表面积是250平方厘米。
【例3】一个棱长是3厘米的正方体木块，各面中心凿出一孔面边长是1厘米的正方形柱孔，它余下的体积是多少立方厘米?表面积是多少平方厘米?
【解析】余下体积:33－12×3×3+12×2=20(立方厘米)
余下表面积:32×6－12×6+(3－1)×1×4×3=72(平方厘米)
答:它余下的体积是20立方厘米，表面积是72平方厘米.
【例4】把若干个棱长为1厘米的小正方体木块搭成一个立体图形，从上面和前面看到的都是如图所示的图形，搭这个立体图形最多需要( )个这样的小正方体，最少需要( )个这样的小正方体。
A.9 B.8 C.7 D.5
【答案】A C 吧 【解析】最多为，共2×4+1=9(个)
最少为或或或，共2×2+1×3=7(个)。
1.【2018·华附黄华路】将1立方米的大正方体锯成体积是1立方厘米的小正方体，然后将它们一个一个连成一排，其总长度是 10 千米。
2. 【2019年·白广附3】一个正方体木块，棱长4 厘米，把它的外表涂成绿色，然后切割成棱长为1 厘米的小正方体。小正方体中，只有一面是绿色的有( 24 )块，没有一面是绿色的有( 8 )块。
3.【2019年·中大附4】已知一个正方体的体积是729立方厘米，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得截去后余下的体积是665立方厘米，则截去的每个小正方体的棱长是 2厘米 。
4.【22天省实验入学3】如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积。
【解析】原正方体表面积：10×10×6=600(cm²)
外表面减少面积：4×4×4+2×3.14×=89.12(cm²)
内表面增加面积：(10－4)÷2=3(cm)
3×4×4×4+3.14×4×3×2+2×[4×4－3.14×=192+75.36+6.88=274.24(cm²)
实际表面积：600－89.12+274.24=785.12(cm²)
实际体积：10×10×10－4×4×10－4×4×(10－4)－3.14××(10－4)=1000－160－96－75.36=668.64(cm³)
5.【23广大附大奥入学2】用8个相同的小正方体搭成一个几何体，从上面看它得到的平面图形如图所示，那么从左面看它得到的平面图形一定不是( )。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】从左面看到的形状是A。 从左面看到的形状是B。
从左面看到的形状是D。
6.【24广大附增城入学1】开开和心心面对面坐在桌子旁投一枚正方体的骰子(骰子的每组对面点数之和均为7)。每人都能看到骰子的三个面，开开看到的三个面上点数之和加上心心看到的三个面点数之和是20，已知开开和心心看到的面中只有一个面是相同的，那么骰子底面上的点数是_______。
【答案】4
【解析】(20-7×2)÷2=6÷2=37-3=4
底面上的点数是4。
长方体
正方体
定义
底面是长方形的直棱柱
特殊的长方体
顶点
8
8
面
6(对面全等)
6(所有面都全等)
棱
12(4长4高4宽分别相等)
12(所有棱长都相等)
表面积
2(ab+bc+ac)
6a²
体积
abc
a3
长方体
正方体
定义
底面是长方形的直棱柱
特殊的长方体
顶点
8
8
面
6(对面全等)
6(所有面都全等)
棱
12(4长4高4宽分别相等)
12(所有棱长都相等)
表面积
2(ab+bc+ac)
6a²
体积
abc
a3