2026年小升初数学考点专项训练--考点55：自然数问题

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【例1】在有余数的除法中，除数是b，商是c(b、c不等于0)被除数最大是（ ）
A. B. C. D.
【例2】甲数除以乙数的商是5，余数是3，若甲数、乙数同时扩大10倍，那么余数为（ ）。
A.3 B.30 C.300
【例3】小明在计算有余数的除法时，把被除数472错看成427，结果商比原来小5，但余数恰巧相同，则该题的余数是多少？
【例4】计算1×8×15×22×…×2024的乘积末尾有多少个连续的0？
【例5】在有些多位数的各位数字中，奇数的个数比偶数的个数多，例如1370，36712等，则在1至10000中有多少个这样的多位数？
【例6】一堆球，如果球的总数是10的倍数，就平均分成10堆并拿走9堆；如果球的总数不是10的倍数，就添加不多于9个球，使球的总数成为10的倍数，再平均分成10堆并拿走9堆。这个过程称为一次“均分”。若球仅为一个，则不做“均分”。如果最初有球1234…19961997个，经过多少次“均分”和添加多少个球后，这堆球便仅余下一个球?
【例7】阿奇到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了。那么阿奇共买了多少包奶糖？
1.【2018·广附大奥】小明做一道减法题，由于写竖式计算时，少写了减数末尾的0，算得的结果是452，而这一道题正确的得数是290，这一题的减数是 。
2.【2019年·白广附(1)】一个数与它自己相加、相减、相除，其和、差、商相加的结果是21，则原来这个数是（ ）
3.【2018·中大附1】小红在计算除法时，把除数34写成了43，结果得到的商是3还余7，那么正确的商应是（ ）
A.3 B.2 C.4
4.【2019年·白广附(1)】一位同学在计算a+167 时，把167 当作16.7，那么（ ）。
A．和增加了10倍 B.和减少了10 倍
C.和增加了（167-16.7） D.和减少了（167-16.7）
5.【2018·广附黄华路】算式的积末尾连续有 个0。
6.【2018·南沙广附】马拉松长跑比赛中有100个运动员，分别给他们1至100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（ ）名
A、19 B、20 C、18 D、21
7.【2019·白广附(2)】在a÷b=4…1中，把a、b同时扩大3倍，商是（ ），余数是（ ）。
8.【2018·广附黄华路】有一个分数，如果分母加上6，分子不变，约分后为；
如果分子加上4，原分母不变，约分后为。原分数是 。
9.【2022·天省入学测1】数a除以数b，商17，余20，当数a，数b同时增加3倍时，余数是( )。
A.3 B.20 C.60 D.80
10.【2024·广附入学测3】甲、乙、丙三人去买书，乙买的书比甲买的书的本数的多3本，丙买的书比甲买的书的少1本，则三人合计最少买 本书。
11.【2023·广附入学测4】两个自然数相除，商是76，余数是4。已知被除数、除数、商和余数之和是2009，那么被除数是 。
12.【2023·广附入学测4】一个自然数既能写成9个连续自然数的和，又能写成10个连续自然数的和，还能写成11个连续自然数的和，那么这个自然数最小是多少？
13.【2024·金广实验入学测】一个自然数，可以分拆成3个连续自然数之和，也可以分拆成4个连续自然数之和，也可以分拆成7个连续自然数之和。这个自然数最小
是多少？
14.【24广大附入学3】上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，则上册书有多少页？
15.【23广大附入学4】一个自然数既能写成9个连续自然数的和，又写成10个连续自然数的和，还能写成11个连续自然数的和，那么这个自然数最小是多少？
16.【23广大附大奥入学3】有2020个数x₁，x₂，…，x2020，它们每个的值均取0，1，2之一，且x₁+x₂+…，+x2020=2081，(x₁)2+(x₂)2+…，+(x2020)2=2297，则(x₁)3+(x₂)3+…，+(x2020)3的值是多少？
17.【23广大附入学3】有一只小蚂蚁从一根弹性充分好的橡皮筋上的A点以每秒1厘米的速度向前爬行，从小蚂蚁开始爬行的时候算起，橡皮筋在2秒后、4秒后、6秒后、8秒后、10秒后……都均匀地伸长为原来的2倍。那么在开始爬行9秒后，这只小蚂蚁离A点多少厘米?
考点55：自然数问题参考答案
【例1】在有余数的除法中，除数是b，商是c(b、c不等于0)被除数最大是（ D ）
A. B. C. D. ——2016·广雅
【例2】甲数除以乙数的商是5，余数是3，若甲数、乙数同时扩大10倍，那么余数为（ B ）。 ——2018·中大附1
A.3 B.30 C.300
【例3】小明在计算有余数的除法时，把被除数472错看成427，结果商比原来小5，但余数恰巧相同，则该题的余数是 4 。 ——2023·执信入学测1
【解析】（472-427）÷5=9，472÷9=52…4，427÷9=47…4，余数是4
【例4】计算1×8×15×22×…×2024的乘积末尾有 72 个连续的0。
——2023·金广实验入学测1
【解析】这一列乘数的最后两个数为2017，2024，不含因数5。乘数15，50，85，…，2010中含有因数5，都除以5得到3，10，17，…，402;其中10，45，…，395还含有因数5，都除以5，得到2，9，16，…，79，其中30，65里还有因数5。第一次除掉+1=58(个)5，第二次除掉了+1=12(个)5，最后还剩两个因数5，即1×8×15×22×…×2024，含有58+12+2=72(个)因数5，由于其中含有的因数2是足够多的，因而乘积末尾连续的0的个数就等于因数5的个数，是72个。
【例5】在有些多位数的各位数字中，奇数的个数比偶数的个数多，例如1370，36712等，则在1至10000中有 3500 个这样的多位数。 ——2024·金广实验入学测
【解析】一位数不是多位数，故不满足条件；两位数中满足条件的数有：5×5=25(个);
三位数中满足条件的数分两种情况：①两位奇数，一位偶数有：5×5×5×3-5×5=375-25=350(个)；②三位奇数有：5×5×5=125(个)；
四位数中满足条件的数分两种：①三位奇数，一位偶数有：5×5×5×5×4-5×5×5=2500-125=2375(个)②四位奇数有：5×5×5×5=625(个)。
则1至10000中共有：25+350+125+2375+625=3500(个)。
【例6】一堆球，如果球的总数是10的倍数，就平均分成10堆并拿走9堆；如果球的总数不是10的倍数，就添加不多于9个球，使球的总数成为10的倍数，再平均分成10堆并拿走9堆。这个过程称为一次“均分”。若球仅为一个，则不做“均分”。如果最初有球1234…19961997个，经过多少次“均分”和添加多少个球后，这堆球便仅余下一个球? ——2024·金广实验入学测2
【解析】均分次数：
9×1+90×2+900×3+(1997-999)×4=9+180+2700+998×4=2889+3992=6881(次)
将1234…19961997的每一位数字补成9，补成9后的所有数字之和为6881×9=61929，将1，2，3，…，1997，1998按照1和1998，2和1997，…，两两分组，每组的两个数之和为1999，共分为999组，所以每组的两个数的所有数字之和都等于1+9+9+9=28，999×28=27972，则1234…19961997的各位数字之和为27972-(1+9+9+8)=27945，所以需要添加的球的数量为61929+1-27945=33985。
【例7】阿奇到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了。那么阿奇共买了 12 包奶糖。 ——2022·天省入学测1
【解析】设买巧克力糖a包，奶糖b包，水果糖5c包，酥糖5d包。则
13a+17b+7.8×5c+10.4×5d=360，整理得：13(a+b+3c+4d)+4b=360
设a+b+3c+4d为e，则13e +4b=360。
由于4b是4的倍数，360也是4的倍数，则13e也是4的倍数，
因为e=a+b+3c+4d，则e>b，13e+4b360，则e>，
而e又是4的倍数，所以e最小为24，
此时b为(360-13×24)÷4=12。
若e为28，28×13=364，364>360，不成立，
则e只能为24，此时b=12，即买了12包奶糖。
1.【2018·广附大奥】小明做一道减法题，由于写竖式计算时，少写了减数末尾的0，算得的结果是452，而这一道题正确的得数是290，这一题的减数是 180 。
2.【2019年·白广附(1)】一个数与它自己相加、相减、相除，其和、差、商相加的结果是21，则原来这个数是（ 10 ）
3.【2018·中大附1】小红在计算除法时，把除数34写成了43，结果得到的商是3还余7，那么正确的商应是（ C ）
A.3 B.2 C.4
4.【2019年·白广附(1)】一位同学在计算a+167 时，把167 当作16.7，那么（ D ）。
A．和增加了10倍 B.和减少了10 倍
C.和增加了（167-16.7） D.和减少了（167-16.7）
5.【2018·广附黄华路】算式的积末尾连续有 12 个0。
6.【2018·南沙广附】马拉松长跑比赛中有100个运动员，分别给他们1至100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（ A ）名
A、19 B、20 C、18 D、21
7.【2019·白广附(2)】在a÷b=4…1中，把a、b同时扩大3倍，商是（ 4 ），余数是（ 3 ）。
8.【2018·广附黄华路】有一个分数，如果分母加上6，分子不变，约分后为；
如果分子加上4，原分母不变，约分后为。原分数是 。
9.【2022·天省入学测1】数a除以数b，商17，余20，当数a，数b同时增加3倍时，余数是( D )。
A.3 B.20 C.60 D.80
10.【2024·广附入学测3】甲、乙、丙三人去买书，乙买的书比甲买的书的本数的多3本，丙买的书比甲买的书的少1本，则三人合计最少买 66 本书。
11.【2023·广附入学测4】两个自然数相除，商是76，余数是4。已知被除数、除数、商和余数之和是2009，那么被除数是 1904 。
12.【2023·广附入学测4】一个自然数既能写成9个连续自然数的和，又能写成10个连续自然数的和，还能写成11个连续自然数的和，那么这个自然数最小是 495 。
【解析】由题意知，这个数是9个连续自然数的中间数的9倍，是10个连续目然数自尾两数和的5倍，是11个连续自然数中间数的11倍，[9，5，11]=495，则这个自然数最小是495。
13.【2024·金广实验入学测】一个自然数，可以分拆成3个连续自然数之和，也可以分拆成4个连续自然数之和，也可以分拆成7个连续自然数之和。这个自然数最小
是 42 。
【解析】这个数可拆分成3个连续自然数之和，还可以拆分成7个连续自然数之和，说明这个数是3和7的倍数；还可以拆成4个连续自然数之和，说明这个数是2的倍数，最小为2×3×7=42。
14.【24广大附入学3】上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，则上册书有_____页。
【答案】153
【解析】两本书的页码所用的数字大致相当，1～9页，每页使用1个数字，共需9个数字；10～99页，每页使用2个数字，共需数字90×2=180(个);100～999页，每页使用3个数字，共需数字900×3=2700(个)，显然，两本书的页码均在100～999之间，而前99页两本书共用去(9+180)×2=378(个)数字，还剩下687-378=309(个)数字，上册书比下册书多的5页，每页均需3个数字作为页码，所以上册比下册多用3×5=15(个)数字，于是在剩下的309个数字中，上册用了(15+309)÷2=162(个)数字，即3位数的页码有162÷3=54(页)，所以上册书有99+54=153(页)。
15.【23广大附入学4】一个自然数既能写成9个连续自然数的和，又写成10个连续自然数的和，还能写成11个连续自然数的和，那么这个自然数最小是______。
【答案】495
【解析】由题意知，这个数是9个连续自然数的中间数的9倍，是10个连续自然数首尾两数和的5倍，是11个连续自然数中间数的11倍，[9，5，11]=495，则这个自然数最小是495。
16.【23广大附大奥入学3】有2020个数x₁，x₂，…，x2020，它们每个的值均取0，1，2之一，且x₁+x₂+…，+x2020=2081，(x₁)2+(x₂)2+…，+(x2020)2=2297，则(x₁)3+(x₂)3+…，+(x2020)3= 。
【答案】2729
【解析】(2297-2081)÷(2²-2)=216÷2=108(个)
2297+108×(2³-2²)=2297+108×4=2297+432=2729
17.【23广大附入学3】有一只小蚂蚁从一根弹性充分好的橡皮筋上的A点以每秒1厘米的速度向前爬行，从小蚂蚁开始爬行的时候算起，橡皮筋在2秒后、4秒后、6秒后、8秒后、10秒后……都均匀地伸长为原来的2倍。那么在开始爬行9秒后，这只小蚂蚁离A点多少厘米?
【解析】2秒后蚂蚁离A点2×2=4(厘米)，
4秒后蚂蚁离A点2×(4+2)=12(厘米)，
6秒后蚂蚁离A点2×(12+2)=28(厘米)，
8秒后蚂蚁离A点2×(28+2)=60(厘米)，
9秒后蚂蚁离A点60+1=61(厘米)。